Phát triển tư duy tích cực, sáng tạo của học sinh khá, giỏi thông qua việc xây dựng, khái quát và mở rộng các bài toán số học

Trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi Toán ở trường THCS, cần phảichú trọng đến việc khai thác và phát triển cho một bài toán, nó không chỉ cho học sinh nắmbắt kĩ kiến thức

MỤC LỤC

A MỞ ĐẦU 2

I ĐẶT VẤN ĐỀ: 2

1 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu 2

2 Ý nghĩa và tác dụng của đề tài 3

3 Phạm vi nghiên cứu 3

II PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH 3

1 Cơ sở lí luận và thực tiển 3

2 Các biện pháp tiến hành 4

B NỘI DUNG 5

I MỤC TIÊU 5

II MÔ TẢ GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI 5

1 Thuyết minh tính mới 5

2 Khả năng áp dụng 20

3 Lợi ích kinh tế xã hội 20

C KẾT LUẬN 21

1 Những điều kiện, kinh nghiệm áp dụng, sử dụng giải pháp 21

2 Những triển vọng trong việc vận dụng và phát triển giải pháp 21

3 Đề xuất, kiến nghị 21

NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA BGH NHÀ TRƯỜNG 24

A MỞ ĐẦU

I ĐẶT VẤN ĐỀ:

1 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu

Trong nhà trường trung học cơ sở hiện nay, mỗi thầy cô giáo không ngừng đổi mớiphương pháp dạy học nhưng việc tìm ra phương pháp hợp lí, phát huy tính tích cực, sángtạo của học sinh, thu hút được học sinh không phải là chuyện đơn giản! Phương pháp dạyhọc của giáo viên vẫn còn nặng tính thuyết trình, giải thích sách giáo khoa, còn bị động bởisách giáo khoa, chưa có sự gia công đáng kể để đề xuất những phương pháp mới, dẫn đếnhọc sinh tiếp thu kiến thức một cách thụ động và không có cơ hội phát huy sự sáng tạo củabản thân

Đối với học sinh: về khách quan cho thấy hiện nay năng lực học toán của học sinhcòn rất nhiều thiếu xót đặc biệt là quá trình vận dụng các kiến thức đã học vào bài tập vàthực tiễn Tỷ lệ học sinh yếu kém còn cao Tình trạng phổ biến của học sinh khi làm toán làkhông chịu nghiên cứu kĩ bài toán, không chịu khai thác và huy động kiến thức để làm toán.Trong quá trình giải thì suy luận thiếu căn cứ hoặc luẩn quẩn Trình bày cẩu thả, tuỳ tiện …

Vì vậy yêu cầu đặt ra của cải cách là phải đổi mới phương pháp dạy học theo hướngtích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, dưới sự tổ chức hướng dẫn của giáo viên Họcsinh tự giác, chủ động tìm tòi, phát hiện, giải quyết vấn đề và có ý thức vận dụng linh hoạt,sáng tạo các kiến thức đã học vào bài tập và thực tiễn Trong đó có đổi mới dạy, học mônToán Trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi Toán ở trường THCS, cần phảichú trọng đến việc khai thác và phát triển cho một bài toán, nó không chỉ cho học sinh nắmbắt kĩ kiến thức của một dạng toán, mà cơ bản hơn là nâng cao tính khái quát hoá, đặc biệthoá một bài toán để từ đó phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo cho các em học sinh Hơnnữa, việc liên kết các bài toán khác nhau, tìm mối liên hệ chung giữa chúng sẽ giúp cho họcsinh có hứng thú khoa học hơn khi học Toán Một trong những điều kiện có thể phát triển tưduy tích cực - độc lập - sáng tạo của học sinh là phát hiện và giải quyết vấn đề mới từ vấn đềquen thuộc

Trong quá trình công tác, bản thân tôi không ngừng học tập, nghiên cứu và vận dụng

lý luận đổi mới vào thực tế giảng dạy của mình Qua quá trình tập huấn, được sự cộng táccủa đồng nghiệp và sự chỉ đạo của ban giám hiệu nhà trường tôi đã tiến hành nghiên cứu vàvận dụng quan điểm trên vào công tác giảng dạy của mình và thấy rất có hiệu quả

Xuất phát từ những lý do trên tôi đã chọn đề tài “Phát triển tư duy tích cực, sáng tạo của học sinh khá, giỏi thông qua việc xây dựng, khái quát và mở rộng các bài toán số học

”.Với mong muốn góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán theo tinh thần đổi mới.

2 Ý nghĩa và tác dụng của đề tài

Hình thành cho học sinh phương pháp suy luận khoa học, rèn luyện các thao tác tưduy quan trọng của toán học như: phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, trừu tượng hoá, tương

tự hoá, lật ngược vấn đề, quy lạ về quen, … có thói quen dự đoán, tìm tòi, nhìn nhận mộtvấn đề dưới nhiều khía cạnh khác nhau, có năng lực phát hiện vấn đề, giải quyết vấn đề,đánh giá cách giải quyết vấn đề đó, diễn đạt một vấn đề có sức thuyết phục

Ngoài mục đích trên, đề tài cũng là một tài liệu tham khảo cho các giáo viên trongquá trình đọc và nghiên cứu tài liệu, cũng như giảng dạy bồi dưỡng môn toán

3 Phạm vi nghiên cứu

Khảo sát, đề xuất và mở rộng các bài toán số học dạng tính tổng trong chương trìnhtoán THCS và trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS

Đối tượng nghiên cứu: Học sinh khá, giỏi lớp 6, 7, 8 và 9

II PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH

1 Cơ sở lí luận và thực tiển

a Cơ sở lí luận:

– Đặc điểm của lứa tuổi THCS là: muốn vươn lên làm người lớn, muốn tự mình khámphá, tìm hiểu trong quá trình nhận thức Các em có khả năng điều chỉnh hoạt động học tập,sẵn sàng tham gia các hoạt động học tập khác nhau nhưng cần phải có sự hướng dẫn, điềuhành một cách khoa học và nghệ thuật của thầy cô giáo Hoạt động dạy học toán, giải các bàitoán khó càng có điều kiện thuận lợi giúp cho việc hình thành và phát triển tư duy tích cực,độc lập, sáng tạo của học sinh một cách tốt nhất

– Tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo của học sinh được thể hiện một số mặt sau:

+ Biết tìm ra phương pháp nghiên cứu giải quyết vấn đề, khắc phục các tư tưởng rậpkhuôn, máy móc

+ Có kĩ năng phát hiện những kiến thức liên quan với nhau, nhìn nhận một vấn đề ởnhiều khía cạnh

+ Phải có óc hoài nghi, luôn đặt ra các câu hỏi tại sao? Do đâu? Như thế nào? Liệu cótrường hợp nào nữa không ? Các trường hợp khác thì kết luận trên có đúng nữa không ? + Tính độc lập còn thể hiện ở chổ biết nhìn nhận vấn đề và giải quyết vấn đề

+ Có khả năng khai thác một vấn đề mới từ những vấn đề đã biết

b Cơ sở thực tiễn:

Qua nhiều năm giảng dạy, tôi thấy:

– Học sinh yếu toán là do kiến thức còn hổng, chưa thực sự nắm vững kiến thức, lạilười học, lười suy nghĩ, lười tư duy trong quá trình học tập

– Học sinh còn thụ động, làm việc rập khuôn, máy móc để từ đó làm mất đi tính tíchcực, độc lập, sáng tạo của bản thân.

– Học không đi đôi với hành làm cho các em ít được cũng cố, khắc sâu kiến thức, rènluyện kĩ năng để làm nền tảng tiếp thu kiến thức mới, do đó năng lực cá nhân không đượcphát huy hết

– Không ít học sinh thực sự chăm học nhưng chưa có phương pháp học tập phù hợp,chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu quả học tập chưa cao

– Nhiều học sinh hài lòng với lời giải của mình, mà không tìm lời giải khác, khôngkhai thác phát triển bài toán, sáng tạo bài toán nên không phát huy hết tính tích cực, độc lập,sáng tạo của bản thân

– Một số giáo viên chưa thực sự quan tâm đến việc khai thác, phát triển, sáng tạo bàitoán trong các các giờ luyện tập, tự chọn

– Việc chuyên sâu một vấn đề nào đó, liên hệ được các bài toán với nhau, phát triểnmột bài toán sẽ giúp cho học sinh khắc sâu được kiến thức, quan trọng hơn là nâng cao được

tư duy cho các em làm cho các em có hứng thú hơn khi học toán

Trước thực trạng trên đòi hỏi phải có các giải pháp trong phương pháp dạy và học saocho phù hợp

2 Các biện pháp tiến hành

Để hoàn thành đề tài tôi đã sử dụng kết hợp nhiều phương pháp cụ thể là:

+ Phương pháp đọc sách, nghiên cứu tài liệu

+ Phương pháp thực nghiệm

+ Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

+ Phương pháp trò chuyện

+ Phương pháp điều tra, trắc nghiệm

Ngoài ra, tôi còn sử dụng một số phương pháp khác

B NỘI DUNG

I MỤC TIÊU

Dạy cho học sinh biết khám phá, tìm tịi, khai thác bài tốn theo những hướng tiếpcận khác nhau, khơng chỉ dừng lại ở một kết quả, một cách giải, mà cịn phải biết đề xuấtcách giải khác, một hướng phát triển bài tốn mới- đĩ chính là mục tiêu hướng đến của đề tàinày

II MƠ TẢ GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI

1 Thuyết minh tính mới

- Qua những bài tốn mà học sinh đã giải được, tơi định hướng cho học sinh tư duytheo các phương pháp như: Tương tự, so sánh, đặc biệt hố, khái quát hố để phát triển thêmnhững vấn đề mới, bài tốn mới

- Trong phần này tơi xin được phép phát triển từ một bài tốn quen thuộc để xây dựngmột số bài tốn khác cĩ liên quan Nhằm làm cho học sinh thấy được, tầm quan trọng trongviệc thay đổi các giả thiết, tương tự hố bài tốn, liên hệ giữa bài tốn này với bài tốn khác

cĩ liên quan

Bài tốn mở đầu: Tính tổng: S 1 2 3 4 99 100      

Việc tính tổng S ở bài tốn trên là hồn tồn quen thuộc, bằng cách dựa vào cách tính củanhà tốn học Gauss ở sách giáo khoa tốn 6 tập 1

Ta cĩ: S 1  2  3  4 99 100  

S 100 99 98 97 2       1 2S 101 101 101 101 101       101 (có100 số hạng)

S 100.101 5050

2

Từ bài tốn trên ta cĩ một nhận xét:

2S (100 1) (100 1) (100 1) (100 1)          (100 1) (có100 số hạng)100.(100 1)

Nếu mở rộng tổng trên với n số hạng ta cĩ bài tốn sau:

Bài tốn 1a Tính tổng: S 1 2 3 4 n 1 n        (n  )

Dựa vào cách tính tổng như bài tốn mở đầu ta dễ dàng cĩ được:

S 1 2 3 4 n 1 n n(n 1)

2



Vấn đề tiếp theo là ngoài cách tính trên ta còn có cách tính nào khác nữa hay không?

Ta thử phân tích khác như sau:

1.2

22.3

Ta có thể chứng minh kết quả trên bằng phương pháp quy nạp:

Kiểm tra với n = 1 ta có:

S(1) = 1 (đúng)Giả sử S(n) n(n 1)

Ở bài toán trên khoảng cách giữa các số hạng là 1 đơn vị Liệu có thể tính tổng của một dãy

số với khoảng cách giữa các số hạng cho trước tùy ý hay không? Ta thử làm bài toán sau:

2 2

2

2 2

1 5

(2n 1)

1  3 (2n 1) 

12

* Tới đây lại xuất hiện vấn đề tiếp theo là liệu có thể tính tổng của một dãy số với

khoảng cách d thay đổi giữa các số hạng hay không ?

Xuất phát từ việc phân tích của bài toán 1a, ta có:

Từ suy nghĩ trên, ta có thể đề xuất bài toán sau:

Bài toán 1e: Tính tổng: E = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + … + n.(n+1)

Ta cố gắng tìm cách phân tích để đưa bài toán về gần với bài toán 1 bằng cách sau đây:

E = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + … + n.(n+1)

= 1.(1 + 1) + 2.(1 + 2) + 3.(1 + 3) + 4.( 1+ 4) + ……+ n.(1 + n)

= (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + n) + ( 2 2 2 2

1 2 3  n )

Như vậy để tính được tổng E ta cần tính tổng: F = 122232 n 2

Việc nghiên cứu bài toán 1e cho ta nhiều kết quả rất lí thú ta dành lại ở mục riêng,

còn bây giờ ta xét bài toán sau:

Bài toán 2: Tính tổng: P(n) = 12 + 2 2 +3 2 + + n 2

Dựa vào cách phân tích và kết quả của bài toán 1để tính tổng này ta lập bảng sau đây

(Theo một gợi ý của nhà toán học Polya)

53

73

93

113

133Dựa vào bảng trên ta có:

n  ; với S(n) = ( 1)

Bài toán 2a Tính tổng :

Với a n a n1d ( 1 a 0, d nguyên dương tùy ý)

Ta có thể dựa vào quy luật sau:

Bài toán 3: Tính tổng sau: K(n) =13 + 2 3 + 4 3 + + n 3

Ta có thể dự đoán kết quả bài toán dựa vào cách phân tích sau đây:

Qua việc khảo sát 3 bài toán trên, một nhu cầu tất yếu đặt ra là có thể tính được tổng trong trường hợp tổng quát hay không ? Ta hãy xuất phát từ bài toán sau đây :

Xét tổng S3(n) = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + n(n +1)(n +2)

Nhân S2(n) với 3, ta có:

Để tính tổng trên, ta lần theo lối suy luận quy nạp sau đây:

Do : n( n + 1) = n2 + n , và theo bài toán 1e ta có :

S2(n) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + … + n(n + 1)

= (122233 n 2) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + n)

= T2(n) + S1(n)Suy ra : T n) S2(  2(n)   1(n)n(n 1)(n 2) n(n 1)   

3

 S

2Hay : 1 22  2 3 n3  2 n(n 1)(2n 1) 

6Tương tự để tính T3(n) =13 + 23 + 33 + + n3 , ta xét S2(n) với chú ý rằng:

Có thể mở rộng dần bài toán như sau :

Bài toán 11: Tính tổng sau : C(n) 1 1 1 1

1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n 1)(n 2)

Nhận xét:

1 1 1 11.2.3 2 1.2 2.3

Trên cơ sở đó ta có thể mở rộng đến bài toán sau

Bài toán 13: Tính tổng sau: L(n) 1 1 1 1

1.3 3.5 5.7 (2n 1)(2n 1)

Nhận xét:

Với: a1 1, a2  a1 a3 a2 a4 a3   an 1  an b(b là số tự nhiên bất kỳ, b 0) Khi

Một số ví dụ ứng dụng phương pháp tính tổng trong giải toán tìm x

Bài toán 1a: Tìm số tự nhiên x biết:

1 + 2 + 3 + 4 + + x = 500500

Giải: 1 + 2 + 3 + 4 + + x = 500500

x( x+ 1) : 2 = 500500

Suy ra : x(x+1) = 500500 2 = 1001000 = 1000 1001

Vì x và x + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên x = 1000

Bài toán 1b: Tìm số tự nhiên x biết: ( x + 1) + ( x + 2) + + ( x + 100) = 7450

Khi gặp bài toán này học sinh thường lung túng với tử số bằng 6 ở các phân số đầu và phân

Giáo viên lại tiếp tục mở rộng bài toán :

Bài toán 2b: Tìm số nguyên x, biết:     

x x

x x

x x x

Từ bài toán trên giáo viên lại tiếp tục mở rộng bài toán:

Bài toán 2c: Tìm số nguyên x, biết:     

2 Khả năng áp dụng

– Việc phát triển từ một bài toán quen thuộc để xây dựng một số bài toán mới có liênquan có thể được áp dụng rộng rãi trong những tiết học bồi dưỡng học sinh khá giỏi trong cảcấp học ở trường THCS

– Đối với giáo viên: Có thể sử dụng đề tài này làm tài liệu tham khảo trong việc dạyhọc và bồi dưỡng học sinh giỏi

3 Lợi ích kinh tế xã hội

a Đối với học sinh

– Với phương pháp này học sinh cơ hội phát huy tính tích cực, sáng tạo trong việchọc tập môn toán nói riêng và tất cả các môn học khác nói chung

– Học sinh dần dần hình thành những kỹ năng dự đoán và suy luận có lý, dự đoánthông qua quan sát, so sánh, khái quát, quy nạp và phương pháp học tập mới khoa học, hiệuquả Tự mình có thể chính lĩnh một kiến khác khoa học ở nhiều khía cạnh khác nhau và pháttriển kiến thức đó thành những vấn đề mới

b Đối với giáo viên

– Với đề tài này giúp cho giáo viên phần nào đổi mới phương pháp dạy học toán, cónhiều ý tưởng sáng tạo hơn trong việc khai thác và phát triển một vấn đề toán học khi dạyhọc và bồi dưỡng học sinh khá giỏi

– Sau khi nghiên cứu và áp dụng đề tài này tôi nhận thấy bước đầu có những kết quảkhả quan Tôi đã nhận thức được cần phải đổi mới hơn nữa trong việc dạy học và bồi dưỡngmôn toán, cần phải phát huy hơn nữa tính tích cực và chủ động sáng tạo của học sinh

– Qua việc nghiên cứu đề tài đã góp phần nâng cao trình độ chuyên môn và hiệu quảtrong việc giảng dạy và bồi dưỡng học sinh khá, giỏi môn toán ở trường THCS

C KẾT LUẬN

1 Những điều kiện, kinh nghiệm áp dụng, sử dụng giải pháp

– Trong đề tài này tôi đã chọn lọc một số bài toán số học điển hình với nhiều cáchgiải, nhiều hướng phát triển và mở rộng với mục đích giúp cho các em học sinh tiếp cận mộtbài toán, một vấn đề toán học không chỉ dừng lại ở một kết quả, một cách giải mà phải biếtkhai thác, mở rộng và phát triển nó theo những khía cạnh khác nhau, tạo nên những kết quảmới hay hơn, đẹp hơn Các khả năng này không phải tự nhiên xuất hiện, mà phải trải quaquá trình luyện tập, từ các bài toán đơn giản đến phức tạp, từ chính sự say mê, yêu thích toánhọc, đó chính là tiền đề của tư duy sáng tạo

– Trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng việc khai thác bài toán không chỉ cho họcsinh nắm bắt kĩ kiến thức của một dạng toán mà cơ bản hơn nó nâng cao tính khái quát hoá,đặc biệt hoá một bài toán để từ đó phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo cho các em họcsinh Hơn nữa, việc liên kết các bài toán khác nhau, tìm mối liên hệ chung giữa chúng sẽgiúp cho học sinh có hứng thú khoa học hơn khi học toán

2 Những triển vọng trong việc vận dụng và phát triển giải pháp

– Việc xây dựng, khái quát và mở rộng các bài toán số học trong chương trình toánTHCS không chỉ dừng lại ở các bài toán số học dạng tính tổng mà hướng đi tiếp theo của đềtài này là tiếp tục phát huy tính tích cực, sáng tạo của học sinh qua việc khai thác và mở rộng

từ một bài toán đại số, hình học trong chương trình toán THCS

– Tôi huy vọng rằng, việc áp dụng những tính mới của đề tài này sẽ góp phần gâyhứng thú cho học sinh trong việc học bộ môn toán và từng bước nâng cao chất lượng, hiệuquả trong việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi

3 Đề xuất, kiến nghị

Đối với các cấp lãnh đạo: Cần khuyến khích giáo viên nghiên cứu chọn ra giải pháp

hữu hiệu nhằm nâng cao chất lượng các môn học, đặc biệt là môn toán trong nhà trường.Động viên, giúp đỡ và khen thưởng những giáo viên có thành tích trong việc nâng cao chấtlượng dạy và học ở nhà trường

Đối với giáo viên: Phải không ngừng đầu tư nghiên cứu tìm ra giải pháp nâng cao

chất lượng giáo dục Phải không ngừng học tập nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ củabản thân, tích lũy kinh nghiệm từ đồng nghiệp, biết cách áp dụng hợp lí các phương pháp,các chuyên đề toán vào quá trình giảng dạy của bản thân

– Cần nâng cao hơn nữa việc đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy tínhtích cực hoạt động của học sinh, đặc biệt đối với việc dạy học và bồi dưỡng môn toán