Kû niÖm 40 n¨m thµnh lËp khoa To¸n - §HSP Th¸i Nguyªn
Trang 2KiÓm tra bµi cò
1- Nªu c«ng thøc tÝnh sè tæ hîp chËp k cña n (0 k n)
2- Nªu tÝnh chÊt cña c¸c sè
k n
n!
C
k!(n k)!
k n-k
1) C C (0 k n)
2) C C C (1 k < n)
k n C
Trang 3§3 NhÞ thøc Niu-T¬n
I- C«ng thøc nhÞ thøc Niu-T¬n
(a + b) 2
a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4
Ta cã:
= a 2 + 2ab + b 2 C?0 2 a 2 + C?2 1 a 1 b 1 + C 2?2 b 2
(a + b) 3
= a 3 + 3a 2 b +3a b 2 + b 3 C?0 3 a 3 + C 3?1 a 2 b +C 3?ab 2 2 + C 3?b 3 3
? (a + b) 4 (a+b)(a + b) 3
C a C a b C a b C ab C b
n
C«ng thøc (1) gäi lµ c«ng thøc nhÞ thøc Niu-T¬n
=
= Tæng qu¸t
TiÕt 27
1 n 1 n
0 n n
C a
=
=
=
=
Trang 4HÖ qu¶
1) Víi a=b=1, ta cã:
n
(1 1)
=
2 n
2) Víi a=1; b= -1, ta cã:
0 =
0 n 1 n k k n n n n
§3 NhÞ thøc Niu-T¬n
TiÕt 27
I- C«ng thøc nhÞ thøc Niu-T¬n
n n n
C 1
n
C (-1)
0 n n
n
C«ng thøc nhÞ thøc Niu-T¬n:
Trang 5Chú ý:
Đ3 Nhị thức Niu-Tơn
Tiết 27
I- Công thức nhị thức Niu-Tơn
Vế phải của công thức (1):
a-Số các hạng tử là: n + 1;
1 n
0 n
C a n b 0 + a n-1 b + + a n-k b k + + a b n-1 + a 0 b n
các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0,
b- Các hạng tử có số mũ của b tăng dần từ 0 đến n,
nh ng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n (qui ớc a 0 =b 0 =1)
c- Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử
đầu và cuối thì bằng nhau
Trang 6§3 NhÞ thøc Niu-T¬n
I- C«ng thøc nhÞ thøc Niu-T¬n
TiÕt 27
VÝ dô 1:
(x+y) 5
x 5 + 5x 4 y + 10x 3 y 2 + 10x 2 y 3 + 5xy 4 + y 5
=
(3x-2) 4 = 81x 4 -216x 3 +216x 2 – 96x +16
Khai triÓn (x+y) 5
Gi¶i:
Theo c«ng thøc nhÞ thøc Niu – t¬n ta cã
VÝ dô 2:
KÕt qu¶:
Khai triÓn (3x-2) 4
(x+y) 5 =x 5 + 5x 4 y + 10x 3 y 2 + 10x 2 y 3 + 5xy 4 + y 5
VËy
Trang 7HÖ qu¶: 1) 2 n C n 0 C 1 n C n n
n 0 1 n k k n n n n
§3 NhÞ thøc Niu-T¬n
TiÕt 27
I- C«ng thøc nhÞ thøc Niu-T¬n
VÝ dô 3: Chøng tá r»ng víi n 4, ta cã ≥4, ta cã
Gi¶i: KÝ hiÖu A = C n 0 C + C n 2 4 n
Theo hÖ qu¶ trªn ta cã A + B = 2 n
A – B = 0 Suy ra A = B = 2 n-1
Trang 8§3 NhÞ thøc Niu-T¬n
I- C«ng thøc nhÞ thøc Niu-T¬n
TiÕt 27
(1)
a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4
a + b
a 2 + 2ab + b 2
II- Tam gi¸c Pa-Xcan
n=0
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
n=6
n=7
, (a+b) 0 =
, (a+b) 1 =
, (a+b) 2 =
, (a+b) 3 =
, (a+b) 4 =
1
1
1
?
?1 6 15? 20? 15? ?6 ?1
1
Trang 9§3 NhÞ thøc Niu-T¬n
TiÕt 27
II- Tam gi¸c Pa-Xcan
n=0
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
n=6
n=7
n=8
1
1
1
15
1
6
1 21
7
1
NhËn xÐt: Tõ c«ng thøc C k n C k n - - 1 1 C k n - 1
suy ra c¸ch tÝnh c¸c sè ë mçi dßng dùa vµo dßng tr íc nã Ch¼ng h¹n: C 3 6 = C 2 5 C 3 5 =10+10=20
Trang 10§3 NhÞ thøc Niu-T¬n
TiÕt 27
II- Tam gi¸c Pa-Xcan
n=0
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
n=6
n=7
n=8
1
1
1
15
1
6
1 21
7
1
? Dïng tam gi¸c Pa-xcan, chøng tá r»ng:
2
Trang 11Bµi häc h«m nay c¸c em cÇn n¾m ® îc
+ C«ng thøc nhÞ thøc Niu – T¬n
+ Tam gi¸c Pa-xcan