HSG Khoi 12 nam 08 - 09 (co DA)

Chứng minh rằng: a M là trung điểm của AB.. bTìm diện tích tam giác OAB.. Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu, giám thị không giải thích gì thêm.

Trờng THPT cẩm thuỷ I đề thi chọn học sinh giỏi cấp trờng lớp 12 năm học 2008-2009 Môn : Toán

Thời gian 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1: (2,5 điểm)

Cho hàm số y = (m+3)x3 - 3(m+3)x2 - (6m+1)x + m + 1 (Cm)

a) Tìm m để hàm số luôn luôn đồng biến?

b) Chứng minh rằng: họ đờng (Cm) có 3 điểm cố định thẳng hàng

Câu 2 : (3,0 điểm)

Cho (C): y=x2 1

x

 , M là điểm bất kỳ trên (C), (d) là tiếp tuyến với (C) tại M, (d) cắt các đờng tiệm cận của (C) tại A và B Chứng minh rằng:

a) M là trung điểm của AB

b)Tìm diện tích tam giác OAB

Câu 3 : (1,5điểm)

Giải hệ















x x y

y y x

1 2

1 2

2

2

Câu 4: (1,5 điểm)

Giải phơng trình: 2 1 cos

tan

1 sin

x x

x







Câu 5: (2,0 điểm)

Tìm m để bất phơng trình: mx x 3  m 1 có nghiệm?

Câu 6: (2,0 điểm)

ChoABC Chứng minh rằng: cot

2

A

, cot

2

B

, cot

2

C

theo thứ lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi: sinA, sinB, sinC cũng theo thứ tự này lập thành cấp số cộng

Câu 7: (1,5 điểm)

Chứng minh rằng: 0 ( 1 ) 1 2 2 1 2 1









n

n n n

*

n N

Câu 8: (2,0 điểm)

Tìm tất cả các cặp số nguyên (a;b) sao cho: asinx + b = sin(ax+b) đúng với mọi x thực?

Câu 9: (2,0 điểm)

Cho a,b,c >0 Chứng minh rằng: a b c a b c

a b b c c a      b c  c a  a b

Câu 10: (2,0 điểm)

Cho dãy vô hạn  u n , n =1, 2, 3, xác định nh sau:

1

1

1

u







 

 với n =1, 2, 3, đặt

1

1

n n

k k

S

u



 Tìm lim n

n S

 

Họ tên thí sinh ……… Số báo danh………

Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu, giám thị không giải thích gì thêm.

Trờng thpt cẩm thuỷ i Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp trờng

Khối 12 THPT - Năm học 2008-2009

đáp án - Hớng dẫn chấm môn toán

(Thời gian làm bài: 180 phút )

Câu 1:

(2,5đ)

a) 1,5 điểm

*) m=-3 (C-3):y=17x-2 đb với: x > 2/17 =>m=-3 loại *) m 3 có y’ =3(m+3)x2 - 6(m+3)x - 6m - 1 luôn đb 0,75đ

0 3 0 10

3

m

b)1,0 điểm

+)M(x;y) (C m) m (x3 3x2 6x 1)m 3x3 9x2 x  1 y  0 m

3 2



 



+) f(x)=x3- 3x2- 6x+1 có f(-10)=-1239; f(0)=1; f(1)=-7; f(10)=641

nên f(x) có 3 nghiệm p/b

+) y=3( x3-3x2-6x+1 )+17x-2 =17x-2 => 3 điểm cố định thẳng hàng

0,5đ 0,5đ

Câu 2:

(3,0 đ)

a) 2 điểm

t/c đứng (d1): x=0 và t/c xiên (d2): y=x;

Tiếp tuyến tại M(xM;yM) là (d): :y=

2 2

M

x x





Cắt (d1): ở A(0; 2

M

x ) và (d2): ở B(2xM;2xM)

do A,B,M nằm trên (d) mà xA+xB=2xM nên M là trung điểm của AB

1,0đ 0,5đ 0,5đ

b)1 điểm

1

2

OAB

S  OAh với h=k/c(B;d1)= x B

1 1 2

M

x



    (Đv diện tích)

0,5đ 0,5đ

Câu 3:

(1,5 đ)

ĐK x,y 1;xy 1

xy

2x x 1 0 (x 1)(2x x 1) 0 x 1

nghiệm (1;1)

1,0đ

0,5đ

Câu 4:

(1,5 đ)

x

2 1

4

cos x

k N



2

, 4

x m





1,0đ

0,5đ

Câu 5:

(2,0 đ)

t= x  3 0;  (1) 2

f(t) đb  0; 1  3 & nb 1 3;

4

( )

t

Max f t

 



 Bpt có nghiệm khi đờng y=m không nằm phía trên đờng y=f(t)

vậy m 1 3

4





1,0đ 0,5đ 0,5đ

Câu 6:

(2,0 đ)

2

A

2

B

2

C

   

1,5đ 0,5đ

Câu 7:

(1,5 đ)

f(x)= 0 n 1 n 1 n 1 n

f(x)=(x+1)n f, (1) n2n 1

  (2) Từ (1)&(2) có ĐpCM

0,75đ 0,75đ

Câu 8:

(2,0 đ)

với x=0 b=sinbZ  b 0 =>asinx sinax

với x=  0 sin a      a k a k Z 

sin 1

2

a  a  nên a=-1,a=0,a=1 thử lại đợc (a,b)

( 1;0),(0;0),(1;0)

1,0đ

1,0đ

Câu 9:

(2,0 đ)

Với x,y>0 từ m>0 & x 1 x x m



 VT< a c b a c b 2 (1)

a b c b c a c a b

VP=

a b c  b c a  c a b 

2 (2)

a b c   a b c   a b c  

Từ (1) và (2) suy ra ĐPCM

1,0đ

1,0đ

Câu 10:

(2,0 đ)

uk+1=1+u1u2 uk=>uk+1-1=u1u2 uk=uk(u1u2 uk-1+1-1)=uk(uk-1)

u   u u  u   u  u u   u  

n

S

2

u u   u     u  

Do un+1-1=u1u2 un=u2u3 un >2n-1

Vì u2=1+u1=2; u3=1+u1u2 >1+u1= 2; u4=1+u1u2u3>1+u1 =2

mà lim 2n 1

n



   nên

1

1

1

n n

u

 





 vậy lim n 2

n S

  

1,0đ

1,0đ