30 BÀI TOÁN THI VÀO THPT CHUYÊN TOÁN. Nguồn hoc247

ôn thi vào thpt chuyên toán 2017

I PHÂN MÔN ĐẠI SỐ

Câu 1: Cho biểu thức

2

1 11

b) Giả sử a, b thay đổi sao cho 4a b ab 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Câu 2: Tính giá trị biểu thức:

A x y z y z x z x y xyz

Biết x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x y z xyz 4

Câu 3: Giải phương trình và hệ phương trình sau:

Câu 6: Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện (a b)3 4ab 12

II PHÂN MÔN SỐ HỌC

Câu 13: Chứng minh rằng nếu p và p2 2 là các số nguyên tố thì p3 2 cũng là số nguyên tố

Câu 14: Cho các số a a1 2, , được xác định bởi công thức

Câu 15: Tìm số có 2 chữ số mà bình phương của số ấy bằng lập phương của tổng các chữ số của nó

Câu 16: Cho 2 a1 a2 a3 a15 2016 là 15 số tự nhiên đôi một nguyên tố cùng nhau Chứng

minh rằng trong 15 số tự nhiên đó luôn tồn tại ít nhất một số nguyên tố

Câu 17:

a) Tìm các số nguyên a, b,c sao cho a b c 0và ab bc ca 3 0

b) Cho số nguyên dương n thỏa mãn 2 2 12 n2 1 là số nguyên Chứng minh 2 2 12 n2 1

III PHÂN MÔN TỔ HỢP VÀ RỜI RẠC

Câu 19: Trên đường tròn cho 16 điểm và 3 loại màu: xanh, đỏ, vàng Để tô các điểm này (mỗi

điểm tô một màu) Giữa mỗi cặp điểm được nối bằng một đoạn thẳng được tô bằng màu tím hoặc

màu nâu Chứng minh rằng với mọi cách tô màu trên các điểm (chỉ dùng 3 màu: xanh, đỏ, vàng)

và mọi cách tô trên mỗi đoạn thẳng nối giữa hai cặp điểm (chỉ dùng 2 màu: tím, nâu) ta đều tìm

được trên hình vẽ một tam giác có đỉnh là các điểm đã cho mà các đỉnh được tô bằng cùng một

màu và các cạnh cũng được tô bằng cùng một màu (khác màu tô trên đỉnh)

Câu 20: Mỗi điểm trên mặt phẳng được tô bởi một trong hai màu Chứng minh tồn tại một tam giác mà

các đỉnh và trọng tâm của nó được tô cùng một màu

Câu 21: Cho 11 số nguyên dương phân biệt thỏa mãn điều kiện tổng 6 số bất kì luôn lớn hơn tổng 5 số

còn lại Chứng minh rằng trong 11 số đó luôn tồn tại ít nhất một số lớn hơn 35

Câu 22: Cho 9 điểm trên mặt phẳng, trong đó bất cứ ba điểm nào cũng tạo thành một tam giác mà cạnh

được tô màu xanh hoặc đỏ, nhưng luôn có cạnh đỏ Chứng minh tồn tại một tứ giác có các cạnh và đường

chéo được tô cùng màu đỏ

Câu 23: Cho đa giác đều n cạnh Dùng ba màu đỏ, vàng và xanh để tô màu các đỉnh của đa giác một cách

tùy ý (mỗi đỉnh được tô bởi một màu và tất cả các đỉnh đều được tô màu) Cho phép thực hiện thao tác

sau đây: chọn 2 đỉnh kề nhau bất kỳ khác màu và thay màu của hai đỉnh đó bằng màu còn lại

a) Chứng minh rằng bằng cách thực hiện thao tác trên một số lần nữa ta luôn làm cho các đỉnh chỉ

được tô bằng hai màu

b) Chứng minh rằng với n 4 và n 8, bằng cách thực hiện thao tác mộit lần nữa, ta có thể làm

cho các đỉnh chỉ được tô bởi 1 màu?

Câu 24: Để khuyến khích phong trào học tập, một trường THCS đã tổ chức 8 đợt thi cho các học sinh Ở

mỗi đợt thi, có đúng 3 học sinh được chọn để trao giải Sau khi tổ chức xong 8 đợt thi, người ta nhận thấy

rằng với hai đợt thi bất kì thì có đúng 1 học sinh được trao giải cả hai đợt thi đó Chứng minh rằng:

a) Có ít nhất một học sinh được trao giải ít nhất bốn lần

b) Có đúng một học sinh được trao giải ở cả 8 đợt thi

IV PHÂN MÔN HÌNH HỌC

Câu 25: Cho đường tròn (O; R) dây DE < 2R Trên tia đối DE lấy điểm A, qua A kẻ hai tiếp

tuyến AB và AC với đường tròn (O), (B, C là tiếp điểm) Gọi H là trung điểm DE, K là giao điểm

của BC và DE

a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp

b) Gọi I)là đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC Chứng minh rằng H thuộc đường tròn I) và HA là phân

giác BHC

c) Chứng minh rằng: 2 1 1

Câu 26: Cho nửa đường tròn O) đường kính AB Gọi C là điểm cố định thuộc đoạn OB (C khác O và

B) Dựng đường thẳng d vuông góc với AB tại điểm C, cắt nửa đường tròn (O) tại điểm M Trên cung

nhỏ MB lấy điểm N bất kỳ ( N khác M và B), tia AN cắt đường thẳng d tại điểm F, tia BN cắt đường

thẳng d tại điểm E Đường thẳng AE cắt nửa đường tròn (O) tại điểm D (D khác A)

a) Chứng minh AD AE AC AB

b) Chứng minh 3 điểm B, F, D thẳng hàng và F là tâm đường tròn nội tiếp C N D

c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF Chứng minh rằng điểm I luôn nằm trên một

đường thẳng cố định khi N di chuyển trên cung nhỏ MB

Câu 27: Cho đoạn thẳng AB và điểm C nằm giữa A và B Từ C kẻ tia Cx vuông góc với AB Trên Cx lấy

hai điểm E, F sao cho CE=CA, BF=BC Vẽ đường tròn (O1) đi qua ba điểm A, C, E và đường tròn (O2) đi

qua ba điểm B, C, F; chúng cắt nhau tại điểm thứ hai là D

a) Chứng minh ba điểm E, B, D thẳng hàng và ba điểm A, D, F thẳng hàng

b) Khi C di động trên AB (C khác A, B) chứng minh CD luôn đi qua một điểm cố định

Câu 28: Cho hình vuông ABCD có tâm O, vẽ đường d quay quanh O cắt 2 cạnh AD và BC lần lượt ở

E và F ( E,F không trùng các đỉnh hình vuông).Từ E và F lần lượt vẽ các đường thẳng song song với

BD và AC cắt nhau ở I

a) Tìm quỹ tích của điểm I

b) Từ I vẽ đường vuông góc với EF tại H.Chứng tỏ rằng H thuộc đường tròn cố định và đường IH đi

qua điểm cố định

Câu 29: Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O) Vẽ đường kính AD Đường thẳng đi

qua B vuông góc với AD tại E và cắt AC tại F Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên AC và M là

trung điểm của BC

a) Chứng minh CDEF là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh MHC BA D 90o

c) Chứng minh HC HF BC

Câu 30: Cho 3 điểm A, M, B phân biệt, thẳng hàng và M nằm giữa A, B Trên cùng một nửa mặt phẳng

bờ là đường thẳng AB, dựng hai tam giác đều AMC và BMD Gọi P là giao điểm của AD và BC

a) Chứng minh AMPC và BMPD là các tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh CP CB DP DA AB

c) Đường thẳng nối tâm của hai đường tròn ngoại tiếp hai tứ giác AMPC và BMPD cắt PA, PB lần

lượt tại E và F Chứng minh tứ giác CDFE là hình thang

I PHÂN MÔN ĐẠI SỐ

999 1

m m thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Với điều kiện trên, gọi x1 và x2 là các nghiệm, theo định lý Vièt ta có:

nên p2+2 là hợp số (mâu thuẫn)

p=2 suy ra p2+2=6 (không là số nguyên tố)

p=3 suy ra p2+2=11 suy ra p3+2=29 (là số nguyên tố)

Câu 15:

Gọi số cần tìm là ab a b ; , ,1 a 9;0 b 9

theo giả thiết ta có: ab (a b)3 (10a b)2 (a b )3

Vậy ab là một lập phương và tổng của a và b là một số chính phương

Giả sử trong 15 số từ a1 đến a15 không có số nào là số nguyên tố

Vì a1, a2…a15 đôi nột nguyên tố cùng nhau nên khi phân tích ra thừa số nguyên tố thì các số đó phải có ít

nhất 2 thừa số nguyên tố và các thừa số của số này không được trùng với các thừa số của số khác

Vì thế các số trong 15 số đó phải có ít nhất 1 ước nguyên tố nhỏ hơn 2016và các ước của các số khác

nhau thì khác nhau Ta có: 2016 45 Nhưng từ 2 đến 45 chỉ có 14 số nguyên tố! (vô lý)

Suy ra phải có ít nhất 1 số chỉ phân tích được thành duy nhất 1 ước nguyên tố có ít nhất 1 số nguyên

tố

Câu 17:

a) Từ a b c 0 vàab ac bc 3 ta suy ra a2 b2 c2 6 Do a, b, c có vai trò như nhau

nên ta giả sử a b c mà không làm mất tính tổng quát của bài toán Khi đó 1 | | 3 a

Mặc khác, a a |2|, vậy a 2

Với a 2thì b c 2, b2 c2 2 giải ra được b c 1 Ta có bộ 2; 1; 1 và các hoán vị

Với a 2thì b c 2, b2 c2 2 giải ra được b c 1 Ta có bộ 2;1;1 và các hoán vị

Xét 16 điểm trên đường tròn được tô 1 trong 3 màu, theo nguyên lí Dirichlet thì tồn tại 6 điểm cùng được

tô bởi 1 màu Tại một điểm A thuộc bộ 6 điểm đó sẽ có 5 đoạn thẳng nối đến 5 điểm còn lại, theo nguyên

lí Dirichlet, vì các đoạn thẳng chỉ được tô bởi 1 trong 2 màu nên tồn tại 3 đoạn thẳng nối từ A có cùng

màu Giả sử ba đoạn đó là AB, AC, AD Nếu một trong ba đoạn BC,CD, DB cùng màu với bộ (AB, AC,

AD) thì ta đã chỉ ra được tam giác cần tìm (chẳng hạn như BC cùng màu với AB, AC, AD thì tam giác đó

là tam giác ABC) Còn nếu cả ba đoạn BC, CD, DB đều khác màu với bộ (AB, AC, AD) thì tam giác cần

tìm là tam giác BCD Vậy, luôn tồn tại tam giác có các đỉnh cùng màu và các cạnh cùng màu

Câu 20:

Lấy 7 điểm bất kì trên mặt phẳng sao cho không có bộ ba điểm nào thẳng hàng Theo nguyên lí Dirichlet

tồn tại ba điểm cùng màu Giả sử đó là ba điểm A, B, C và chúng được tô xanh

Xét trọng tâm G của tam giác ABC Nếu G cũng được tô xanh thì tam giác ABC thoả mãn yêu cầu bài

toán Nếu G được tô đỏ Trên tia GA ta lấy điểm A′ sao cho GA′ = 4GA; B′ , C′ được định nghĩa tương

tự Khi đó ta có A, B, C, G tương ứng là trọng tâm các tam giác A′BC, AB′C, ABC′ , A′B′C ′ Nếu tồn tại

một trong ba điểm A′ , B′ , C′ được tô xanh, giả sử A′ tô xanh thì khi đó tam giác A′BC có ba đỉnh và

trọng tâm cùng được tô xanh thoả mãn yêu cầu bài toán Nếu cả ba điểm A′ , B′ , C′ cùng được tô đỏ thì

tam giác A′B′C ′ có ba đỉnh và trọng tâm G cùng tô đỏ thỏa mãn yêu cầu bài toán Vậy bài toán đã được

chứng minh

Câu 21:

Gọi 11 số nguyên dương đó là a a a1 2 3, , , , a11

Vì các số nguyên dương này phân biệt nên:

Sử dụng kết quả a n k a n k, ta có những điều sau đây

Vì trong 11 số trên, tổng 6 số bất kì đều lớn hơn tổng 5 số còn lại nên:

Nếu tồn tại một điểm A nào đó sao cho từ điểm đó xuất phát ít nhất 4 đoạn thẳng màu xanh (giả sử là AB,

AC, AD, AE) thì bài toán được chứng minh 4 điểm B, C, D, E) thoả mãn

Nếu điểm nào trong 9 điểm cũng chỉ là đầu mút của nhiều nhất ba đoạn thẳng xanh, ta thấy rằng không

thể xảy ra trường hợp cả 9 điểm đều là đầu mút của đúng ba đoạn thẳng xanh bởi khi ấy số đoạn thẳng

xanh là 9×3 2 không là số nguyên Như vậy tồn tại ít nhất một điểm sao cho nó là đầu mút của nhiều nhất

hai đoạn thẳng xanh, đồng nghĩa với nó là đầu mút của ít nhất 6 đoạn thẳng đỏ Giả sử điểm đó là A và 6

đoạn thẳng đỏ là AB, AC, AD, AE, AF, AG Theo ví dụ 1, trong 6 điểm B, C, D, E, F, G tồn tại một tam

giác có ba cạnh cùng màu (giả sử là tam giác BCD) Theo bài ra thì tam giác nào cũng có cạnh màu đỏ

nên tam giác BCD có ba cạnh cùng màu đỏ Do đó 4 điểm A, B, C, D thoả mãn yêu cầu bài toán

Câu 23:

a) Ta quan sát các đỉnh màu xanh trong đa giác Chọn một đỉnh màu xanh bất kì, xét đỉnh bên phải đỉnh

màu xanh ấy:

+Nếu đỉnh bên phải không là đỉnh màu xanh thì thực hiện đổi màu hai đỉnh này, ta được lượng đỉnh màu

xanh của đa giác giảm đi một

+Nếu đỉnh bên phải tiếp tục là đỉnh màu xanh, thì tiếp tục xét điểm bên phải của đỉnh này, và thực hiện

như trên

Sau một bước làm như trên, ta sẽ giảm được lượng đỉnh màu xanh xuống 1, và cuối cùng là mất hết đỉnh

màu xanh Tất nhiên, cũng có trường hợp chọn một đỉnh bất kì thì đỉnh bên phải của nó luôn là màu xanh,

khi đó, tất cả các đỉnh đều được tô bởi một màu xanh

Vậy, ta luôn có thể thực hiện các thao tác để còn lại nhỏ hơn hoặc bằng 2 màu trên các đỉnh

b)

Vì từ câu a, ta đã chứng minh được là ta luôn tìm cách để chỉ còn 2 màu trên các đỉnh (ở đây ta không xét

trường hợp chỉ còn một màu, vì khi đó bài toán đã được giải quyết) Nên không mất tính tổng quát, giả sử

2 màu còn lại là màu đỏ và vàng và số đỉnh màu đỏ lớn hơn hoặc bằng số đỉnh màu vàng Ta có các

trường hợp sau:

Ta sẽ thực hiện thao tác lần lượt như sau:

đổi hai điểm A, B thành màu xanh.đổi hai điểm C, D thành màu xanh

Vậy, ta đã đổi được các đỉnh của hình vuông về 1 màu

Ta sẽ thực hiện thao tác lần lượt như sau:

Đổi hai điểm B, C thành màu xanh

Đổi hai điểm A, B thành màu vàng

Đổi hai điểm C, D thành màu vàng

Vậy, ta đã đổi được các đỉnh của mình vuông về 1 màu

Tóm tại, với n=4, ta đổi được các đỉnh về cùng 1 màu

Câu 24:

a) Giả sử A1 là tập 3 bạn đạt giải trong đợt thi thứ nhất Và tương tự đối vớiA2, ,A 8

Ta có A1 { , , }a b c Vì A1 A i i, 2;8 có đúng một học sinh nên các học sinh a, b, c xuất hiện trong 7

tập chạy từ A2 đến A8 và không có hai bạn nào xuất hiện trong cùng một tập Do đó, theo nguyên lý

Đirichlet thì có 1 học sinh thuộc ít nhất 3 tập trong các tập từ A2 đến A8 Khi đó học sinh này có xuất hiện

trong ít nhất 4 tập

b) Theo câu a, có 1 học sinh a nhận thưởng ít nhất 4 lần, giả sử là lần 1 đến lần 4 Hay a thuộc tập A1, A2,

A3, A4 Khi đó a không nhận thưởng trong 8 lần, tức là có 1 lần a không nhận thưởng Giả sử là lần 8, tức

là a không thuộc A8

Khi đó, A1 A là 1 học sinh nên có học sinh 8 b a thuộc A8, tương tự có học sinh c, d, e lần lượt thuộc

A2, A3, A4 cũng thuộc A8 Hơn nữa b, c, d, e phải phân biệt đôi một Do đó A8 chứa ít nhất 4 phần tử (vô

lý) Vậy có 1 học sinh thuộc 8 tập , tức nhận phần thưởng 8 lần Và không có học sinh nào cùng nhận

thưởng 2 lần nên có đúng 1 học sinh thỏa yêu cầu bài toán

IV PHÂN MÔN HÌNH HỌC

Câu 25:

a) Ta có ABO ACO 90o 90o 180o

Suy ra tứ giác ABOC nội tiếp

b) Vì AHO 90o nên H thuộc đường tròn (I)

Theo tính chất tiếp tuyến giao nhau thì AB=AC cung AB Cung AC

Nên suy ra AHB AHC (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Vậy HA là tia phân giác của BHC

Suy ra CF là phân giác của DCN

Tương tự ta cũng suy ra DF là phân giác của NDC

Vậy F là tâm đường tròn nội tiếp DCN

c) Gọi J là giao điểm của (I) với đoạn AB

' O

'' O

Vậy AB S vuông cân tại S

ASBD là tứ giác nội tiếp

H thuộc đường tròn đường kính AB cố định

Gọi S là điểm đối xứng của c của O qua AB

ASB AHB 90o SAHB là tứ giác nội tiếp

AH AB AHI H, I, S thẳng hảng

HI đi qua điểm S cố định

Câu 29:

a) Ta có AC D 90o

Vì BE A D F ED 90o F ED FC D 180o

Suy ra CDEF là tứ giác nội tiếp

b) Vì M là trung điểm cạnh huyền BC của tam giác vuông BHC nên

a) Vì CMA DMB 60o CMB DMA 120o

Xét CMB & AMBta có:

DD( )

AMPC và BMPD là các tứ giác nội tiếp

b) Vì AMPC là tứ giác nội tiếp nên:

c) Ta có EF là đường trung trực của PM, suy ra EP EM EPM cân tại E

Mặc khác: EPM ACM 60o EPM đều

PE PM Tương tự cũng chứng minh được PF PM

CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM 2017 TRÊN HỌC247

- Chương trình luyện thi được xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, các em yêu thích toán và muốn thi

vào lớp 10 các trường chuyên

- Nội dung được xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 các trường chuyên của cả nước trong

- Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên

- Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn

- Mỗi lớp từ 5 đến 10 em để được hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất

- Đặc biệt, các em còn hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên của HỌC247