de thi thu toan 2014 de 3

on thi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2010

Mụn Thi: TOÁN – Khối A

ĐỀ THI THAM KHẢO Thời gian: 180 phỳt, khụng kể thời gian giao đề

I:PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)

Cõu I: Cho hàm sốy x= 3+2mx2 +(m+3)x+4 cú đồ thị là (Cm)

1) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C1) của hàm số trờn khi m = 1

2) Cho (d ) cú phương trỡnh y = x + 4 và điểm K(1; 3) Tỡm cỏc giỏ trị của tham số m sao cho

(d) cắt (Cm) tại ba điểm phõn biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giỏc KBC cú diện tớch bằng 8 2

Cõu II:

1) Giải phương trỡnh: cos2x+ =5 2(2 - cos )(sin - cos )x x x

2) Giải hệ phương trỡnh: Giải hệ phơng trình:







=

− + +

= + +

+

y y

x x

y y x y

x

)2 )(

1 (

4 ) (

1 2

2

(x, y ∈R )

Cõu III 1) Tớnh tớch phõn I =2 2

6

1 sin sin

2

π

2) Tỡm cỏc giỏ trị của tham số thực m sao cho phương trỡnh sau cú nghiệm thực:

91 1+ −x2 −(m+2)31 1+ −x2 +2m+ =1 0

Cõu IV: Cho hỡnh chúp S ABC cú gúc ((SBC), (ACB)) = 600, ABC và SBC là cỏc tam giỏc đều cạnh a Tớnh theo a khoảng cỏch từ B đến mặt phẳng (SAC)

II PHẦN RIấNG (3.0 điểm)

Câu V.a 1 Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy cho parabol (P): y=x2 − 2x và elip (E): 1

9 2 2

= +y

Chứng minh rằng (P) giao (E) tại 4 điểm phân biệt cùng nằm trên một đờng tròn

Viết phơng trình đờng tròn đi qua 4 điểm đó

2.Trong không gian với hệ trục Oxyz cho mặt cầu (S) có phơng trình x2 +y2 +z2 − 2x+ 4y− 6z− 11 = 0 và mặt phẳng (α) có phơng trình 2x + 2y - z + 17 = 0 Viết phơng trình mặt phẳng (β) song song với (α) và cắt (S) theo giao tuyến là đờng tròn có chu vi bằng 6π

Câu VI.a Tìm hệ số của số hạng chứa x2 trong khai triển nhị thức Niutơn của

n

x



 +

4 2 1

biết rằng n là số nguyên dơng thỏa mãn:

1

6560 1

2 3

2 2

2

2 0 2 1 3 2 1

+

= + + + +

n

C n C

C

n

n n

n

( k

n

C là số tổ hợp chập k của n phần tử)

CõuVb: 1 Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d cú phương trỡnh

3

1 1

2

1= = −

x

Lập phương trỡnh mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cỏch từ d tới (P) là lớn nhất

2.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2;–3), B(3;–2), ∆ ABC cú diện tớch bằng 3

2; trọng tõm G của ∆ ABC thuộc đường thẳng (d): 3x – y – 8 = 0 Tỡm bỏn kớnh đường trũn nội tiếp ∆ ABC

CõuVIb : : Tỡm cỏc số thực b, c để phương trỡnh z2 + bz + c = 0 nhận số phức z = 1 + i làm một nghiệm.

………

HƯỚNG DẨN GIẢI

I:PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)

CõuI.1.(Học sinh tự giải)

2)Phương trỡnh hoành độ điểm chung của (Cm) và d là:

=





2

0

2 ( 3) 4 4 (1) ( 2 2) 0

( ) 2 2 0 (2)

x

(d) cắt (Cm) tại ba điểm phõn biệt A(0; 4), B, C ⇔phương trỡnh (2) cú 2 nghiệm phõn biệt khỏc 0

≤ − ∨ ≥

∆ = − − > 

⇔ = + ≠ ⇔ ≠ −

/ 2 2 0 1 2 ( )

2 (0) 2 0

m

Mặt khỏc: − +

= 1 3 4 =

2

2

KBC

(x B x C) (y B y C) 256

⇔ − + − = với x x là hai nghiệm của phương trỡnh (2) B, C

⇔(x B −x C) ((2+ x B + −4) (x C+4))2 =256⇔2(x B−x C)2 =256⇔(x B+x C)2−4x x B C =128

4 4( 2) 128 34 0

2

2

m= ±

CõuII:1 Phương trỡnh ⇔ (cosx–sinx)2 - 4(cosx–sinx) – 5 = 0

cos - sin -1

cos - sin 5( cos - sin 2)

=





2 2

 = +



 = +



2) Hệ phơng trình tơng đơng với

2

2

1 ( 2) 2 1

( 2) 1

x

x y y

x

x y y

 + + + − =



 +



Đặt , v x y 2

y

1 x u

2

− +

= +

=

Ta có hệ u 1v

1 uv

2v

u

==

⇔







=

=+

Suy ra









=

− +

= +

1 2 y x

1 y

1

Giải hệ trên ta đợc nghiệm của hpt đã cho là (1; 2), (-2; 5)

CõuIII:1 Ta cú: I =2 2

6

1 sin sin

2

π

6

3

2

π π

−∫ − ì Đặt cos 3 cos

2

Đổi cận: Khi 2

= ⇒ = ⇒ = ; khi x cos 0

Do vậy:

2 2

3 sin 2

π

2 Tỡm cỏc giỏ trị của tham số thực m sao cho phương trỡnh sau cú nghiệm thực:

91 1+ −x2 −(m+2)31 1+ −x2 +2m+ =1 0(1)

* Đk x∈[-1;1], đặt t = 31 1 + −x2 ; x∈[-1;1]⇒t∈[3;9]

Ta cú: (1) viết lại

2

2

t

− +

−

Xột hàm số f(t) =

2

t

− +

− , với t∈[3;9] Ta cú:

2

3 ( 2)

t

t t

=



− +

Lập bảng biến thiờn

7

4 Căn cứ bảng biến thiờng, (1) cú nghiệmx∈[-1;1] ⇔ (2) cú nghiệm t∈[3;9]⇔ 4 48

7

m

≤ ≤

CõuIV:Gọi M là trung điểm của BC và O là hỡnh chiếu của S lờn AM

Suy ra: SM =AM =a23; ãAMS= 60 0 và SO ⊥ mp(ABC)

⇒ d(S; BAC) = SO =34a

Gọi VSABC- là thể tớch của khối chúp S.ABC

⇒ VS.ABC =1 . 3 3

3S ABC SO a16

∆ = (đvtt) Mặt khỏc, VS.ABC =1 ( ; )

3S∆SAC d B SAC

∆SAC cõn tại C cú CS =CA =a; SA =a23

⇒ S SAC a2 1613 3

∆ =

Vậy: d(B; SAC) = 3 3

13

S ABC SAC

S∆ = (đvđd).

II PHẦN RIấNG (3.0 điểm)

Câu V.a 1Viết phơng trình đờng tròn đi qua giao điểm của(E) và (P)

Hoành độ giao điểm của (E) và (P) là nghiệm của phơng trình

0 9 x 37 x 36 x 9 1 )

x

2

x

(

9

=

− +

−

⇔

=

−

Xét ( x ) = 9 x 4 − 36 x 3 + 37 x 2 − 9, f(x) liên tục trên R có f(-1)f(0) < 0,

f(0)f(1) < 0, f(1)f(2) < 0, f(2)f(3) < 0 suy ra (*) có 4 nghiệm phân biệt, do đó (E) cắt (P) tại 4 điểm phân biệt

Toạ độ các giao điểm của (E) và (P) thỏa mãn hệ









= +

−

=

1

y 9 x

x x y

2 2 2

C S

A

B

0 9 y8 x16 y9

x9 9

y9

x

y8

x16

2

2

2

=−

−

− +

⇒







=

+

=

−

(**) là phơng trình của đờng tròn có tâm 











= 9

4

; 9

8

I , bán kính R =

9

161

Do đó 4 giao điểm của (E) và (P) cùng nằm trên đờng tròn có phơng trình (**)

2.Viết phơng trình mặt phẳng (β)

Do (β) // (α) nên (β) có phơng trình 2x + 2y – z + D = 0 (D≠ 17)

Mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; 3), bán kính R = 5

Đờng tròn có chu vi 6π nên có bán kính r = 3

Khoảng cách từ I tới (β) là h = R 2 − r 2 = 5 2 − 3 2 = 4





=

−=

⇔

= +

−

⇔

=

−+

+

+

−

−

+

(loại) 17 D

7 D 12 D 5

4 )1 ( 2

2

D 3 )2 (2

1.

2

2 2 2

Vậy (β) có phơng trình 2x + 2y – z - 7 = 0

Câu VI.a Tìm hệ số của số hạng chứa x2 trong khai triển nhị thức Niutơn của

n

x x







 +

4 2

1

,

biết rằng n là số nguyên dơng thỏa mãn:

1

6560 1

2 3

2 2

2 2

1 2

3 1

2 0

+

= + + + +

n

C n C

C

n

n n

n

BG: Ta cú

∫

0

n n n 2

2 n

1 n

0 n 2

0

)

x

1

(

2

0

1 n n n 3

2 n 2 1 n 0

1 n

1 x

C 3

1 x C 2

1 x











+ + + +

+

n

1 n 2

n

3 1 n

2 0

1 n

2 C

3

2 C 2

2 C

2

+ + + +

+

Mặt khác

1 n

1 3 )

x 1 ( 1 n

1

0 1 n

+

−

= +

+

= + + (2)

Từ (1) và (2) ta có n

n

1 n 2

n

3 1 n

2 0

1 n

2 C

3

2 C 2

2 C 2

+ + + +

+

1 n

1

3 n 1 +

−

= +

Theo bài ra thì 3 6561 n 7

1 n

6560 1

n

1

=

⇒

=

⇔ +

= +

+

Ta có khai triển ∑ ( ) − ∑ −

=









=







0

4 k 14 k 7 k

k 7

k 7 k 7 7

2

1 x

2

1 x

C x

2

1 x

Số hạng chứa x2 ứng với k thỏa mãn 2 k 2

4

k

14− = ⇔ =

Vậy hệ số cần tìm là

4

21 C 2

1 2 7

CõuVb *1.Gọi H là hỡnh chiếu của A trờn d, mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d, khi đú

khoảng cỏch giữa d và (P) là khoảng cỏch từ H đến (P)

Giả sử điểm I là hỡnh chiếu của H lờn (P), ta cú AH ≥HI=> HI lớn nhất khi A≡I

Vậy (P) cần tỡm là mặt phẳng đi qua A và nhận AH làm vộctơ phỏp tuyến

là véc tơ chỉ phương của d) ⇒H( 3 ; 1 ; 4 ) ⇒AH( − 7 ; − 1 ; 5 )

Vậy: (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 0 ⇔7x + y – 5z –77 = 0

2.*Gọi C(a; b) , (AB): x –y –5 =0 ⇒ d(C; AB) = 5 2

2

ABC

AB∆

− − =

⇒ a b− − = ⇔  − =5 3 a b a b− =8(1)2(2); Trọng tâm G ( 5; 5)

3 3

a+ b− ∈ (d) ⇒ 3a –b =4 (3)

Từ (1), (3) ⇒ C(–2; 10) ⇒ r = 3

2 65 89

S

Từ (2), (3) ⇒ C(1; –1) ⇒ r= =S p 2 2 5+3

CâuVIb: Vì z = 1 + i là một nghiệm của phương trình: z2 + bx + c = 0 ( b, c ∈ R), nên ta có :