Tính thể tích hình chóp 6.4CD và khoảng cách giữa hai đường thing SB va CD.. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của |z|... Giải phương trình .... Giải phương trình.. Tìm các số thực.... ® M
Trang 1TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI ĐỀ THỊ THỬ ĐẠI HỌC LÀN VI NĂM 2014
Câu 1 (2,0 điểm)
Cho hàm số y= <=
1, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Tìm điểm ÄZ thuộc đề thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M tao voi hai đường tiệm
cận của (C) một tam giác cân
Câu 2 (1,0 điểm)
sinx Giải phương trình ———z>————z
Câu 3 (1,0 điểm)
Giải phương trình 2logz(1 + Vx ) = log3x
Câu 4 (1,0 điểm)
x 4
> x.sinx.dx
Tính tích phân I= J2 0 (1+ cosx)? = Câu 5 (1,0 điểm)
Cho hình chép S.ABCD cé SA =a la chiều cao, day ABCD là hình thang vuông tại 4, B, có
AB = BC = a, AD = 2a Tính thể tích hình chóp 6.4CD và khoảng cách giữa hai đường
thing SB va CD
Ciu 6 (1,0 diém) Ching minh ring véi cac sé x, y, z thudc khoding (0; 1), luôn có
(x- xy -y)(z- 2") 2 (x= yz)ly - 2x)(z— xy)
Can 7.(1,0 điểm) Trong mặt phing Oxy, cho hinh vuéng ABCD o6 dinh A(2; 2), diém M(3; 6)
thudc canh BC, điểm N(6; 4) thuéc canh CD Tim toa độ đỉnh C
Câu 8.(1,0 điểm) a khéng gian Oxyz, cho mat phing (P): 2x~y*+2z+ 1= 0 và đường
+ thẳng đ: — = — = = Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm trên đường thăng ở
và tiếp xúc với mặt phẳng ma và mặt phẳng ()
Câu 9 (1,0 điểm) Cho số phức z = cos2a + (sin a — cos a)i, voi sé œ thay đồi
Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của |z|.
Trang 2pAP AN- THANG DIEM
Toán 6-12; lớp 9 lên 10; ôn thi Dai học
2 (1,0 điểm) Tìm điểm M
:
Gia str M(xo5 Yo) €(C) => xe# 1, Yom ar
Phương trình tiếp tuyến tại M: y= Gp —X,) + Biot
Gọi AG; y1), B25 yz) lan lượt là giao điểm của tiếp tuyển với tiệm cận đứng và tiệm cận ngang Khí đó : 0,50
1 | * VéidiémA,tac6 x= 1, y= Ex) Xo — + BOF eo y= Mott : Xe—1
.:
(2 điểm) | s- Với điểm B, ta có y¿=2, x; là nghiệm của PT: 2 “GEmris-x)+ Biot 3 69 Hy ke 1
“Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang vuông góc với nhau, gọi ⁄(1; 2) là giao điểm của hai tiệm cận, thì tam giác
1AB vuông cân tại uông cân tại ï = J4 =7B © = ai 2| ort _2|= =lŒxs — 1) — 1© Gal =2lx¿—l| ® xe=1+ V3 -p- Bl " 0,50
Từ đó suy ra có hai điểm thỏa man: M, (1+V3;2+3), Mạ(-V3;2 V3)
1 (1,0 điểm) Giải phương trình
1 (1,0 điểm) Giải phương trình
Điêu kiện : x> 0
PT & 4log(1+W)=2logw © 2log(1+4Wể)=2logo « logyV1+ WX=logsWW
0,50
Đatt=loe, J1 Sẽ =log, Ấ/£ œ { 1+Wx=2 “{
Đối chiếu với điều kiện, ta được nghiệm x = 81
(1,0 điêm) Tỉnh tích phân
Tacs I= i xd Π+ =, ~ 14 cosx a ~ i ee Ni 0,50
¥
(1 điểm)
(1,0 điểm) Tính thê tích khôi câu
Gọi Ấ là trung điểm của 47, theo giả thiết ta có 4K = BC = a,
AK//BC và ÄBÈ = 90°, suy ra tứ giác 4BCK là hình vuông 1 1
= CK là đường cao của AACD Vay Vs.aco = 354-Saco - ze
suy ra d(SB,CD) = d(D,(SBK)) = d(A,(SBK))
Ta cé AS = AB = AK =a, SB = BK = KS = av2 nén A.SBK là
hình chóp ééu Goi Hla tam ASBK, E là trung điểm của 8K thì
v2
AH + (SBK) và AE= HT Suy ra AH = d(SB,CD)
at” het * age 44 8 , ava
Vậy khoảng cách giữa hai đường thang SB va CD băng xế
Trong ASAE:
O50
1
Trang 3
v1
(1 điểm)
1.(1,0 điểm) Tìm các số thực
=
Do các số x, y, z € (0; 1) nên x~ x > 0, y=y >0,z~2Z7>0 % %-y20-z9G-x)>00 Khi đó xảy ra các trường hợp :
® Hai trong ba số x— yZz,y—zx,z—xy là số dương, số còn lại âm khi đó bđt(*) mang dấu âm, nên loại
® Một trong ba số là số dương, hai số còn lại âm Giả sử x— yz < 0, y-zx<0
Khi đó x+y-(x+y)z<0 ® (x+y)(1-z)<0 2 1-z<0 © z> 1 vô lý
® Ba SỐ X—ÿZ, Y—ZX,z— xy là số âm, khi đó bđt(*) âm, không thỏa mãn (loại)
® Vậy ba số x—yz,y—zx,z—xy đều là số đương
0,50
Ta chứng minh ,/xy(1 —z)>/(x—yz)(y—2x) (1)
That vay, (1) © xy(1- 2z+ 22) > xy— (x?+ y?)z+ = ®© (x-y)?z > 0 đúng, đẳng thức xảy ra © x=y
“Tương tự ta cũng có : y2 —x)2 JY — 2x)@= xy) (2) và vwz(1-y)>/Œ&=y2Œ=xy) @G) Nhân từng về của (1), (2), (3) ta duge :
(Œ—x?(y~y(z— z?) > (x— y2)(y—zx)(z— xy), đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x= y = z (đpem)
0,50
Vu
(1 điểm)
(1,0 _= Tìm tọa độ định C
Gọi 1 z : 5) là trung điểm của AZN Do MEN = 90° nên C thuộc đường tròn
tâm 7 đường kính MA Ta có C4 là tia phân giác của góc MEN, nên giao điểm M
È của tia CA với đường tròn (7) là điểm chính giữa cung MfÑ không chứa C
(các điểm 4 và E nằm cùng phía đối với đường thing MN) Suy ra Ela giao
điểm của đường tròn (7) và trưng trực của đoạn anes E
Đường thẳng trung trực cia MN’: 3(x- 3)—2(y-5)=0
0,50
&-3 +-5?=
cttw
Giải hệ phương trinh trén ta duoe (x; y)=(F:3),G52) Đ&E.(S';3).E:(: 2):
Phuong trinh duéng thing MN: 2x +3y—24=0
Thay tọa độ của điểm A, E), E; vào phương trình của đường thing MN ta suy ra A va E, cing phia d6i voi MN
Phương trình 4E: x—y=0
Ta có C là giao điểm thứ hai của 4E với (7) Tọa độ của điểm C là nghiệm của hệ phương trình :
s2 13
(2 +0—8*'2 s œ;y)= (6) x-y=0
Tọa độ điểm E la nghiệm của hệ phương trình {
Vậy tọa diém C là (6; 6)
0,50
VI
(1 diém)
(1,0 điâm) Viêt phương trình mat cau
Gọi 7, r là tâm và bán kính của mặt cầu G),do /€ ede => (2+t3+2t-2- -
Mặt cầu (S) tiếp xúc với (P) và (Oxy) khí và chỉ khi d(ƒ, (P)) = d(/, (Oxy)) =
|-2- = 2th |2(2 + t)-(3+2t) + _
V0+0+1 V44144
e r=
0,50
2|1+ 2t Đền Siái, Ti
e padi qe 22 " 4
sr win
V6i t=—2 thi (0;-1;2) > (S): P+ (y+ I+ (Z-2) =4
IX
(1 điểm)
(1,0 điển) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhát mae
Ta có |z| = f'cos?2a + (sina — cosa)? fads sind +1=V~ sin?2œ — sin2œ + 2
Đặt t=sin2œ, —l <t< 1 Xét hàm số ft) =“——t+2, t€[T1; l]
Tacó f@)=~2t~1='f@)=0 =t=-z Ta có f(1)“0, f1) =2, F(~3)= 2
q=~is+km
a (€2)
=1a+ km
min f(t) =0 khit=1 © sin2a=1 a= tt ke (k€ 2)
Suy ra max f() =2 khit=-5 @ sinda=-5
3 § Gv.Tls Nguyên Văn Quý - 0915 6ó6 577 Vậy max jz} =>, min lzi =0 2 Toán 6-12; lớp 9 lên 10; ôn thi Đại học ớp 0,50