Giải tích 11 - Chương III

Kỹ năng: - Học sinh biết cách cho dãy số - Xét đợc tính đơn điệu của dãy số - Chứng minh đợc dãy số bị chặn 3.. Sè h¹ng ®Çu vµ sè h¹ng cuèilµ bao nhiªu GV tiếp tục phân tích Ví dụ 2 để

Ch¬ng III.

D·y sè – cÊp sè céng vµ cÊp sè nh©n

Ngày soạn: 05/12/2008 Tiết pp:37-38

I mục tiêu

1 Kiến thức: - Học sinh nắm đợc các bớc chứng minh bài toán bằng phơng pháp quy nạp.

2 Kỹ năng: - Học sinh chứng minh đợc bài toán bằng phơng pháp quy nạp.

3 T duy : T duy các vấn đề của toán học một cách logic có hệ thống.

4 Thái độ: Tự giác tích cực trong học tập.

II Chuẩn bị phơng tiện dạy học

1 Thực tiễn:

2 Ph ơng tiện : Giáo án, SGK, thớc kẻ,

III Phơng pháp dạy học Gợi mở - vấn đáp - đan xen thảo luận nhóm

IV Tiến trình bài học và các hoạt động

- giả thiết mđ đúng khi n

= k gọi làgiả thiết quy

Giả thiết qui nạp của bài

toán này nh thế nào?

- chú ý nắm bắt phơng pháp

cm bài toán bằng phơngpháp qui nạp

Thay n = 1 vào (1) ta có VT

= 1, VP = 1

KL (1) đúng với n = 1Chú ý khi thay n = k vào (1)

Thay n = k + 1 vào (1)

1 + 3 + 5 + + (2k – 1) + (2k + 1) = (k + 1) 2

Thay n = 1 vào 2 vế của (2)

số tự nhiên n ∈ N * là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp đợc thì có thể làm nh sau: Bớc 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1 Bớc 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k ≥ 1 (gọi là giả thiết qui nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1.

Đó là phơng pháp qui nạp toán học, hay còn gọi

là phơng pháp qui nạp.

II Ví dụ áp dụng

1 Ví dụ 1 CMR ∀ n ∈ N * thì

1 + 3 + 5 + + (2n – 1) = n 2 (1) Giải:

Với n = 1 , ta có:

VT = 1

VP = 1 Vậy (1) đúng với n = 1 Giả sử (1) đúng với n = k bất kì (k ≥ 1) Túc là: 1 + 3 + 5 + + (2k – 1) = k 2

Ta đi cm (1) cũng đúng với n = k + 1, tức là

1 + 3 + 5 + + (2k – 1) + (2k + 1) = (k + 1) 2

Thật vậy theo giả thiết qui nạp, ta có:

{1 + 3 + 5 + + (2k – 1)] + (2k + 1) = k 2 + 2k + 1 = (k + 1) 2

Vậy (1) đúng với mọi n ∈ N *

Giả sử (3) đúng với n = k ≥ 1 bất kì

Tức là :

1 2 + 2 2 + 3 2 + + k 2 =

( 1)(2 1)6

1+ 2 +3 + + k + (k+1) = ( 1)( 2)

2

Tacó : ( 1 + 2 + 3 + + k ) + (k +1) = = ( 1)

1 2 + 2 2 + 3 2 + + n 2 = ( 1)(2 1)

6

(3) Giải.

Với n = 1, ta có

VT = 1 2 = 1

VP = 1 Vậy (3) đúng với n = 1 Giả sử (3) đúng với n = k ≥ 1 bất kì

Ngày soạn: 11/12/2008 Tiết pp: 40

I mục tiêu

1 Kiến thức: - Nắm đợc định nghĩa dãy số cách chodãy số, ĐN dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số

bị chặn

2 Kỹ năng: - Học sinh biết cách cho dãy số

- Xét đợc tính đơn điệu của dãy số

- Chứng minh đợc dãy số bị chặn

3 T duy : T duy các vấn đề của toán học một cách logic có hệ thống.

4 Thái độ: Tự giác tích cực trong học tập.

II Chuẩn bị phơng tiện dạy học

1 Thực tiễn:

2 Ph ơng tiện : Giáo án, SGK, thớc kẻ,

III Phơng pháp dạy học Gợi mở - vấn đáp - đan xen thảo luận nhóm

IV Tiến trình bài học và các hoạt động

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung

Giỏo viờn phõn tớch diễn giải

- GV cho học sinh ghi dạng

khai triển của dóy số ở Vớ dụ

1.

GV nờu chỳ ý cho học sinh

về dóy số hữu hạn

.

- Học sinh quan sỏt và ghi nhớ

- Mỗi học sinh độc lập suy nghĩ và trả lời.

- Học sinh ghi dạng khai triển của dóy số ở vớ dụ 1.

HS chú ý định nghĩa hữu hạn

I Định nghĩa

1 định nghĩa dãy số Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dơng N* đợc gọi là dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số) Kí hiệu

u: N* → R

n a u(n) Viết dãy số dới dạng khai triển

50

Sè h¹ng ®Çu vµ sè h¹ng cuèi

lµ bao nhiªu

GV tiếp tục phân tích Ví dụ 2

để học sinh hiểu hơn khái

niệm dãy số hữu hạn

GV phân tích thí dụ, giúp học

sinh hiểu cách cho một dãy số

theo công thức tổng quát.

GV yêu cầu học sinh trả lời

câu hỏi H2.

GV kiểm tra và nhận xét

GV phân tích ví dụ 3, giúp

học sinh biết cách cho dãy số

bằng bới công thức truy hồi.

- Học sinh quan sát và ghi nhớ.

- Học sinh độc lập suy nghĩ và trả lời

Học sinh lĩnh hội kiến thức

II C¸ch cho mét d·y sè

1 Dãy số cho b»ng công thức của số hạng tổng

−+

H2 Tìm số hạng u55 và u 555 của dãy số trên? Giải

u 55 = 55 1 28

3.55 1− = =83+

u 555 =

3.555 1− = = 833+

2 D·y sè cho b»ng ph¬ng ph¸p m« t¶ (SGK)

3 D·y sè cho b»ng ph¬ng ph¸p truy håi

Ví dụ 3: Xét dãy số (un ) xác định bởi công thức:

Ta có: v 3 = = 0

v 4 = = 4

GV đưa ra một dóy số (u n )

với u n = n 3 , sau đú yờu cầu

học sinh so sỏnh u n và u n+1

Từ đú đưa ra định nghĩa dóy

số tăng cũng như dóy số

+GV yờu cầu mỗi nhúm học

sinh tự cho một dóy số tăng,

một dóy số giảm, dóy số

khụng tăng khụng giảm

+ GV theo dừi và yờu cầu đại

- Học sinh dựa vào định nghĩa

để xột tớnh tăng giảm của dóy

số mà giỏo viờn đưa ra.

Học sinh đọc định nghĩa và trả lời cõu hỏi của giỏo viờn.

- Học sinh dựa vào đ/n để trả lời.

III Biểu diẽn hình học của dãy số

IV Dãy số tăng,dãy số giảm và dãy

Chẳng hạn, dãy số (un) với un = (-3)n khôngtăng cũng không giảm

Dãy số (un) đợc gọi là bị chặn nếu nó vừa

bị chặn trên vừa bị chặn dới, tức là tồn tạimột số m, M sao cho

m ≤ un ≤ M, ∀n∈N*

Ví dụ:

Dãy số u n =n dạng khai triển 1,2,3 , ,n,

bị chặn dới vì u n ≥ 1 ∀ n ∈ N *

nhng không bị chặn trên,suy ra dãy số đã cho không bị chặn.

c/m dãy số u n = (n-1)/n bị chặn Giải :

Tacó u n = (n-1)/n = 1 - 1/n < 1 ∀ n ∈ N *

u n = (n-1)/n ≥ 0 ∀ n ∈ N *

suy ra 0 ≤ u n ≤ 1 ∀ n ∈ N *

Do đó dãy số đã cho bị chặn.

4 Củng cố bài : - Phỏt biểu đ/n về dóy số.

- Phỏt biểu đ/n dóy số tăng, giảm, bị chặn

52

- Nêu các cách cho một dãy số.

Cho dãy số (un) bởi công thức truy hồi sau:

1

* 1

13

3

n n

3

n n

5 Híng dÉn vÒ nhµ : lµm c¸c bµi tËp trong SGK

Ngày soạn: 15/12/2008 Tiết pp: 41

- 42

I mục tiêu

1 Kiến thức: - Nắm đợc định nghĩa cấp số cộng, số hạng tổng quát, tính chất các số hạng và tổng

n số hạng đầu của cấp số cộng

2 Kỹ năng: - Học sinh chứng minh đợc dãy số đã cho là cấp số cộng

- Tính đợc số hạng thứ n và tổng n số hạng đầu của cấp số cộng

3 T duy : T duy các vấn đề của toán học một cách logic có hệ thống.

4 Thái độ: Tự giác tích cực trong học tập.

II Chuẩn bị phơng tiện dạy học

1 Thực tiễn:

2 Ph ơng tiện : Giáo án, SGK, thớc kẻ,

III Phơng pháp dạy học Gợi mở - vấn đáp - đan xen thảo luận nhóm

IV Tiến trình bài học và các hoạt động

1 ổn định:2P

2 Kiểm tra: Định nghĩa dãy số tăng, dãy số giảm

Xét tính đơn điệu của dãy số sau: (u n ) = 1

1

n+

3 Bài mới:

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung

Thực hiện hoạt động 1 Tiếp

Học sinh làm việc theo nhúm và cỏc nhúm 1, 2, 3 trả lời cõu hỏi Cỏc nhúm cũn lại nhận xột.

Số d đợc gọi là công sai của cáp số cộng Nếu (u n ) là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi

Đặc biệt khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi

Ví dụ: SGK HĐ2: Cho u n là cấp số cộng có 6 số hạng với u 1 = 2, công sai d = 3 viết dạng khai triển của cấp số cộng

Hóy nhận xột mối quan hệ

giữa bộ ba số hạng liờn tiếp

trong dóy Vớ dụ: 10; 7; 4 hay

Yờu cầu HS viết cỏc số hạng

của cấp số đú vào dũng dưới

theo thứ tự ngược lại

Học sinh nhận nhiệm vụ và trả lời

HS thực hiện yờu cầu

Nghe hiểu nhiệm vụ và trả lời

phỏt hiện định lý và trả lời

thức:

Chứng minh: SGK VD; Tính số lẻ thứ n giải: ta có dãy số lẻ 1,3,5,7, lập thành một cấp số cộng với u 1 = 1 và công sai d = 2

Số lẻ thứ n là: u n = u 1 + (n-1)d = 2n -1 III Tính chất các số hạng của cấp số cộng

Định lí 2

Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng

đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng

đứng kề với nó, nghĩa là

2

n n−

d

Ví dụ: SGK Tớnh toồng cuỷa 100 soỏ haùng ủaàu cuỷa CSC bieỏt u 1 =

1 ; d = -1 Giaỷi :

ngược lại không phải là CSC

+ GV gọi học sinh lên bảng

giải câu a,b theo cách giải

H Nêu cách giải bài 2 ?

-Đưa hệ về hệ pt 2 ẩn u 1 và d

+ GV lần lượt học sinh lên

bảng giải câu a,b.

* Lưu ý học sinh câu a) có 2

b) Ta có:u n+1 – u n = (n+1) 2 -n 2 =2n+1 phụ thuộc n

⇒ (u n ) không phải là CSC.

Bài 2 : Xác định u1 ,d của các CSC sau : a) 7 3

d u

d u

=



 = −

b) Ta có 2 3 5

1017

Học sinh biểu diễn trên rục toạ độ Rút ra nhận xét: các điểm đĩ cách đều nhau

Các số hạng của cấp số cộng liên tiếp thì cách đều nhau

Một số câu hỏi trắc nghiệm (phát phiếu học tập và làm theo nhĩm)

Câu 1: Số hạng thứ 6 của một cấp số cộng là -5, cơng sai d = 3 Số hạng thứ 46 của cấp số cộng này là:

56

Câu 4: Nếu a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng thì đẳng thức nào dưới đây đúng:

Đ 4 cấp số nhân – bài tập

I mục tiêu

1 Kiến thức: - Nắm đợc định nghĩa cấp số nhân, số hạng tổng quát, tính chất các số hạng và tổng

n số hạng đầu của cấp số nhân

2 Kỹ năng: - Học sinh chứng minh đợc dãy số đã cho là cấp số nhân

- Tính đợc số hạng thứ n và tổng n số hạng đầu của cấp số nhân

3 T duy : T duy các vấn đề của toán học một cách logic có hệ thống.

4 Thái độ: Tự giác tích cực trong học tập.

II Chuẩn bị phơng tiện dạy học

1 Thực tiễn:

2 Ph ơng tiện : Giáo án, SGK, thớc kẻ,

III Phơng pháp dạy học Gợi mở - vấn đáp - đan xen thảo luận nhóm

IV Tiến trình bài học và các hoạt động

1 ổn định:2P

2 Kiểm tra: Nêu định lí về tính chất các số hạng của cấp số cộng

Cho cấp số cộng có số hạng đầu u 1 = 1 và công sai d = 2, tính tổng 10 số hạng đầu

3 Bài mới:

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung

Nờu yờu cầu (bảng phụ)

nếu ta biết những yếu tố nào?

Yờu cầu HS giải thớch cụ thể

Thiết lập cụng thức u n sau

khi được gợi ý Nhận xột về dóy số u n

Phỏt biểu ĐN Trả lời ?1 Cho vớ dụ CSN và chỉ ra SH đầu và cụng bội

Làm H1 tr 166

Trả lời ?2 Lập luận ⇒ kết luận

Tính số thóc ở các ô mà giáo viên yêu cầu bằng định nghĩa Rút ra công thức tổng quát

HS áp dụng công thức số hạng tổng quát tính

Số q đợc gọi là công bội của cấp số nhân Nếu (u n ) là CSN với công bội q, ta có công thức truy hồi:

Ví dụ: Cho CSN có số hạng đầu u 1 = 2 và công bội q = 2 Tính

a/ u 5

áp dụng công thức u n = u 1 q n – 1

Với n = 5 ta có u 5 = 2 2 4 = 32 b/ u 10

Cho CSN -1;2;-4;8;-16;…

Nờu yờu cầu và chọn HS làm

Cho CSN (u n)

Yờu cầu HS tỡm mối liờn hệ

của ba số hạng liờn tiếp của

HS làm ví dụ

Học sinh giải bài 1

Hai HS lên bảng giải bài 2

HS chú ý GV hớng dẫn lên bảng giải

III tính chất các số hạng của cấp sô nhân

Định lí 2.

Trong một cấp số nhân, bình phơng của mỗi

số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

Chứng minh: SGK

IV tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân

Khi đó S n = nu 1

Ví dụ: SGK Bài tập Bài 1: Cho u 1 = 2 ,u 11 = 64 Tính q ? Giải:

Gi¶i t¬ng tù.

Gîi ý: ADCT u 5 =u 1 q 4

s 5 =

5 1

vµ 3, -9, 27, -81, 243 b/ 6 sè h¹ng vµ u 1 = 243, u 6 = 1 T¬ng tù nh trªn ta cã CSN:

243, 81, 27, 9, 3, 1

4 Cñng cè bµi : Tãm t¾t l¹i nbµi häc, c¸c c«ng thøc.

B ài 1 Cho CSN c ó u3 = − 5 ;u6 = 135, công thức SHTQ của CSN đó là:

I mục tiêu.

1 Kiến thức: - Các kiến thức về dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân.

2 Kỹ năng: Giải đợc các dạng bài tập

3 T duy : T duy các vấn đề của toán học một cách logic có hệ thống.

4 Thái độ: Tự giác tích cực trong học tập.

II Chuẩn bị phơng tiện dạy học

1 Thực tiễn:

2 Ph ơng tiện : Giáo án, SGK, thớc kẻ,

III Phơng pháp dạy học Gợi mở - vấn đáp - đan xen thảo luận nhóm

IV Tiến trình bài học và các hoạt động

nhoựm naứo chia heỏt cho 6 ?

H- 3k 2 + 3k coự chia heỏt

cho 6 khoõng ?

Coự , vỡ 3k 2 +3k = 3k(k+1)

vửứa chia heỏt cho 2 vaứ cho

3 neõn noự chia heỏt cho 6

H- Neõu daỏu hieọu nhaọn

bieỏt 1 daừy soỏ laứ taờng

(giaỷm) ?

+ GV goùi hoùc sinh leõn giaỷi

caõu a) theo caựch laọp

thửụng ! ( Coứn caựch hieọu

veà nhaứ )

H- Neõu caựch giaỷi baứi 3 ?

- ẹửa heọ veà heọ pt 2 aồn

u 1 vaứ d

+ GV laàn lửụùt hoùc sinh leõn

baỷng giaỷi caõu a,b.

Nêu các bớc theo yêu cầu của giáo viên.

⇒ VT M 6 Vaọy n 3 + 11n chia heỏt cho 6 vụựi n ∈ N *

Baứi 2 : CMR caực daừy soỏ (un ) sau ủaõy laứ ủụn ủieọu: u n

n

n n

⇒ (u n ) laứ daừy giaỷm Vaọy (u n ) laứ daừy ủụn ủieọu.

Baứi 3 : Xaực ủũnh u1 ,d cuỷa caực CSC sau : a) 7 3

* Lưu ý học sinh câu a) có

d u

d u

u d

4 4 1

5 Híng dÉn vỊ nhµ : ¤n tËp chuÈn bÞ kiĨm tra HKI

pp: 46

«n tËp cuèi häc kú i

62

I mục tiêu.

1 Kiến thức: - Hệ thống lại kiến thức đã học

2 Kỹ năng: Giải đợc các dạng bài tập

3 T duy : T duy các vấn đề của toán học một cách logic có hệ thống.

4 Thái độ: Tự giác tích cực trong học tập.

II Chuẩn bị phơng tiện dạy học

1 Thực tiễn:

2 Ph ơng tiện : Giáo án, SGK, thớc kẻ,

III Phơng pháp dạy học Gợi mở - vấn đáp - đan xen thảo luận nhóm

IV Tiến trình bài học và các hoạt động

1 ổn định:2P

2 Kiểm tra:

3 Bài mới:

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung

GV: yêu cầu học sinh thực

hiện

GV: cho HS nhận xét, chỉnh

sửa và hoàn thiện

GV: yêu cầu hai HS lên bảng

giải,

GV cùng HS chỉnh sửa và

hoàn thiện

Đây là pt bậc hai đối với một

hàm số lợng giác Yêu cầu

hai học sinh lên bảng thực hiện

HS nêu cách giải (đặt ẩn phụ,

đk cho ẩn phụ)

HS lên bảng giải Dới lớp làm trên bảng phụ

HS: Có 6 cách chọn HS: có 4 cách chọn HS: trả lời.

2 (loại)

t t

Giải

a/ Có 6 cách chọn 1 bạn nữ từ sáu bạn nữ ứng với mỗi cách chọn bạn nữ có 4 cách chọn bạn nam từ bốn bạn nam

Vậy có 6 x 4 = 24 cách chọn b/ Cho A = {1, 2, 3, 4, 5} có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số của tập A

HS: Chữ số cuối phải là số 5 hoặc 0.

HS: thảo luận, giải, của đại diện lên bảng trình bày

Bài 3 Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} a/ Có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau từ tập A.

Giải:

Số các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau đợc lập từ tập A là số các chỉnh hợp chập 4 của 7 phần tử.

Vậy, ta có: =

−

4 7

7!

A(7 4)! = 4.5.6.7 = 840 số

b/ Có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên có

5 chữ số khác nhau và chia hết cho 5.

Vì số tự nhiên khác nhau có 5 chữ số và chia hết cho 5 nên số cuối phải đợc chọn từ

số 5, bốn chữ số còn lại đợc chọn từ sáu chữ

số khác 0 nên bằng chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử Vậy, ta có:

1 =

−

4 6

6!

A(6 4)! = 3.4.5.6 = 360 số.

4 Củng cố bài :

5 Hớng dẫn về nhà : Ôn tập chuẩn bị kiểm tra HKI

CHƯƠNG IV GIỚI HạN

Đ1: giới hạn của dãy số

I/ Mục tiờu:

64

Giúp học sinh nắm được :

1 Về kiến thức: Định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số.

2 Về kỹ năng: Tìm giới hạn dãy số sử dụng định nghĩa và tính chất

3 Về thái độ: cẩn thận và chính xác.

4 Về Tư duy:

II/ Chuẩn bị:

1 Học sinh: Ôn tập kiến thức dãy số và nghiên cứu bài mới.

2 Giáo viên: giáo án, bảng phụ, phiếu học tập.

Phương tiện: phấn và bảng

III/ Phương pháp: gợi mở , vấn đáp.

IV/ Tiến trình bài học:

1 Kiểm tra bài cũ: Cho dãy số (un) với un =

n

1

Viết các số hạng u10, u20, u30, u40, u50,u90, u100?

2 Nội dung bài mới:

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung

Lập bảng giá trị của un khi n

n dần tới dương vô cực

Từ đó cho học sinh nêu đ/n dãy

, 0

1 〈 ⇔ 〉

n

Bắt đầu từ số hạng u100 trở đi thìkhoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn0,01

n

1

a) Nhận xét xem khoảng cách từ un tới 0thay đổi như thế nào khi trở nên rất lớn.b) Bắt đầu từ số hạng un nào đó của dãy

số thì khoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn0,01? 0,001?

TLời

a) Khoảng cách từ un tới 0 càng rất nhỏ.b) Bắt đầu từ số hạng u100 trở đi thìkhoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn 0,01Bắt đầu từ số hạng u1000 trở đi thìkhoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn 0,001

ĐỊNH NGHĨA 1

Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi ndần tới dương vô cực nếu u n có thểhơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một

+∞

n