Đề thi HSG Kim Sơn năm 08 - 09 kèm đáp án

Chứng minh rằng: d ab Bài 4: 6 điểm Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O, tia phân giác của góc A cắt BC tại E và cắt đờng tròn tại M.. Chứng minh: M, O, N thẳng hàng c Kéo dài Ax

Đề thi học sinh giỏi năm học 2008 – 2009 2009

Môn Toán 9 Thời gian làm bài 150 phút Bài 1 (4 điểm)

Cho biểu thức :

2 3

1

x A

x





a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức A

b) Rút gọn biểu thức A

c) Tìm GTNN của biểu thức A

Bài 2 (4 điểm)

Giải các hệ phơng trình sau:

2 16







b)

2

2







Bài 3 (3điểm)

Giả sử a và b là hai số nguyên dơng sao cho a 1 b 1

 là số nguyên Gọi d là ớc

số của a và b Chứng minh rằng: d ab

Bài 4: (6 điểm)

Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O, tia phân giác của góc A cắt BC tại E

và cắt đờng tròn tại M

a) Chứng minh : OM vuông góc với BC

b) Dựng tia phân giác ngoài Ax của góc A cắt đờng tròn tại N Chứng minh: M,

O, N thẳng hàng

c) Kéo dài Ax cắt CB kéo dài tại F Chứng minh: FB EC = FC EB

d) Gọi giao điểm của OM và BC là I Chứng minh : góc AMI = góc CFA

Bài 5: ( 3 điểm)

a) Tìm tất cả các số nguyên n sao cho n2 + 2002 là số chính phơng

b) Cho 1 1 1 1

nguyên

Đáp án đề thi học sinh giỏi huyện Kim Sơn Năm 08 – 2009 09

Bài 1:

a) Để biểu thức A xác đinh thì 0

1 0

x x







 



0 1

x x





 



 b) Với x ≥ 0 và x ≠ 1 ta có:

2 3 2

3

2

2

1

1

1

x A

x

x









 

Vậy :

2

1 1

A





  với x ≥ 0 và x ≠ 1 c) Ta có : x ≥ 0 Suy ra: x2 + x + 1 ≥ 0

2 1 1

1

 

2 1 1

1

A



  , dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0 Vậy : GTNN của biểu thức A bằng – 1 , giá trị này đạt đợc khi x = 0

Bài 2:

Kết quả : a) Hệ phơng trình có 4 nghiệm:

x y ;   3; 1 ,  1;3 , 1; 3 ,    3;1 

c) Hệ phơng trình có hai nghiệm là

x y ;   1;1 , 1; 1  

Bài 3:

 Xét TH: d ≥ 1 Hiển nhiên BĐT: d ab đúng với điều kiện ở đề bài

 Xét TH: d ≥ 2 Đặt : a = d.m và b = d n (m;n ≥ 1 và m;n thuộc Z)

a 1 b 1

 = k (k là số nguyên)

2

2

2





 Vì d là ớc của a và b nên  2 2

2

Do đó: 2

a b d  a+ b ≥ d2 mặt khác a và b là hai số nguyên dơng và d ≥ 2

Suy ra: d  ab

Tóm lại : d a với các điều kiện ở đề bài; Dấu đẳng thức xảy ra tại các b

giá trị thích hợp của a và b Chẳng hạn: a = 2 và b = 2

Bài 4: ( Quá dễ)

Bài 5:

a) Đặt 2 2

 m n m  n 2002 (*)

Vì m và n là hai số nguyên nên m n ; mn là ớc của 2002

Mặt khác (m – n ) và (m + n ) là hai số có cùng tính chẵn lẻ

Suy ra :Phơng trình (*) vô nghiệm

Vậy không tìm đợc số n để n2 + 2002 là số chính phơng

b)

Trớc hết ta chứng minh: 2 n 1 n 1 2 n n 1

n

      với n ≥ 1, n  N Thật vậy:

Từ đó ta có: 2 101 2 1 1 1 2 100 1

Mà 2 101 2 2 100  1,5

Do đó: 17 1 1 1 18

Suy ra: 18 1 1 1 1 19

Vậy S không phải là số tự nhiên