Bài tập giới hạn hàm số

BÀI TẬP GIỚI HẠN DÃY SỐ - HÀM SỐ - HÀM SỐ LIÊN TỤC... Bài tập giới hạn dãy số - hàm số... Bài tập giới hạn dãy số - hàm số * Dạng 4: Giới hạn của dãy có chứa số mũ là n Thông thường ta

BÀI TẬP GIỚI HẠN DÃY SỐ - HÀM SỐ - HÀM SỐ

LIÊN TỤC

Bài tập giới hạn dãy số - hàm số

Giới hạn của dãy số

1 Một vài giới hạn đặc biệt:

1

xn  ; lim 1k 0

x x  với k  1 lim n 0

b Nếu u n  0 với mọi n và limu n a thì a  0 và lim u n  a

c Nếu limu n a và limv n   thì lim n 0

e Nếu limu n   và limv n  a 0 thì limu v n. n  

3 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: Cấp số nhân vô hạn  u n

có công bội q, với q  1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn

1

1

u S

g n

 , trong đó f n g n   ; là các đa thức ẩn số n

Cách giải: Chia các số hạng của cả tử và mẫu cho lũy thừa

3 2 4

3 4 5

3 lim

n n L

Bài tập giới hạn dãy số - hàm số

4 5 2

g n

 , trong đó f n   ,g n là

các biểu thức có chứa căn thức

Cách giải: Ta chia cả tử và mẫu cho căn n có số mũ cao

nhất của tử và mẫu

5

Ví dụ 4: Tính 2

2

2 3 lim

2

2

2 3 1

Bài tập giới hạn dãy số - hàm số

2 2

Bài tập giới hạn dãy số - hàm số

* Dạng 4: Giới hạn của dãy có chứa số mũ là n

Thông thường ta chia tử và mẫu cho lũy thừa có cơ số lớn nhất Sau đó ta sử dụng có phép biến đổi sau để tính

n n

1 lim

 (Đs: )

c

3 2

2 2

2 lim

1 3

n n n



 ;  1

Bài tập giới hạn dãy số - hàm số

14)

4 2

 

 

  42) 2

1 lim

 

 

  44)  

3 lim

1 n

n n



 ; 2 46)  

2 2

 

  ;   252)

Bài tập giới hạn dãy số - hàm số

2

3 4 7 lim

1

n n n



 ;  

79)

2 3

13

93)

2

1 lim

2 4

1 lim



 ; 1 106)

1

4.3 7 lim

 

 

  110)  1 

1 2.3 6 lim

2 2

2 2

Bài tập giới hạn dãy số - hàm số

n   n  ; 

123)

2 2

lim

   0

Bài tập giới hạn dãy số - hàm số

 0

2 3

Ta có căn ở tử là căn bậc 2 ( 4 x ) còn ở mẫu cũng là căn bậc

2 vì x  x với x  2 Do đó ta nhân và chia lượng liên hiệp cho tử và mẫu

Bài tập giới hạn dãy số - hàm số

- Nếu P x ; Q x    là các đa thức chứa căn thì cũng có thể chia

tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu hoặc nhân

và chia lượng liên hiệp thích hợp

* Dạng 3:   : Dạng này thường chứa căn

Ta sử dụng phương pháp nhân và chia lượng liên hiệp của tử và mẫu

Bài tập giới hạn dãy số - hàm số

 

 

3 3

  21)

2 2

Bài tập giới hạn dãy số - hàm số

28)

3 2

Bài tập giới hạn dãy số - hàm số

Bài tập giới hạn dãy số - hàm số

27

4 x

Bài tập giới hạn dãy số - hàm số

Ví dụ 9:

Xét tính liên tục của hàm số f x   x 1 tại x0  1

Giải:

Hàm số f x   x 1 có tập xác định 1; Ta có x0  1không thuộc vào 1; nên f x   x 1 không liên tục tại

;1  1;  và gián đoạn tại x 1

- Nếu hàm số y  f x  liên tục trên đoạn  a; b và

   

f a f b  0 thì tồn tại ít nhất một điểm c a; b sao cho

 

f c  0

- Hàm số y  f x  được gọi là liên tục trên một khoảng nếu

nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó

- Hàm số y  f x  được gọi là liên tục trên đoạn  a; b nếu nó liên tục trên khoảng  a; b và

Bài tập giới hạn dãy số - hàm số

Bài 3.5: Cho hàm số  

2

; 22

Tìm a để hàm số liên tục trên tập xác định của nó

Bài 3.7: Xét tính liên tục của hàm số

 

3

8 ; 22

1 ; 14

x

x x

Bài tập giới hạn dãy số - hàm số

33

1)  

3 3

2 ; 11

4 ; 13

x x

Bài tập giới hạn dãy số - hàm số

Bài 3.14: Xét tính liên tục của hàm số:

1 ; 04

c

x x

Bài 3.19: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có

nghiệm với mọi giá trị của tham số m

Bài 3.20: Chứng minh rằng phương trình:

1) x3 6x2 9x 1 0 có 3 nghiệm phân biệt

4) x3  mx2  1 0 luôn có 1 nghiệm dương

5) x4 3x2 5x 6 0 có nghiệm trong khoảng  1; 2

Bài 3.21: Xét sự liên tục của các hàm số sau

Bài tập giới hạn dãy số - hàm số

2)  

2

4

; 22

6 ; 22

11 ; 23

; 11

; 12

x x

; 11

x x

x

x x

2 ; 28

16 ; 22

x x

f x

x

x x

; 11

; 12

x x

x x

Bài tập giới hạn dãy số - hàm số