SKKN mo rong tu bai toan co ban

Một số bài toán và các bước giải dễ hiểu nhất Mäi bµi to¸n khã ®Òu b¾t nguån tõ bµi to¸n c¬ b¶n mµ ra, nÕu ng­êi häc biÕt lµm ®­îc nh÷ng bµi to¸n c¬ b¶n th× ch¾c ch¾n nh÷ng bµi to¸n më réng n©ng cao ng­êi häc còng gi¶i ®­îc. Thùc ra bµi to¸n më réng lµ bµi to¸n c¬ b¶n mµ ®­îc c¸c nhµ chuyªn m«n thay, thªm mét sè d÷ kiÖn (yÕu tè) nµo ®ã ®Ó ®¸nh lõa ng­êi häc hoÆc ®Ó khãa l¹i, b¾t buéc ng­êi häc ph¶i nhËn xÐt, t×m tßi ®Ó gi¶i to¸n ®Õn kÕt qu¶ cuèi cïng. V× vËy, c¸c bµi to¸n c¬ b¶n (SGK) lµ nÒn t¶ng quan träng nhÊt ®Ó ng­êi häc gi¶i to¸n (ph­¬ng ph¸p gi¶i). C¸c bµi to¸n më réng cã vÞ trÝ quan träng nh­ bµi toán c¬ b¶n nh­ng nã cã môc ®Ých cao h¬n vµ g©y høng thó cho ng­êi häc. VËy vÊn ®Ò ®Æt ra lµ nh÷ng d¹ng to¸n c¬ b¶n nµo ®­îc më réng để n©ng cao, c¸ch gi¶i vµ h­íng dÉn häc sinh gi¶i các bài toán đó như thế nµo chÝnh lµ néi dung mµ t«i muèn nãi ®Õn phÇn sau (gi¶i quyÕt vÊn ®Ò).

A - đặt vấn đề

Trong chơng trình các môn học ở bậc Tiểu học, môn Toán chiếm số tiết học rất lớn Đây là môn học có vị trí quan trọng bậc nhất Phần lớn việc học toán của học sinh giành cho việc học giải các bài toán là chủ yếu Kết quả học toán của học sinh đợc đánh giá qua việc giải toán Để

có kết quả giải toán tốt (chất lợng) thì đòi hỏi ngời giáo viên phải có một quy trình (phơng pháp) dẫn dắt và nhận xét bài toán từ những bớc đơn giản đến khái quát hơn Mọi bài toán khó đều bắt nguồn từ bài toán cơ bản

mà ra, nếu ngời học biết làm đợc những bài toán cơ bản thì chắc chắn những bài toán mở rộng nâng cao ngời học cũng giải đợc Thực ra bài toán mở rộng là bài toán cơ bản mà đợc các nhà chuyên môn thay, thêm một số dữ kiện (yếu tố) nào đó để đánh lừa ngời học hoặc để khóa lại, bắt buộc ngời học phải nhận xét, tìm tòi để giải toán đến kết quả cuối cùng Vì vậy, các bài toán cơ bản (SGK) là nền tảng quan trọng nhất để ngời học giải toán (phơng pháp giải) Các bài toán mở rộng có vị trí quan trọng nh bài toỏn cơ bản nhng nó có mục đích cao hơn và gây hứng thú cho ngời học Vậy vấn đề đặt ra

là những dạng toán cơ bản nào đợc mở rộng để nâng cao, cách giải và hớng dẫn học sinh giải cỏc bài toỏn đú như thế nào chính là nội dung mà tôi muốn nói đến phần sau (giải quyết vấn đề)

B giải quyết vấn đề

I Cơ sở lý luận và thực tiễn.

1 Cơ sở lý luận.

- Mở rộng một bài toán là triển khai nội dung một bài toán mới trên cơ sở bài toán cơ bản

- Mở rộng từ bài toán cơ bản là triển khai ra một bài toán mới, bài toán mới có các đặc điểm (dạng) của bài toán cơ bản

- Mở rộng một bài toán là thay (thêm) hoặc bớt một số yếu tố của bài toán để đợc bài toán mới

- Dựa vào quy luật nhận thức là: Từ dễ đến khó, từ

đơn giản đến phức tạp, “Từ trực quan sinh động đến t duy trừu tợng” nên mở rộng bài toán cơ bản là tất yếu của phơng pháp giảng dạy nói chung cho mọi đối tợng học sinh và học sinh khá giỏi nói riêng

2 Cơ sở thực tiễn.

Thực tiễn tại đơn vị trờng tôi đã triển khai rộng rãi chuyên đề này trong các khối, các lớp nhng kết quả thu

đợc cha thật mĩ mãn Thực tế đang còn dạy (thực hiện) chủ yếu ở các lớp chọn đội tuyển để dự thi các cấp Vì

đây là vấn đề khó lí giải (làm rõ một cỏch tường minh) cho học sinh cú học lực trung bỡnh hiểu một cách sâu sắc

về bài toán mở rộng từ bài toán cơ bản

Đặc biệt là thủ thuật tính nhanh (phơng pháp giải

nhanh) lại vô cùng khó khăn

Ví dụ: HS biết: 214124143 nhng cha hình dung ra là:

4

3 4

1

1

4

1

2

1









(tức là biến đổi một phộp tớnh cộng cú kết quả bằng 1 phộp tớnh trừ)

* Thực tế tại lớp 5c tôi đã triển khai dạy thử một số bài toán có mở rộng đơn giản thì bớc đầu đã có kết quả

đáng vui mừng Tuy nhiên khi các bài toán bắt đầu

nâng cao dần thì một số học sinh đã ngờ ngợ và hiểu rất mơ hồ hay bị nhầm lẫn nên học sinh thờng quay về thực hiện tính thông thờng

VD: 1261121 201 301060536048 54

Nhng học sinh không biết dùng phép vận dụng của tính nhanh

5

4 5

1 1 5

1 4

1 4

1 3

1 3

1 2

1 2

1 5 4

1 4 3

1 3 2

1 2

1 20

1 12

1

6

1

2

1









































Học sinh lúng túng khi biến tổng thành nhiều phân

số mà mỗi phân số bằng hiệu hai phân số

VD: 121 31413 14



số giống nhau nhng khác nhau về dấu cộng (thêm) dấu trừ(bớt)

2

1 2

1





 (nhng đối với học sinh tiểu học thỡ phải giải

thích khi cộng thêm 12 và trừ 21 thì kết bằng 0 ) Việc

mở rộng từ bài toán cơ bản tôi muốn làm rõ ở phần sau

II Bài toán cơ bản

Bài toán 1 : 2141

Giải :

Cách 1 : 1214 = 24143

Cách 2 : Chúng ta có thể biến phép cộng hai phân số thành phép trừ hai phân số của 1 và số trừ là số hạng

bé hơn trong hai số hạng, cụ thể như sau

4

1 2

1

 = 1  41 44143

(Chú ý : Đa 1 về dạng phân số 11)

Bài toán 2 : 214181161

Cách 1 : 214181161 = 8416211615

Cách 2 : Chúng ta thấy dãy các số hạng này ổn định về

giá trị là : Số hạng sau bằng số hạng trớc chia cho 2

( : 2

2

1

4

1

 ; : 2

4

1 8

1

Ta có thể biến đổi nh sau : 1 41 43

4

1 2

1









8

7 8

1 1 8

1 4

1 2

1











Vậy 214181161 =1  161 1615

Nhận xét : Khi tính tổng các số hạng (phân số) mà

các phân số kề nhau bằng phân số trớc chia 2 (bằng một nửa số hạng trớc) thì chúng ta đa về tổng về hiệu của 1 với phân số bé nhất trong tổng đó.

Bài toán 3 : 2161121 201 301

Cách 1 : Cộng thông thờng (quy đồng mẫu số cỏc phõn số rồi

tớnh)

30

1 20

1 12

1 6

1 2

1







 = 301060532605065

Cách 2 : Phân tích mẫu số của các phân số bằng tích

của hai số tự nhiên liên tiếp tăng dần : 6 = 2 x 3

12 = 3 x 4

20 = 4 x 5

30 = 5 x 6

Khi đó : 2161121 201 301 = 21 213 314 415516













Bây giờ chúng ta chuyển :

3

1 2

1 3 2

1





 và 31431 41

 ; 41541 15

 và 51651 61



(tức là ta đã chuyển một phân số cú giá trị bằng hiệu hai phân số có hai mẫu số là hai thừa số ở mẫu số của phõn số

đú )

Bây giờ chúng ta viết gộp lại đầy đủ là:

30

1 20

1 12

1

6

1

2

1







 = 21 213 314 415516











 = 2121 3131 14145151 61

Chỳng ta thấy ngay : - 0

3

1 3

1



4

1 4

1





Vậy cả dãy này bây giờ trở thành :

6

5 6

1 1 6

1 2

1 2

1 6

1 5

1 5

1 4

1 4

1 3

1 3

1 2

1 2

1





























Kết luận : Khi tính tổng các phân số có mẫu số là

tích các số tự nhiên liên tiếp tăng dần thì ta có thể đa một phân số về dạng hiệu cuả hai phân số.

Ví dụ : 16 21321 31





III Bài toán mở rộng nâng cao :

Bài 1: Thực hiện dóy tớnh sau

120

1 80

1 48

1 24

1 8

1 2

1











a Giải:

Ta thấy :

8 = 4 x 2

24 = 4 x 6

48 = 6 x 8 Đây chính là tích các số chẵn liên tiếp tăng dần

80 = 8 x 10 bắt đầu từ số 2

120 = 10 x 12

Khi đó tổng dãy này viết đầy đủ là :

120

1 80

1 48

1 24

1 8

1 2

1









 = 21 412 416 618 8 11010112

















Vậy để đa về dạng cơ bản một phân số bằng hiệu hai phân số ta phải nhân cả tổng trờn với 22(tức là nhõn với 1) khi đó :



































12 10

1 10 8

1 8 6

1 6 4

1 4 2

1 2

1 2 2

































12 10

2 10 8

2 8 6

2 6 4

2 4 2

2 2

2 2 1

































12

1 10

1 10

1 8

1 8

1 6

1 6

1 4

1 4

1 2

1 1 2 1

















12

1 2

1 1 2 1

= 12 12 126 1 211217 1724









  



b H ớng dẫn học sinh giải:

B

ớc 1: Đa các mẫu số về dạng tích của 2 thừa số

VD: 8 = 4 x 2; 24 = 4 x6 ………

B

ớc 2: Xét khoảng cách giữa hai thừa số để xác định

đặc điểm của dãy (chỉ xét ở mẫu số) VD: 4 -2 = 2; 8 -6 = 2; 2 chính là khoảng cách hay nói cách khác các số chẵn liên tiếp cách nhau 2 đơn vị

B

ớc 3: Nhân cả tổng dãy với phân số có tử và mẫu bằng khoảng cách



















12 10

1

4

1 2

1 2 2

B

ớc 4: Nhân tử số của phân số có tử bằng mẫu để đợc 





















12 10

2

4 2

2 2

2 2 1

B

ớc 5: Chuyển các phân số của dãy thành hiệu của 2 phân số

VD: 22421 14

 ; 628 61 81

ớc 6: Tinh giản( rỳt gọn) những phân số giống nhau

nh-ng khác dấu

VD:  3131 4141

B

ớc 7: Thực hiện các phép tính còn lại sau khi đã tính giảm (tính thông thờng có thể quy đồng mẫu để tính kết quả cuối cùng.)



















12

1 2

1 1 2

1

= 12 12 126 1 211217 1724









  



c Kết luận : Khi tính tổng các phân số có tử số là

1 và mẫu số là tích của các số chẵn (hay lẻ) liên tiếp tăng dần thì chúng ta nhân cả dãy số với 22 hoặc (dạng tổng quỏt n n với n0) rồi biến đổi về dạng cơ bản một phân số bằng hiệu của hai phân số.

Bài 2: Tính nhanh tổng

90

89 72

71 56

55 42

41 30

29 20

19 12

11 6

5 2

1

















(Toán Tuổi thơ 1 số 37)

a Cách giả i: Chúng ta thấy 1 16

6

5



 ; 1 121

12

11





; 12

1 1 20

19



 1 301

30

29



 ; 1 561

56

55



 ; 1 721

72

71



 ;

Bước này là chỳng ta đó đưa phõn số đó cho về thành hiệu của 1 với phần bự của phõn số đú

Khi đó tổng của dãy trở thành :

90

89 72

71 56

55 42

41 30

29 20

19 12

11 6

5 2

1

















90

1 1 72

1 1 56

1 1 42

1 1 20

1 1 12

1 1 6

1 1 2

1

































= 8 61 121 201 301 421 561 721 901 2

1















































90

1 72

1 56

1 42

1 30

1 20

1 12

1 6

1 8 2 1











































10 9

1 9 8

1 8 7

1 7 6

1 6 5

1 5 4

1 4 3

1 3 2

1 2

17

































10

1 9

1 9

1 8

1

5

1 4

1 4

1 3

1 3

1 2

1 2 17

= 8101

10

81 10

4 85 10

4 2

17 10

1 2

1 2

17





























b H ớng dẫn học sinh gi ải:

B ớc 1: Chuyển các phân số thành hiệu của một số phân bù của nó

VD: 1 61

6

5



90

89

2

1 1 12

11









B

ớc 2: Cộng các hiệu đó lại với nhau

VD: 1- 1 91

12

1 1 6

1







B

ớc 3: Cộng các số 1 (đơn vị) lại và cộng các phân số là phần bù cạnh nhau

















9

1

12

1 6 1

8 số hạng

B

ớc 4: Phân tích mẫu có các phân số phần bù thành tích 2 số tự nhiên liên tiếp tăng dần:

















4 3

1 2

1

; 3 2

1 6

1

B

ớc 5: Viết tổng các phân số phân bù có mẫu đã phân tích cạnh nhau rồi sau đó viết phân số phân bù về dạng hiệu 2 phân số:

VD: ;

3

1 2

1 3

2

1







B

ớc 6: Tinh giản các phân số giống nhau nhng khác dấu

































10

1 9

1 9

1 8

1

5

1 4

1 4

1 3

1 3

1 2

1 2 17

B

ớc 7: Thực hiện các phép tính còn lại

10

81 10

4 85 10

4 2

17 10

1 2

1 2

17





























c Kết luận : Khi gặp dạng toán này chúng ta có thể

dùng phơng pháp biến một phân số thành hiệu của phép tính trừ, đó là giữa 1 với phần bù của phân số đó.

Bài 3 : Cho dãy số : 21, 61 , 121 , 201 , 301 ,

a) Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy số trên

b) Số102001 có phải là một số hạng của dãy số đã cho không?Vì sao ?

(Đề thi HSG tỉnh Hà Tĩnh năm 2010 - 2011)

a. Cách giải :

Cõu a:

Chúng ta thấy các mẫu số của dãy này là :

1 x 2 = 2 (1)

2 x 3 = 6 (2)

3 x 4 = 12 (2)

4 x 5 = 20 (4)

5 x 6 = 30 (5) Vậy mẫu số tiếp theo sẽ là : 6 x 7 = 42 (6)

7 x 8 = 56 (7)

8 x 9 = 72 (8)

9 x 10 = 90 (9)

10 x 11 = 110 (10)

Đây chính là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp tăng dần

Lúc này tổng của 10 số hạng đầu tiên sẽ là :

110

1 90

1 72

1 56

1 42

1 30

1 20

1 12

1 6

1 2

1



















Đây là bài toán thuộc dạng của (bài toán 3- II Bài toỏn

cơ bản ) nhng có nhiều số hạng hơn.

Vậy yờu cầu của cõu a lỳc này là:

1101

12

1 6

1 2

1









4 3

1 3 2

1 1 2

1

















= 1 - 101 111

4

1 3

1 3

1 2

1 2

1















= 1 - 111 1110

Cõu b: Nh đã nhận xét ở câu a

Các mẫu số của dãy là tích của hai số tự nhiên liên

tiếp tăng mà phân số 102001 có mẫu số là 10200 = 100 x

102 Đây không phải là tích của hai số tự nhiên liên tiếp

nên 102001 không thuộc dãy vì 102001 có mẫu là tích hai số chẵn kề nhau Mà dãy này là những phân số có tử là 1

và mẫu số là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp tăng dần

b H ớng dẫn học sinh giải:

B

ớc 1: Nhận xét các số mẫu của dãy để xác định đặc

điểm của dãy

VD: 6 = 2 3 ; 42 = 3 4; 30 = 6 x 5

Mẫu đây là tích các số tự nhiên liên tiếp tăng dần

B

ớc 2: Viết đầy đủ 10 số hạng để tính tổng

B

ớc 3: Viết các phân số về dạng hiệu của 2 phân số

Ví dụ:

;

4

1 3

1 4 3 1

; 3

1 2

1 3 2 1

; 2

1 1 2 1

















B

ớc 4: Tinh giản(rỳt gọn) các phân số có dấu ngợc nhau B

ớc 5: Thực hiện các phép tính còn lại

Bài 4 : Bài toán mở rộng có chứa thành phần cha biết.

4 360

4 288

4

80

4 48

4 24

4 8

4



























a Cách giải : Đây là bài toán có cỏc tử số đều là 4 và

mẫu số là những số chuyển dạng bằng tích của 2 số chẵn liên tiếp tăng dần, cụ thể là :

8 =4 x 2

24 = 4 x 6

48 = 6 x 8

80 = 8 x 10

288 = 16 x 18

360 = 18 x 20

Nh vậy, để đa bài toỏn về dạng cơ bản : Một phân số (một số hạng) của dãy bằng hiệu hai phân số ,ta biến

đổi nh sau :

Tử số 4 = 2 x 2 (vì hai số chẵn liên tiếp hơn nhau hai đơn vị)

4 360

4 288

4

80

4 48

4 24

4 8

4









































































20 18

2 2 18 16

2 2

10 8

2 2 8 6

2 2 6 4

2 2 4 2

2 2

= 4

20 18

2 18 16

2

10 8

2 8 6

2 6 4

2 4 2

2







































20

1 18

1 18

1 16

1

10

1 8

1 8

1 6

1 6

1 4

1 4

1 2

1







































20

1 2

1

















20

9



x

10

9



x

 x 4 :109

 x409

 x 494

b H ớng dẫn giải:

B

ớc 1: Phân tích mẫu số thành tích hai số chẵn liên tiếp tăng dần

VD: 8 = 4 2 ; 24 = 4 6; ; 48 = 68 360 = 18 20

Tử số 4 viết thành 4 = 22 (khoảng cách giữa 2 số chẵn là 2 đơn vị )

B

ớc 2: Viết cỏc số hạng của tổng này về dạng: 84 2242;

8

6

2

2

48

4







B

ớc 3: Lâý một số 2 nhân chung cho tất cả tổng (vận

20 18

2

6 4

2 4 2

2



























B

ớc 4: Viết các phân số về dạng hiệu của 2 phân số

6

1 4

1 6 4

2

; 4

1 2

1 4 2

2













B

ớc 4: Tinh giản (rỳt gọn các phân số có dấu ngợc nhau B

ớc 5: Thực hiện tìm thành phần cha biết theo cỏc bước cơ bản sau

2 x 4

20

9



x  4

10

9



x  x 4 :109  x409 

9

4

4



x

c Kết luận chung : Khi giải toán gặp các dạng toán

có liên quan đến tổng các số hạng là phân số mà tử số bằng nhau và mẫu số là tích hai số tự nhiên liên tiếp tăng dần, tích hai số chẵn tăng dần hoặc tích hai số lẻ tăng dần (mở rộng ra là khoảng cách giữa hai thừa số

của mẫu ổn định) thì chúng ta đa về dạng một phân

số bằng hiệu hai số và cứ làm nh thế với các phân số khác Sau đó rút gọn các phân số giống nhau (những phân số thêm, những phân số bớt) hay hiểu về mặt toán học là rút gọn những phân số trái dấu thì cho chúng ta còn lại một số đầu và một số hạng cuối rồi từng bớc thực hiện cho đến kết quả cuối cùng.

Kết quả trớc và sau khi thực hiện:

Tổng

số HS

của lớp

Trớc khi cha thực hiện Sau khi thực hiện

Đã biết làm Cha biết làm Đã biết làm Cha biết làm SLợng Tỷ lệ SLợng Tỷ lệ SLợng Tỷ lệ SLợng Tỷ lệ

C Kết luận

Mở rộng từ bài toán cơ bản là phơng pháp để đa học sinh (ngừơi học) đến với những bài toán mới Đây cũng dựa trên quy luật của nhận thức từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, từ trực quan sinh động đến t duy trừu tợng Tha bạn đọc và đồng nghiệp đây là dạng toán mà bản thân tôi đã thực hiện giảng dạy trên lớp có kết quả hết sức khả quan Tuy nhiên đây không phải là vấn đề khó mà những nội dung này chỉ có ở những tài liệu bồi dỡng và nâng cao Những tài liệu này phần lớn chỉ đa ra phép tính nhng không giải thích rõ vì sao lại

có nh vậy (không tờng minh) VD: Tài liệu đa ra:

1 2

1

3

2

1

6

1







đa 16 về hiệu hai phân số có mẫu là tích của hai số tạo

thành mẫu 6 = 2 x 3 nh vậy đến đõy ta cú 61 213bằng hiệu của 12 13 vậy 61 21321 31



hiểu (rất tờng minh)

Trên đây là một số dạng toán tính tổng các phân số

Đây là một trong những dạng khó ở bậc tiểu học, tuy nhiên nếu nắm đợc cách giải (phơng pháp giải) biết cách nhìn ra dạng thu hình (biến dạng, ẩn dạng) và biết vận dụng các kiến thức đã học (từ bài toán cơ bản)

để tìm ra mối quan hệ giữa các số hạng là phân số trong tổng cần tỡm, chúng ta đa bài toán tởng nh phức tạp đến bài toán đơn giản (bài toán cơ bản) thì các bạn sẽ giải tốt dạng toán này

Tha bạn đọc và đồng nghiệp, trong quá trình thực hiện chuyên đề này bản thân tôi chỉ đa ra một số dạng đại diện nhng cha thật đầy đủ và không tránh khỏi sơ suất, rất mong đợc sự góp ý để chuyên đề này trọn vẹn hơn và hiệu quả hơn trong giảng dạy

D Kiến nghị và đề xuất.

Kớnh đề nghị ban giỏm khảo hóy đề xuất với lónh đạo Phũng và

Sở GD-ĐT đưa những sỏng kiến kinh nghiệm và đề tài đạt giải lần này

vào ỏp dụng thực tế giảng dạy ở cỏc trường, hoặc( gọi tất cả những cỏ