CM T TH THUANTUY Các bài toán đẳng thức tổ hợp không sử dụng công cụ "Đạo hàm" và "Tích phân"

CÁC BÀI TOÁN ĐẲNG THỨC TỔ HỢP KHÔNG SỬ DỤNG CÔNG CỤĐẠO HÀM, TÍCH PHÂN Đối với học sinh lớp 11, các em chưa được tiếp cận công cụ “Đạo hàm”, “Tích phân” thì việc chứng minh một số bài toá

CÁC BÀI TOÁN ĐẲNG THỨC TỔ HỢP KHÔNG SỬ DỤNG CÔNG CỤ

ĐẠO HÀM, TÍCH PHÂN

Đối với học sinh lớp 11, các em chưa được tiếp cận công cụ “Đạo hàm”,

“Tích phân” thì việc chứng minh một số bài toán tổ hợp là khá khó khăn Chuyên mục nhỏ này giúp các em có được những định hướng cũng như kỹ năng cần thiết khi giải các bài toán loại này

I/ Các kiến thức cơ bản

!

!( )!

k n

n C

k n k





2/ Hai đẳng thức tổ hợp thường dùng

a)

k n k

n n

C C 

 ;n k N k n,  , 

b)

1

1 1

    ;k n N k,  ;  1 n

3/ Một số khai triển Newton thường dùng

( 1)n n k n k

n k



 

(1 )n n k k

n k



 

( 1)n n k n k( 1)k

n k



(1 )n n k( )k

n k



  

II/ Ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Chứng minh k 2 k 1 k 2 k 2 ; ; ,

C C  C  C k n k n N



Giải: Áp dụng đẳng thức Pascal ta có:

1 1 2

  

Ví dụ 2: Chứng minh:

1 1 1

C C  C  C 

  

C  C  m n



Giải:

Theo đẳng thức Pascal ta có: 11 1

    ; 11 1

C  C C

   

Từ đó ta có: 11 1

   

21 1 2

    

…………

1 1



11

C  C

 

Cộng các đẳng thức trên ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 3: Cho n N n *; 2 Chứng minh đẳng thức :

2.1C n  3.2C n  4.3C n  (n 1)(n 2)C n n1 n n( 1)C n n n n( 1)2n2

Giải:

Với số tự nhiên k 2 Ta có

( 1) ( 1)

!( )! ( 2)![( 2) ( 2)]!

k

 

     = ( 1) k 22

n

n n C 



 Lần lượt cho k các giá trị từ 1 đến n ta có VT(3)=n n(  1)[C n02 C1n2 C n22 

3 2

2 2 ]

C  C 

 

  =n n( 1)2n2=VP(3) Ta có điều cần chứng minh

Ví dụ 4:Chứng minh:  n N n*, 2 ta cóC1n22C n232C n3 n C2 n n n n( 1)2n2

Giải:

Ta có:

2 k . k ( 1 1) k k ( 1) k

k C k kC k k  C kC  k kC k11 ( 1) k 22

nC  n n C 

Từ đó  VT(4) n C( n0C n1C n2 k11) ( 1)( 0 2 1 2 2 2

n

C 





2n ( 1) 2n ( 1)2n

Ta có điều cần chứng minh

dụ 5:Tính tổng 0

1 1

n

k n k

k









Giải: Ta có:

1 1

1 1 !( )! ( 1)( 1)!( )! 1







Do đó

1 0

(2 1)

n

n k





Ví dụ 6: (Đề thi Đại học, Cao đăng khối A – 2007)

Cho n là số nguyên dương, chứng minh:

1

2C

1

2 n+1

4

C 3

2 n+1

6

2 n+…+ 1

2 n

C 2n−1

2 n =

22 n−1

2n+1

Giải:

Ta có:

1

1 1 !(2 )! 2 1 ( 1)![2 1 ( 1)]! 2 1







Từ đó suy ra



Tương tự ta có:

1

( 1) ( 1)









Lấy (1)+(2) ta được



Hay:

2

n n

 



III/ Bài tập vận dụng.

Bài 1: Chứng minh :

a k 2 k 1 k 2 k 2 ; ; ,

C C  C  C k n k n N



b C n k 3C n k1 3C n k2 C n k3 C n k; k n

c k 4 k 1 6 k 2 4 k 3 k 4 k 4 ;



C C  C  C 

  

C  C  m n



e.1 C n1C n2 C n3 ( 1)k k ( 1)k k1

f.C n k2 C n k2 1 là số chính phương

Bài 2:Chứng minh các đẳng thức:

a 0

2

n

k n

n

k

C







b 0

( 1) 0

n

k k

n

k

C



 



c

5

5

0

2 243

k k

k

C







d

16

16 16

16

0

k k

k







e.C20nC22n 22 21 23

n

n

f.1 10  C21n  102C22n  103C23n 102n 1 22n 1 102n 81n

n

C

 

g 0

1

3

k n

n

k

C



 

 

 



( 1) 4 2

k k n k k k

h

2001

2001 2002

2002 2002

0

1001.2

k k









Bài 3: Chứng minh rằng:

a) 11

kC nC 





b) ( 1) k ( 1) k22

k k C n n C 



c) 2 k ( k11 ( 1) k 22

k C n C  n C 

d) ( 1) i 11 ( 1) i



1

k

f)

2 2

( 1)( 2) ( 1)( 2)







Bài 4:Chứng minh:

a) C n1 2C n2 (n 1)C n n1 C n n n2 n1 n N

b) C n122C n232C n3 n C2 n n n n( 1)  n N n, 1

c) 1.22 22 2.24 24 3.26 26 22n 22n ((32n 1 1) *

Bài 5: Tính tổng

S C  C  C    nC  n N

S C  C  C    n C  n N n

Bài 6: Chứng minh  n N* ta có:

a)

1

n n





b)

2

n n

 



Bài 7: Tính tổng

a)

0 1 3

n

n



b)

4

1.2 2.3 3.4 ( 1)( 2)

n

 

c)

5

1.2.3 2.3.4 3.4.5 ( 1)( 2)( 3)

n

1

6

n n

n





