Mở rộng từ bài toán đơn giản

MỞ RỘNG TỪ MỘT BÀI TOÁN ĐƠN GIẢN Nguyễn Công Phúc-10Toán, Lương Thế Vinh, Đồng Nai IMở đầu Trong đợt đi tập huấn huấn tại Vũng Tàu, có một bài toán nhìn vào khá khó nhưng lời giải cực kì

Trang 1

MỞ RỘNG TỪ MỘT BÀI TOÁN ĐƠN GIẢN

(Nguyễn Công Phúc-10Toán, Lương Thế Vinh, Đồng Nai)

I)Mở đầu

Trong đợt đi tập huấn huấn tại Vũng Tàu, có một bài toán nhìn vào khá khó nhưng lời

giải cực kì đơn giản

Bài 1: Tồn tại hay không các số a b c, , Z thỏa a3b4 c5

Lời giải

Từ hằng đẳng thức 225 224 224 Suy ra      25 5  28 3 26 4

Chọn a2 ;8 b2 ;6 c25 Vậy tồn tại a b c, , thỏa yêu cầu đề bài

Dưới đây là một số mở rộng của bài 1

Bài 2:(Canada 1991) Chứng minh phương trình x2y3 z5 có vô số nghiệm nguyên dương Lời giải

Ta có: 2m2m 2m1 Đặt 22

m

x  ; 23

m

y  ;

1 5 2

m z



 , khi đó x2y3 z5

Ta chỉ cần tìm m sao cho

2

m

;

3

m

5

m 

nguyên là xong Đây là một bài toán bậc nhất đơn giản và ta có thể tìm được m6(5k4)

Vậy x 23(5k4 );y 22 (5k4 );z 26k5 là nghiệm của phương trình nên có vô số nghiệm nguyên dương

Bài 3: Chứng minh phương trình x2 y3z4 t5 có vô số nghiệm nguyên dương

Lời giải

Ta có:  60 12 2 40 8 3 30 6 4 24 55

3 n  3 n  3 n  3 n

Ta sẽ chọn x 360n 12;y340n 8;z330n 6;t 324n 5

Vậy phương trình có vô số nghiệm nguyên dương

Để hiểu rõ hơn cách chọn x,y,z sao cho thỏa yêu cầu đề bài, chúng ta hãy đến một định lý II) Nội dung

Định lý: Cho phương trình 1 2 1 

1y 2y y n y n1 1



    (với x x1; 2; ;x n1 là ẩn;

1; y ; ; y2 n 1

y  là các số nguyên dương cho trước)

Gọi llcm y y 1; 2; ;y n Nếu l;y n1 thì phương trình (1) có vô số nghiệm nguyên 1 dương

Chứng minh định lý:

Ta có: n mn m n m n m1 Đặt i  1, 

m y i

x n  i n ; 1

1

n

m y n

x n 



  , khi đó (1) xảy ra

Ta chỉ cần tìm m sao cho  1, 

i

m

y



1

n

m

Z y



1

m l m al

by al

m y  m by  





Hệ thức Bezout:

Nếu a,b là hai số nguyên (không đồng thời bằng 0) thì tồn tại các số nguyên u v, sao cho

Trang 2

gcda b; au bv

Theo hệ thức Bezout thì tồn tại a, bZthỏa (3)

Mặt khác (3) là phương trình Diophantine bậc nhất nên tồn tại vô số số nguyên dương m thỏa (2)

Vậy phương trình (1) tồn tại vô số nghiệm nguyên dương

III) Một số ví dụ

Bài 1: Chứng minh phương trình x3y5 z8 có vô số nghiệm nguyên dương

Lời giải

Ta có hằng đẳng thức: 2m2m2m1 Đặt

1

2 ; 2 ; 2

y z



   , khi đó x3y5 z8

Ta cần tìm m sao cho ; ; 1

m m m

Z



1 8

m a

b a





 

 Đây là phương trình Diophantine bậc nhất suy ra b15n2

Dẫn đến m120n15x240n5; y224n3;z215n2

Bài 2: Chứng minh phương trình x3y4z5 t7 có vô số nghiệm nguyên dương Lời giải

Ta có: 3m3m3m 3m1 Đặt

1

3 ; 3 ; 3 ; 3



Ta cần chỉ m sao cho ; ; ; 1

m m m m

Z



 Suy ra: 60 7 60 1

1 7

m a

b a







 



140 100 105 75 84 60 60 43

Vậy phuơng trình có vô số nghiệm nguyên dương

Bài 3: Chứng minh phương trình a2b4c5d7 e3 có vô số nghiệm nguyên dương Lời giải

Từ hằng đẳng thức: 4m4m4m4m 4m1

Suy ra đặt

1

4 2 ; b 4 2 ; 4 ; 4 ; 4

m



Ta cần chỉ m sao cho ; ; ; 1

m m m m

Z



1 3

m x





 



210 140 105 70 42 28 30 20 70 47

2 n ; 2 n ; 4 n ; 4 n ; 4 n

a  b  c  d  e 

Bài 4: Chứng minh phương trình 2x33y4 z5 có vô số nghiệm nguyên dương

Lời giải

Ta luôn có: 2x33y4 z5 x3x3y4y4y4 z5

5m5m5m5m5m 5m1

Đặt

1

5 ; 5 ; 5



   Ta cần tìm m sao cho 12 60 24

1 5

m

m n m











 Chọn x520n8;y515n6;z512n5, khi đó 2x33y4 z5

Trang 3

Bài 5: Chứng minh phương trình 2a b c có vô số nghiệm nguyên

Lời giải

Cách 1: Từ phương trình ban đầu suy ra 2 2  3 5

a a  b c

Mà: 3m3m3m3m1 nên đặt

1

2

3 ; 3 ; c 3

m

a b



Ta tìm m sao cho 6 30 24

1 5

m

m n m











 Dẫn đến a315n12;b 310n8;c36n5

Vậy phương trình có vô số nghiệm nguyên

Cách 2: Phương trình ban đầu ta có: a2a2  c 5 b3

Đặt

1

2

m



    Ta cần tìm m sao cho 10 30 20

1 3

m

m n m











 Dẫn đến a315n 10;b310n 7;c 36n 4

Vậy phương trình có vô số nghiệm nguyên

IV) Bài tập áp dụng

Bài 1: Chứng minh phương trình 2a3 b4có vô số nghiệm nguyên dương

HD: Chọn a24n1;b23n1

Bài 2: Chứng minh phương trình x4 y5 z9có vô số nghiệm nguyên dương

HD: Chọn x245n20;y236n16;z220n9

Bài 3: Chứng minh phương trình a3b4 c7có vô số nghiệm nguyên dương

HD: Chọn a 228n16;b 221n12;c 212n7

Bài 4: Chứng minh phương trình a2b4c5 d3có vô số nghiệm nguyên dương HD: Chọn a330n 10;b315n 5;c312n 4;d 320n 7

Bài 5: Chứng minh phương trình x2 y4z6 t5có vô số nghiệm nguyên dương HD: Chọn x330n 12;y315n 6;z310n 4;t312n 5

Bài 6: Chứng minh phương trình 3 5 7 9 2

x x x x x có vô số nghiệm nguyên dương HD: Chọn x1 4210n105;x2 4126n63;x3 490n45;x4 470n35;x5 4315n158

Bài 7: Chứng minh phương trình x2 2y33z54t7 có vô số nghiệm nguyên dương HD: Chọn x 9105n53;y 970n35;z 942n21;t 930n15

Bài 8: Chứng minh phương trình 3a54b6 c7có vô số nghiệm nguyên dương

HD: Chọn a742n 18;b735n 15;c730n 13

Bài 9: Chứng minh phương trình a2b4c6 x3y5z7có vô số nghiệm nguyên HD: Chọn a5210n 150;b5105n 75;c570n 50;x 5140n 100;y 584n 60;z560n 43

Bài viết xin kết thúc

Định dạng
Số trang	3
Dung lượng	109,55 KB