Bài giảng bài tập hàm số lớp 12

Bài giảng bài tập dùng cho giáo viên, học sinh ôn thi học kì và đại học. Bài giảng và bài tập dùng cho giáo viên, học sinh ôn thi học kì và đại học. Bài giảng và bài tập dùng cho giáo viên, học sinh ôn thi học kì và đại học.

BÀI GIẢNG

KHẢO SÁT HÀM SỐ

ĐỖ VĂN THỌ

2 Điều kiện cần: Giả sử f x có đạo hàm trên khoảng I( )

- Nếu f x đồng biến trên khoảng I thì ( ) f x'( ) ≥0, x I∀ ∈

- Nếu f x nghịch biến trên khoảng I thì ( ) f x'( ) <0, x I∀ ∈

3 Điều kiện đủ: Giả sử f x có đạo hàm trên khoảng I( )

- Nếu f x'( ) ≥ ∀ ∈0, x I ( f x'( ) =0 tại một số hữu hạn điểm) thì f x đồng biến trên I( )

- Nếu f x'( ) ≤ ∀ ∈0, x I ( f x'( ) =0 tại một số hữu hạn điểm ) thì f x nghịch biến trên( )I

- Nếu f x'( ) =0, x I∀ ∈ thì f x không đổi trên I( )

(Lưu ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa đoạn thì f x phải liên tục trên ( )đoạn đó)

* Vấn đề 1: Xét chiều biến thiên của hàm số:

y = − x x− 6) y x= 3 −3x2 +4x−17) 1 4 2 2 1

x y

y

x

= −

−

x y

x y

11) ĐB (−∞, 2 ; 2,) ( +∞) 12) NB (−∞,1 ; 1,) ( +∞)

13) ĐB (−∞ −, 6 ; 2,) ( +∞) NB (− −6, 2 ; 2, 2) (− ) 14) NB (−∞,1 ; 1,) ( +∞)15) ĐB , 3 ; 3,

14

x y x

−

=

2 2

11

5) NB (−∞ −, 2 ;) ( 2, 2 ; 2,) ( +∞) ĐB (− 2,1 ; 1, 2) ( )

* Vấn đề 2: Tìm điều kiện tham số để hàm số luôn đồng biến, nghịch biến với

- Nếu hệ số a của f x có chứa tham số m thì thông thường hàm số '( ) f x ( )

đồng biến ⇔ f x'( ) ≥0 hoặc nghịch biến ⇔ f x'( ) ≤0

- Nếu ∆ có chứa tham số m thì ta cần lập bảng xét dấu của ∆ và biện luận ∆

a Luôn đồng biến b Luôn nghịch biến

y = f x = x +mx + x+ Định m để hàm số luôn đồng biến với mọi

trên mỗi nửa khoảng (−∞ −; 2] và [− +∞2; ) nên hàm số y đồng biến trên R

+ Tương tự nế m= −2 Hàm số y đồng biến trên R

+ Nếu m < −2 hoặc m> 2 thì ' 0y = có hai nghiệm x x phân biệt Giả sử 1; 2 x1 < x2 Khi

đó hàm số nghịch biến trên khoảng ( x x , đồng biến trên mỗi khoảng 1; 2) (−∞, x1) và( x2;+∞) Do đó m < −2 hoặc m > 2 không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Vậy hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi 2− ≤ ≤m 2

Hàm số luôn nghịch biến với mọi x ≠ −m ⇔ < ⇔y' 0 m2 +2m− <3 0

m > , khi đó phương trình y’ có hai nghiệm x1 < < ⇒1 x2 hàm số đồng biến

trên mỗi khoảng ( x1;1) và (1; x , trường hợp này không thỏa2)

00

00

Vậy m =3 thỏa mãn yêu cầu bài toán

b Hàm số đồng biến trên khoảng [0;+∞)

6

012

m

m

m m

-( ) -( 1 2) 1 2 ( ) ( )

3' 1 0

- Trường hợp 1: Nếu m≥ ⇒ ∆ ≤2 ' 0 Ta có f x'( ) > 0 không thỏa mãn

- Trường hợp 2: m< ⇒ ∆ >2 ' 0 Suy ra f x có hai nghiệm phân biệt'( )

Kết hợp với điều kiện m <2⇒ ≤ −m 10

Vậy m≤ −10 thỏa mãn điều kiện bài toán

Ví dụ 4: Tìm m để hàm số y mx 4

x m

+

=+ luôn nghịch biến trong khoảng (−∞,1)

m m

Bài 17: Cho hàm số y x= + +1 m x2 +1 Tìm m để hàm số đồng biến trên ¡

* Vấn đề 4: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức

Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau:

- Chuyển bất đẳng thức về dạng f x( ) > 0 hoặc ; ;< ≥ ≤ Xét hàm số

( )

y= f x trên tập xác định do đề bài đưa ra

- Xét dấu f x Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến trên tập xác '( )

định

- Dựa vào định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến để kết luận

Nhận xét:

- Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f x thì ta đặt '( ) h x( ) = f x'( )

và xét dấu h x …cho đến khi nào xét được dấu của '( ) f x thì thôi'( )

- Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng

* Vấn đề 5: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất

Để chứng minh phương trình f x( ) = g x( ) (1) có nghiệm duy nhất, ta thực hiệncác bước sau:

- Chọn nghiệm x thỏa mãn phương trình0

- Xét các hàm số y = f x( ) ( )C và 1 y g x= ( ) ( )C Ta cần chứng minh 2

một hàm số đồng biến và một hàm số nghịch biến Khi đó ( )C và 1 ( )C 2

giao nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ x Đó chính là nghiệm duy

CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ HÀM SỐ

I Tóm tắt lý thuyết

1 Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên tập D ⊂ ¡ và x0 ∈D

- Hàm số f đạt cực đại tại x nếu tồn tại một khoảng 0 ( )a b chứa điểm , x sao cho0

Cho hàm số f liên tục trên một khoảng ( )a b chứa điểm , x Nếu f đạt cực trị tại 0 x 0

thì f x'( )0 =0 hay f x không tồn tại'( )0

f có cực trị ( )

( )

0 0

- Nếu f x đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm '( ) x (theo chiều tăng) thì hàm số 0

đạt cực tiểu tại điểm x0

- Nếu f x đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm '( ) x (theo chiều tăng) thì hàm số 0

đạt cực đạt tại điểm x0

b Quy tắc 2:

Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng ( )a b chứa điểm , x , 0 f x'( )0 = 0 và

f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0

- Nếu f ''( )x0 <0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0

- Nếu f ''( )x0 >0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0

(Chú ý: Trong trường hợp f x không tồn tại hoặc '( )0 ( )

( )

0 0

- Tính f x'( )

- Tìm nghiệm của phương trình f x'( ) =0 (nếu có) và tìm các điểm

0

x ∈D mà tại đó f liên tục nhưng f x không tồn tại'( )0

- Vận dụng điều kiện 1 (lập bảng xét dấu f x ) hay dùng quy tắc 2 '( )

y = − x + −x x+ 3 2 1

4

x y

x y

* Vấn đề 2: Tìm tham số để hàm số f đạt cực trị tại điểm x cho trước0

- Bước 1: Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại x là 0 f x'( )0 =0, từ điều kiện

này ta tìm được giá trị của tham số

- Bước 2: Kiểm tra lại bằng cách sử dụng một trong hai quy tắc tìm cực trị để xét

xem giá trị của tham số vừa tìm được có thỏa mãn yêu cầu của bài toán hay không

Khi m =1 thì y'' 2= x+ ⇒2 y'' 2( ) = >6 0 Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x= 2

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = ⇔ =2 m 1

• Hàm số có hai cực trị ⇔3ax2 +2bx c+ =0 có hai nghiệm phân biệt

• Hàm số không có cực trị ⇔3ax2 +2bx c+ =0 vô nghiệm

- Bước 2: Thực hiện phép chia y cho y ' ta được y = y p x' ( ) ( )+q x

- Bước 3: Khi đó phương trình đường thẳng đi qua CĐ, CT là y q x= ( )

Ví dụ 1: Tìm các giá trị của các tham số a, b sao cho hàm số

2

ax bx ab y

− có hai điểm cực trị nằm hai phía đối với trục tung Chứng minh

hai điểm CT luôn luôn nằm cùng một phía đối với trục hoành

1 y = 2x3 +mx2 −12x−13 có hai điểm cực trị cách đều trục tung

2 y x= 3 −3mx2 +4m3 có các điểm CĐ, CT đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất

3 y x= 3 −3mx2 +4m3 có các điểm CĐ, CT ở về một phía đối với đường thẳng (d):

3x−2y+ =8 0

+ có một điểm cực trị nằm trong góc phần tư thứ

hai và điểm kia nằm trong góc phần tư thứ tư của mặt phẳng tọa độ

− có một điểm cực trị nằm trong góc phần tư thứ nhất

và điểm kia nằm ở góc phần tư thứ ba của mặt phẳng tọa độ

+ có hai điểm cực trị nằm ở hai phía của trục hoành

Bài 10: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

4 y x= 3 −3x2 +m x m2 + có các điểm CĐ, CT đối xứng nhau qua đường thẳng

a Các điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm trên đường thẳng y= −4x

b Đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng

1

y x= +

6 Tìm m để hàm số y= − +x3 3(m+1) x2 −(3m2 +7m−1) x m+ 2 −1 đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ nhỏ hơn 1

+ luôn có hai cực trị và khoảng

cách giữa hai điểm đó bằng 20

* Vấn đề 4: Tìm GTLN, GTNN bằng phương pháp lập bảng biến thiên

Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng

- Tính f x'( )

- Xét dấu f x và lập bảng biến thiên'( )

- Nếu xét x∈( )a b, thì để lập bảng biến thiên của hàm số f x trên ( ) ( )a b thì ta ,

phải tìm các giới hạn lim ( ); lim ( )

x a+ f x x b− f x

- Dựa vào bảng biến thiên để kết luận

Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn

- So sánh các giá trị vừa tính và kết luận

Ví dụ 1: Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của các hàm số sau:

−

2

-2

98

−

=+ trên [ ]0, 4

x x

− +

=+ − trên [ ]0,1

9 y = 100− x2 trên [−6,8] 10 y = 2+ +x 4−x

Bài 3: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

1 2sin 1

sin 2

x y

Vẽ đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

- Phần 1: Phần phía trên trục hoành của đồ thị (C)

- Phần 2: Phần đối xứng của phần phía dưới trục hoành của đồ thị (C)

⇒

2 Vẽ đồ thị hàm số y = f x( )

- Vẽ đồ thị hàm số y = f x( ) (C)

- Lấy phần (C) bên phải trục Oy (tương ứng với x > 0)

- Lấy thêm phần đối xứng qua trục Oy của phần của (C) ở bên phải trục Oy

3 Vẽ đồ thị hàm số ( )

( )

f x y

g x

- Lấy các phần của (C) tương ứng với x sao cho g x( ) > 0

- Lấy thêm phần đối xứng qua trục Ox của các phần của (C) tương ứng với x sao cho

g x <

4 Vẽ đồ thị hàm số ( )

( )

f x y

- Đồ thị ( )C : y = f x( ) + g x( ) tương ứng với x sao cho g x( ) > 0

- Đồ thị ( )C : y = f x( ) − g x( ) tương ứng với x sao cho g x( ) < 0

b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại giao điểm của (C)

c Tìm tham số m để phương trình 2 x 3 −3x2 + =2 m có 4 nghiệm phân biệt

c

d

e

f

Bài 6: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) Từ đó suy ra đồ thị (C’) Dùng đồ thị

Bài 7: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) Từ đó suy ra đồ thị (C’) Dùng đồ thị

(C’) biện luận số nghiệm của phương trình (1)

Bài 8: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) Từ đó suy ra đồ thị (C’) Dùng đồ thị

(C’) tìm m để phương trình (1) có k nghiệm phân biệt:

SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA CÁC ĐỒ THỊ

Bài 1: Biên luận theo m số giao điểm của các đồ thị của các hàm số sau

x y x

13

a y = x3 +3x2 +mx+2 ; m y = − +x 2 cắt nhau tại 3 điểm phân biệt

b y mx= 3 +3mx2 − −(1 2m x) −1 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

c y = ( x−1) ( x2 −mx m+ 2 −3) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

d y = x3 +2x2 −2x+2m−1; y = 2x2 − +x 2 cắt nhau tại 3 điểm phân biệt

e y = x3 +2x2 −m x2 +3 ; m y = 2x2 +1 cắt nhau tại 3 điểm phân biệt

Bài 4: Tìm m để đồ thị hàm số:

a y = x4 −2x2 −1; y m= cắt nhau tại 4 điểm phân biệt

b y = x4 −m m( +1) x2 +m3 cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt

c y = x4 −( 2m−3) x2 +m2 −3m cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt

a y = x3 −3mx2 +6mx−8 cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng

b y = x3 −3x2 −9x+1; y = 4x m+ cắt nhau tại ba điểm A, B, C với B là trung điểm của đoạn AC

c y = x4 −( 2m+4) x2 +m2 cắt trục hoành tại 4 điểm có hoành độ lập thành một cấp

số cộng

d y = x3 −(m+1) x2 −(m−1) x+2m−1 cắt trụ hoành tại 3 điểm có hoành độ lập thành một cấp số nhân

e y = 3x3 +( 2m+2) x2 +9mx+192 cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ lập thành một cấp số nhân

BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM BẰNG ĐỒ THỊ Bài 1: Cho hàm số y f x( ) x 12

b. Viết PTTT của (C) vuông góc với đường thẳng ( )a x: −3y = 0

c Dùng đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình:

b. Viết PTTT của (C) vuông góc với đường thẳng ( )a x: −2y = 0

c Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

b. Viết PTTT của (C) đi qua điểm A( )0;1

c Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình

( )C ∩Ox tại 3 điểm có hoành độ dương

SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG CONG

Cho hai đường cong ( )C : y = f x( ) và ( )C' : y = g x( ) tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình sau ( ) ( )

=+ (C) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M

cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A, B phân biệt sao cho diện tích tam giác ∆OAB bằng 1

* Vấn đề 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = f x( )

Bài toán 1: Viết PTTT (d) của (C) tại điểm M x y( 0; 0)

- Nếu đề bài cho y0 thì thì x0 là nghiệm của phương trình y0 = f x( )0

- Tính k = y'= f x'( )0

- Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng: y k x x= ( − 0) + y0

Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k cho trước

- Gọi M x y( 0 0) là tọa độ tiếp điểm Tính k = f x'( )0

- (d) có hệ số góc k ⇒ f x'( )0 = k Giải phương trình trên tìm được x0 thay vào

- (d) tạo với chiều dương trục hoành góc α thì k = tanα

- (d) song song với đường thẳng (a): y ax b= + thì k = a

- (d) vuông góc với đường thẳng (a): y ax b a= + ,( ≠ 0) thì 1

Bài toán 3: Viết PTTT của (C): y = f x( ) biết ( )d đi qua điểm A x y( A; A)

Cách 1: Tìm tọa độ tiếp điểm

- Gọi M x f x( 0; ( )0 ) là tọa độ tiếp điểm Tính k = f x'( )0

- Phương trình tiếp tuyến (d) tại M có dạng: y = f x'( ) (0 x x− 0) + f x( )0

- (d) đi qua A x y( A; A) nên y A = f x'( ) (0 x A − x0) + f x( )0 (1)

- Giải phương trình (1) tìm được x0 ⇒ y0 Từ đó viết phương trình tiếp tuyến (d)

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc

- phương trình đường thẳng (d) đi qua A x y( A; A) và có hệ số góc k có dạng

- Giải hệ (*) tìm được x ⇒ k Từ đó viết PTTT (d)

Bài 1: Viết PTTT của (C) tại điểm được chỉ ra

a ( )C : y = 3x3 − −x2 7x+1 tại A( )0;1

− tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung

d ( )C : y = 2x− 2x2 +1 tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung

e ( )C : y = x3 − +3x 1 tại điểm uốn của (C)

f ( ) 1 4 2 9

C y = x − x − tại các giao điểm của (C) với trục hoành

Bài 3: Viết PTTT của (C) tại các giao điểm của (C) với đường được chỉ ra

Bài 5: Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm được chỉ ra chắn hai trục tọa độ

một tam giác có diện tích bằng S cho trước

2

Bài 11: Tìm m để tiếp tuyến (d) của (C) tại điểm được chỉ ra vuông góc với đường

thẳng (a) cho trước

Bài toán 4: Tìm những điểm trên đường thẳng (d) mà từ đó có thể vẽ được 1,2,3,

… tiếp tuyến với đồ thị ( )C : y = f x( )

Giả sử ( )d :ax by c+ + =0, M x( M;y M ) ( )∈ d

- Phương trình đường thẳng ( )∆ qua M có hệ số góc k: y k x x= ( − M ) + y M

- ( )∆ tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm

( )'

- Thay k từ phương trình dưới lên trên ta được: f x( ) = f x'( ) ( x x− M ) + y M (*)

- Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M bằng số nghiệm của phương trình (3)

Bài 1: Tìm trên đồ thị (C) mà từ đó vẽ được đúng một tiếp tuyến với (C)

- Phương trình đường thẳng ( )∆ qua M có hệ số góc k: y k x x= ( − M ) + y M

- ( )∆ tiếp xúc với ( )C khi hệ sau có nghiệm:

- Thay k từ (2) vào (1) ta được f x( ) = f x'( ) ( x x− M ) + y M 3( )

- Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C)⇔ ( )3 có 2 nghiệm phân biệt x x1; 2

- Hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau ⇔ f x'( ) ( )1 'f x2 = −1

Bài 2: Tìm các điểm trên đường thẳng (d) mà từ đó có thể vẽ được hai tiếp tuyến với

(C) vuông góc với nhau:

- Gọi M x y( 0; 0) là điểm cố định (nếu có) của họ ( )C m

A B C A

x m

=

+

A, B đối xứng nhau qua ( ) ( )d ⇔ d là trung trực của đoan AB

- Phương trình đường thẳng ( )∆ vuông góc với ( )d : y ax b= + có dạng

- Tìm tọa độ trung điểm I của AB

- Từ điều kiện: A, B đối xứng qua ( )d ⇔ ∈I ( )d ta tìm được

A B A B

A, B đối xứng nhau qua I ⇔ I là trung điểm AB

- Phương trình đường thẳng (d) qua I a b( ), có hệ số góc k có dạng:

- Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): f x( ) = k x a( − +) b 1( )

- Tìm điều kiện để (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B Khi đó x x A, B là hai nghiệm