Đặt vấn đềTrong dạy - học toán, việc tìm tòi khai thác và phát triển các bài toán từ dễ đến khó, cũng nh việc xâu chuổi cùng 1 dạng toán với nhau là vô cùng cần thiết.. Mặt khác trong xu
Trang 1a Đặt vấn đề
Trong dạy - học toán, việc tìm tòi khai thác và phát triển các bài toán từ
dễ đến khó, cũng nh việc xâu chuổi cùng 1 dạng toán với nhau là vô cùng cần thiết
Mặt khác trong xu thế đổi mới phơng pháp dạy học và đổi mới sách giáo khoa nh hiện nay thì việc khai thác, phát triển và xâu chuổi các bài toán
là yêu cầu tất yếu Thực tế qua nhiên cứu sách giáo khoa, sách bài tập, sách nâng cao ta thấy ngời ta đã chú trọng hớng đi này Đó là con đờng giúp cho học sinh phát triển t duy sáng tạo, nắm bắt các kiến thức một cách có hệ thống vào tạo hứng thú học tập cho các em
Hơn nữa trong quá trình giảng dạy việc xâu chuỗi bài toán từ dễ đến khó (cùng 1 dạng toán) đó là phơng án tối u để học sinh học đạt kết quả cao
và tốn ít thời gian Nó khắc phục sự choáng ngợp của học sinh trớc những bài toán khó
Trong quá trình giảng dạy học sinh lớp 8 - tôi thấy có những bài toán liên quan đến nhau từ đơn giản đến phức tạp Nếu chúng ta biết cách xâu chuỗi thì việc giải các bài toán khó tơng tự hết sức đơn giản
Xuất phát từ ý tởng trên Tôi xin đa ra 1 sáng kiến “Giải các bài toán phức tạp từ bài toán đơn giản”.
b giải quyết vấn đề
I Nội dung bài toán
Bài toán 1: Chứng minh đẳng thức:
) 1 (
1 1
1 1
x x x
x
* Chứng mình:
Thật vậy: 1 11 ( 1 1) ( 1 1)
x x x
x
x x x
x
VD = VT: Đẳng thức đợc chứng minh
(Với bài toán trên học sinh dễ dàng chứng minh)
II Các bài toán phức tạp hơn
Bài toán 2: Tính tổng:
) 100 )(
99 (
1
) 3 )(
2 (
1 )
2 )(
1 (
1 )
1
(
1
x
x
Trang 2* Nếu không có “bài toán 1” thì việc giải quyết “bài toán 2” học sinh sẽ thấy rất phức tạp và không biết xuất phát tính từ đâu Tuy nhiên khi có “bài toán 1” thì việc giải quyết “bài toán 2” trở nên rất đơn giản
Giải: Từ bài toán 1 ta có:
1
1 1 ) 1 (
1
x
x
2
1 1
1 ) 2 )(
1
(
1
x
3
1 2
1 ) 3 )(
2
(
1
x
100
1 99
1 ) 100 )(
99
(
1
x
Vậy ta có:
) 1 (
1
x
x +( 1)(1 2)
x +( 2)(1 3)
x + + ( 99)(1 100)
x
100
1 99
1
3
1 2
1 2
1 1
1 1
1 1
x x
x x
x x x x
100
1 1
x x
= ( 100100)
x
x
x x
= ( 100100)
x
x
(Chú thích: các thừa số ở mỗi mẫu đều hơn kếm nhau 1 đơn vị)
Bài toán 3: Tính tổng:
20 9
1 12
7
1 6
5
1 2
3
1 1
2 2
2 2
2
x
* Bài toán 3 này nằm trong hệ thống bài toán 1, bài toán 2, khi nhìn qua thì tởng không có gì liên quan Nhng suy nghĩ thì học sinh sẽ có một manh nha với nhau
Giáo viên có thể hớng dẫn:
? Hãy phân tích thành nhân tử các mẫu của các phân thức trên
Giải: Ta có:
Trang 3) 1 (
1 1
2 x x x
x
) 2 )(
1 (
1 2
3
1
2 x x x
x
) 3 )(
2 (
1 6
5
1
2 x x x
x
) 2 )(
3 (
1 12
7
1
2
x
) 5 )(
4 (
1 20
9
1
2
Vậy:
20 9
1 12
7
1 6
5
1 2
3
1 1
2 2
2 2
2
x
) 5 )( 4 (
1 )
4 )(
3 (
1 )
3 )(
2 (
1 )
3 )(
2 (
1 )
2 )(
1 (
1 )
1
(
1
x
x
(Lại quay về bài toán 2)
Bài toán 4: Tính tổng:
) 1 (
1
5 4
1 4 3
1 3
.
2
1
n
n (n là h số)
* Khi gặp bài toán này học sinh cũng dễ dàng làm đợc vì nó cũng có dạng tơng tự nh bài toán 1
Giải: ( 1 1) 21 11 2( 11)
4 3
1 3 2
1
n
n n
n n
Bài toán 5: Tính tổng:
) 1 2 )(
1 2 (
1
7 5
1 5 3
1 3
.
1
1
n n
Giáo viên có thể nêu câu hỏi
? Hãy quan sát 2 thừa số ở mỗi mẫu đều có chung đặc điểm gì học sinh quan sát và sẽ thấy ngay
Nhận xét: 2 thừa số hơn kém nhau 2 đơn vị.
Giải: Chính vì có nhận xét trên nên ta áp dụng bài toán 1 và dễ dàng
1 1 2
1 2
1 ) 1 2 )(
1 2 (
1
n n
n n
Vậy:
3
1 1 2
1 3 1 1
Trang 4
5
1 3
1 2
1 5 1 1
7
1 5
1 2
1 7 5 1
1 1 2
1 2
1 ) 1 2 )(
1 2 (
1
n n
n n
Nên: (2 1)(12 1)
7 5
1 5 3
1 3 1
1
n n
1 2
1 1 2
1
7
1 5
1 5
1 3
1 3
1 1 2
1
n n
=
1 2
1 1 2
1
n
=
1 2
1 1 2 2
1
n n
=
1
2 n n
Bài toán 6: Tính tổng:
) 1 4 )(
3 4 (
1
13 9
1 9 5
1 5
.
1
1
n n
Ta lại có nhận xét:
* Các thừa số ở mỗi mẫu hơn kém nhau 4 đơn vị Nên áp dụng bài toán 1 ta có:
1 3 4
1 4
1 ) 1 4 )(
3 4 (
1
n n
n n
Vậy:
5
1 1 4
1 5 1 1
9
1 5
1 4
1 9 5 1
13
1 9
1 4
1 13 9 1
1 3 4
1 4
1 ) 1 4 )(
3 4 (
1
n n
n n
Trang 5Nên: (4 3)(4 1 3)(4 1)
13 9
1 9 5
1 5 1
1
n n
n
=
1 4
1 1 4
1
n
=
1 4
1 1 4 4
1
n n
=
1 4 1 4
4 4
1
n n
n
Bài toán 7: Tính tổng:
) 1 7 )(
6 7 (
1
22 15
1 15 8
1 8
.
1
1
n n
Ta có nhận xét:
* Các thừa số ở mỗi mẫu hơn kém nhau 7 đơn vị
áp dụng bài toán 1 ta có:
1 6 7
1 7
1 ) 1 7 )(
6 7 (
1
n n
n n
Vậy:
15
1 1 7
1 8 1 1
15
1 1 7
1 15 8 1
22
1 15
1 7
1 22 15 1
1 6 7
1 7
1 ) 1 7 )(
6 7 (
1
n n
n n
Nên: (7 6)(17 1)
22 15
1 15 8
1 8 1
1
n n
=
1 7
1 1 7
1
n
=
1 7
1 1 7 7
1
n n
=
1 7 1 7
7 7
1
n n
n
Nhận xét:
Trang 6Qua chuỗi phân tích các bài toán trên ta có thể phát triển thêm các bài toán khó hơn và tổng quát hơn
c kết luận
Trên đây là một số bài toán đợc “xâu chuỗi thành một dạng toán từ một bài toán đơn giản” Qua áp dụng thực tiến cho thấy việc làm này giúp học sinh chiếm lĩnh tri thức có hệ thống và mất ít thời gian T duy sáng tạo nơi học sinh
đợc phát triển và nó còn giúp cho học sinh có hứng thú trong học tập bộ môn Toán
Tuy nhiên, trên chỉ là bớc khai thác ở Đại số 8 và còn rất nhiều hạn chế Rất mong sự đóng góp ý kiến của quý độc giả để sáng kiến hoàn thiện hơn
sở giáo dục - đào tạo Hà tĩnh
sáng kiến kinh nghiệm
“Giải các bài toán phức tạp
từ bài toán đơn giản”