lý thuyết đồng dư modulararithmetic

Đối với Toánhọc sơ cấp, lý thuyết đồng dư thường được dùng để giải quyết các bài toánchia hết như: tìm dấu hiệu chia hết cho các số nguyên nhỏ như: dấu hiệu chiahết cho 2, cho 3, cho 5,

Lời dẫn

Mỗi người chúng ta, hầu như đã từng sử dụng qua đồng dư ít nhất mộtlần Từ việc đơn giản như cách tính giờ của đồng hồ cho đến việc sử dụngInternet hay web-browser để đọc, gửi mail hay đăng nhập vào các diễn đàn,trang mạng xã hội; Vậy đồng dư là gì?

Đồng dư là một khái niệm cơ bản trong toán học Khái niệm đồng dư đã

có từ thời cổ đại; và được xuất hiện rõ nét trong bài toán Hàn Tín điểm binhcủa người Trung Quốc mà theo phương Tây gọi là Định lý dư số Trung Hoa– Chinese Remainder Theorem khoảng thế kỷ thứ III – V sau công nguyêntrong cuốn sách "Toán pháp Tôn Tử": "Tương truyền, Hàn Tín là một danhtướng thời Hán Sở Mỗi khi Hàn Tín điểm quân số, ông cho quân lính xếphàng 3, hàng 5, hàng 7 rồi báo cáo số dư Từ đó ông tính chính xác quân sốđến từng người."

Lý thuyết đồng dư ra đời đã chiếm một vị trí quan trọng trong lý thuyết

số Lý thuyết đồng dư thường được dùng để giảng dạy trong các trường trunghọc và thường xuất hiện trong các bài toán thi học sinh giỏi Đối với Toánhọc sơ cấp, lý thuyết đồng dư thường được dùng để giải quyết các bài toánchia hết như: tìm dấu hiệu chia hết cho các số nguyên nhỏ như: dấu hiệu chiahết cho 2, cho 3, cho 5, cho 11, ;tìm số dư trong phép chia các số nguyên; Cao hơn tý, thì lý thuyết đồng dư còn là nền tản nghiên cứu của nhiềunhà toán học cùng với sự ra đời của nhiều định lý nổi tiếng có ứng dụngthực tế cao như: định lý nhỏ Fermat, định lý Eucler, định lý dư số TrungHoa, Ngoài ra, đối với tin học, nó cũng có vị trí không hề nhỏ như: tạomột số giả ngẫu nhiên ta có một số phương pháp như: D.Lehner năm 1951,D.E.Knuth; hay là việc kiểm tra một số nguyên lớn (khoảng vài chục tới vàitrăm chữ số thập phân) có phải là số nguyên tố hay không với các thuật

toán như: thuật toán xác suất Rabin–Miller năm 1980, thuật toán đa thứckiểm tra tính nguyên tố năm 2002; giải quyết các bài toán về logarith rờirạc với các thuật toán: Pollard’s Kangaroo, Baby-Step–Gaint-Step, Pohlig-Hellman, ; hay cùng với những định lý trên làm cơ sở cho lý thuyết mã hóanhư: các hệ thống mã hóa thông dụng AES, Elgamal, RSA, hoặc thuậttoán trao đổi khóa Diffie–Hellman, chữ ký điện tử, hàm băm mật mã học, Qua một số ví dụ ở trên, chúng ta có thể thấy được tầm quan trọng của

lý thuyết đồng dư trong việc nghiên cứu cũng như ứng dụng nó vào thực tế.Trong nội dung của bài tiểu luận này chỉ giới thiệu những phần lý thuyết

cơ bản của lý thuyết đồng dư và một số ứng dụng của nó

Mục lục

1.1 Khái niệm chia hết 5

1.2 Số nguyên tố 5

1.3 Hệ số đếm 6

1.4 Thuật chia Euclid 7

1.5 Bài tập áp dụng 8

2 Lý thuyết đồng dư 10 2.1 Định nghĩa và định lý 10

2.2 Một số tính chất cơ bản 12

2.3 Bài tập áp dụng 14

3 Hệ thặng dư 18 3.1 Hệ thặng dư đầy đủ 18

3.2 Hệ thặng dư thu gọn 19

3.3 Hệ thặng dư bình phương 20

3.3.1 Bậc của một số nguyên 20

3.3.2 Căn nguyên thủy 20

3.3.3 Thặng dư bình phương 20

3.3.4 Ký hiệu Legendre 20

3.3.5 Ký hiệu Jacobi 22

3.4 Bài tập áp dụng 23

4 Một số định lý nổi tiếng 25 4.1 Định lý Wilson 25

4.2 Định lý nhỏ Fermat 25

4.3 Định lý Euler 26

4.4 Bài tập áp dụng 29

5 Giải phương trình đồng dư 30 5.1 Giải phương trình đồng dư tuyến tính 30

5.2 Giải hệ phương trình đồng dư Định lý dư số Trung Hoa 31

5.3 Bài tập áp dụng 33

6 Ứng dụng đồng dư vào thuật toán mã hóa RSA 35 6.1 Giới thiệu 35

6.2 Mã Hóa và Giải Mã 35

6.2.1 Mã hóa RSA 35

6.2.2 Giải mã RSA 36

6.3 Khởi tạo key cho RSA 36

6.4 Chứng minh tính đúng đắn 37

Chương 1

Một số lý thuyết cần biết

1.1 Khái niệm chia hết

Định nghĩa 1.1.1 Chia hết Số nguyên a được gọi là chia hết cho số nguyên

b (b 6= 0) nếu tồn tại một số nguyên k sao cho a = kb

Định nghĩa 1.2.1 Số nguyên tố Số nguyên p > 1 được gọi là số nguyên

tố nếu p chỉ chia hết cho 1 và chính nó

Ví dụ: Các số sau là số nguyên tố: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,

Định nghĩa 1.2.2 Hợp số Nếu số nguyên a > 1 không phải là số nguyên

tố thì a được gọi là hợp số Tức là, tồn tại 2 số nguyên 1 < m, n < a nào

và d0 | b thì d0 6 d Nếu d = 1 thì ta nói a, b nguyên tố cùng nhau

Ký hiệu: d = (a, b) hay d = gcd(a, b)

Định nghĩa 1.3.1 Biểu diễn số theo cơ số b

Cho n, b ∈ N sao cho 0 < b < n Ta có thể biểu diễn một các duy nhất số

Ví dụ:

1 (1998)10= 1.103+ 9.102+ 9.10 + 8.100

2 (101110)2 = 1.25+ 0.24+ 1.23+ 1.22+ 1.21+ 0.20

1.4 Thuật chia Euclid

Bổ đề 1.4.1 Cho 2 số nguyên dương a, b sao cho a 6 b Nếu a = bq + r,trong đó r, q ∈ Z, 0 6 r 6 b − 1 thì (a, b) = (b, r)

Chứng minh: Gọi d là ước chung lớn nhất của a và b Khi đó tồn tại

là ước chung lớn nhất của b và r

Thuật toán 1.4.1 Thuật chia Euclid

rn−2 = qnrn−1+ rn

rn−1 = qn+1rn+ 0

Và (a, b) = rn là số ri cuối cùng khác 0

Bổ đề 1.4.2 Bổ đề Bezout Nếu d là ước số chung lớn nhất của hai số nguyên

a và b thì sẽ tồn tại hai số nguyên x và y sao cho

ax + by = dChứng minh: được suy trực tiếp từ thuật toán Euclid

(a) tổng n số nguyên liên tiếp chia hết cho n

(b) tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n!

3 Tìm chữ số tận cùng của số Fermat Fn = 22n+ 1, n > 2

4 Chứng minh: định lý 1.2.1 – định lý cơ bản của số học

5 Chứng minh: số số nguyên tố là vô hạn

6 Cho 3 số nguyên dương a, b, n Chứng minh rằng:

(a) Nếu (a, n) = 1 và (b, n) = 1 thì (ab, n) = 1

(b) Nếu (a, b) = 1 thì (an, bn) = 1

(c) Cho d | a, nếu (a, n) = 1 thì (d, n) = 1

7 Cho 2 số nguyên a, b Chứng minh:

(a) (|a − b|, a) = (a, b)

(b) (3a + 5b, 8a + 13b) = (a, b)

8 Chứng minh: Cho m, n, a ∈ Z với a > 1 Chứng minh:

(am− 1, an− 1) = 2(m, n)− 1

Ký hiệu: a ≡ b (mod m) hay a ≡ b mod m.

Ví dụ: Giả sử, hiện đồng hồ đang chỉ đúng 9 giờ, sau 8 giờ nữa đồng hồ

sẽ chỉ đúng 5 giờ Ta có thể ghi lại các số ở trên theo ký hiệu đồng dư nhưsau:

9 + 8 ≡ 17 ≡ 5 mod 12

Định lý 2.1.1 Các mệnh đề sau tương đương:

Chứng minh:

1 Phản xứng:

a ≡ a mod m ⇔ a = a + kmtrong đó k ∈ Z Ta có thể chọn k = 0

Định nghĩa 2.1.2 Phần tử khả nghịch Cho m ∈ Z, phần tử a ∈ Z được gọi

là phần tử khả nghịch trong modulo m nếu

(b) a(bc) ≡ (ab)c mod m

3 Có phần tử trung hòa a + 0 ≡ 0 + a ≡ a mod m với 0 ∈ Z

4 Có phần tử đơn vị a · 1 ≡ 1 · a ≡ a mod m với 1 ∈ Z

(a) Nếu ai ≡ bi mod m với i ∈ 1, n thìPn

i=1ai ≡Pn

i=1bi mod m

7 Nếu a ≡ b mod m và c ≡ d mod m thì a − b ≡ c − d mod m

8 Nếu a ≡ b mod m và c ≡ d mod m thì ab ≡ cd mod m

(a) Nếu ai ≡ bi mod m với i ∈ 1, n thìQn

i=1ai ≡Qn

i=1bi mod m.(b) Nếu a ≡ b mod m thì an ≡ bn mod m

(c) Cho P (x) là đa thức tùy ý với hệ số nguyên,

nếu a ≡ b mod m thì P (a) ≡ P (b) mod m

Phần còn lại xem như một bài tập để bạn đọc chứng minh.

(a) sử dụng quy nạp và tính chất 8 để chứng minh

(b) được suy ra từ tính chất 8.(a)

(c) được suy ra từ tính chất 8.(b)

2.3 Bài tập áp dụng

1 Chứng minh: 11n+2+ 122n+1 chia hết cho 133

Lời giải:

4 Dấu hiệu chia hết của 11

Lời giải: Cho số nguyên dương n Khi đó, ta có thể biểu diễn n như sau

Do đó, nếu lấy tổng các sổ ở vị trí chẵn trừ đi tổng các số ở vị trí lẽ

mà chia hết cho 11 thì số đó chia hết cho 11

5 Chứng minh: Nếu (a, m) = 1 thì tồn tại nghịch đảo của a trong modulom

Lời giải: Do (a, m) = 1 nên theo bổ đề Bezout sẽ tồn tại s, t ∈ Z saocho as + mt = 1 ⇔ as = 1 − mt ⇔ as ≡ 1 mod m Vậy s là nghịch đảocủa a trong modulo m

6 Cho số abc chia hết cho 27 Chứng minh bca cũng chia hết cho 27.Hướng dẫn: abc 27 ⇒ abc0 27.

7 Tìm dấu hiệu chia hết của 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 13

Hướng dẫn: biểu diễn số nguyên n =Pm

i=0ai.10i rồi thực hiện quan hệđồng dư với 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 13

8 Cho số abc chia hết cho 27 Chứng minh bca cũng chia hết cho 27.Hướng dẫn: abc 27 ⇒ abc0 27.

9 Chứng minh: tích của 3 số chẵn liên tiếp chia hết cho 48

Hướng dẫn: tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6

10 Cho 3 số nguyên dương a, b, m sao cho (a, m) = (b, m) = 1.

Chứng minh: (a + b)m ≡ am+ bm mod m

Hướng dẫn: sử dụng khai triển nhị thức Newton

11 Chứng minh: Nếu a và n nguyên tố cùng nhau thì tồn tại nghịch đảocủa a trong modulo n

12 Cho k số nguyên dương mi với i ∈ 1, k sao cho (mi, mj) = 1, ∀i 6= j.Chứng minh: nếu a ≡ b mod mi, ∀i ∈ 1, k thì a ≡ b mod m1·m2· · · mk

13 Cho a, b, c, m là các số nguyên, m > 0 Giả sử, c, m) = d Khi đó, nếu

ac ≡ bc mod m thì a ≡ b mod md

14 Cho p là số nguyên tố

Chứng minh rằng: a2 ≡ 1 mod p khi và chỉ khi a ≡ ±1 mod p

15 Cho 3 số nguyên dương a, b, m

Chứng minh: nếu a ≡ b mod m thì (a, m) = (b, m)

16 Cho số nguyên dương a < m sao cho (a, m) = 1 Chứng minh rằngnghịch đảo của a trong modulo m là một số nguyên đồng dư với sônguyên dương b < m

17 Cho 2 số nguyên dương m, n Chứng minh:

(2n− 1, 2m− 1) = 1 ⇔ (n, m) = 1

18 Biết rằng ngày 20/11/1994 là chủ nhật Tính xem

(a) Ngày 20/11/1996 là thứ mấy?

(b) Ngày 20/11/2011 là thứ mấy?

Chú ý: Năm nhuận có 366 ngày, còn lại 365 ngày Nếu năm mà chiahết cho 4 và không chia hết cho 100 thì năm đó là năm nhuận

Chương 3

Hệ thặng dư

3.1 Hệ thặng dư đầy đủ

Định nghĩa 3.1.1 Cho tập hợp A = {a1, a2, , an | ai ∈ Z, i ∈ 1, n},

R = {r | a ≡ r mod n, 0 6 r 6 n − 1} Tập hợp A được gọi là một hệ thặng

dư đầy đủ modulo n nếu R = {0, 1, , n − 1} Ta gọi tắt là hệ thặng dưđầy đủ

Tính chất:

1 Tập A∗ = {0, 1, , n − 1} là một hệ thặng dư đầy đủ

2 Số phần tử của tập A bằng |A| = n

3 Với mọi a ∈ Z, tập a + A = {a + a1, a + a2, , a + an} là một hệthặng dư đầy đủ modulo n

4 Với mọi a ∈ Z sao cho (a, n) = 1, tập aA = {aa1, aa2, , aan} làmột hệ thặng dư đầy đủ modulo n

Chứng minh:

1 Hiển nhiên

2 Hiển nhiên

3 Do A là một hệ thặng dư đầy đủ nên ai 6= aj, ai, aj ∈ A, ∀i 6= j Nghĩa

là ai 6≡ aj mod n

Giả sử tập a + A không phải là hệ thặng dư đầy đủ

Khi đó, ∃a + ai, a + aj ∈ a + A, i 6= j, sao cho a + ai = a + aj nghĩa

là a + ai ≡ a + aj mod n ⇔ ai ≡ aj mod n (mâu thuẫn) Do đó, a + A

là một hệ thặng dư đầy đủ

4 Do A là một hệ thặng dư đầy đủ nên ai 6= aj, ai, aj ∈ A, ∀i 6= j Nghĩa

là ai 6≡ aj mod n

Giả sử tập aA không phải là hệ thặng dư đầy đủ

Khi đó, ∃aai, aaj ∈ aA, i 6= j, sao cho aai = aaj nghĩa là

3.3 Hệ thặng dư bình phương

Định nghĩa 3.3.1 Cho 2 số a, m nguyên dương sao cho (a, m) = 1 Khi

đó, số nguyên nhỏ nhất x thỏa mãn đồng dư thức ax ≡ 1 mod m được gọi làbậc của a modulo m

Ký hiệu: x = ordma

Định nghĩa 3.3.2 Cho 2 số nguyên dương r, n sao cho (r, n) = 1 Sốnguyên r được gọi là một căn nguyên thủy modulo n nếu ordnr = φ(n).Trong đó, φ(n) là số các số nguyên tố cùng nhau với n và không vượt quá

n – phi hàm Euler (sẽ được đề cập trong chương sau)

Định nghĩa 3.3.3 Cho m là số nguyên dương Số nguyên a được gọi là mộtthặng dư bình phương của m nếu (a, m) = 1 và đồng dư x2 ≡ a mod m cónghiệm

iđược định nghĩa như sau

 ap



=

(

1 nếu a là thặng dư bình phương

−1 nếu ngược lại

Định lý 3.3.1 Tiêu chuẩn Euler Cho p là số nguyên tố lẻ, a là các số nguyênkhông chia hết cho p Khi đó

 ap



= ap

  bp



2 Nếu a ≡ b mod p thì hapi =hbpi

3 hap2i = 1

Chứng minh:

1 Nếu a ≡ b mod m thì x2 ≡ a mod m có nghiệm khi và chỉ khi x2 ≡

b mod m có nghiệm Do đó ta có điều phải chứng minh

2 Sử dụng tiêu chuẩn Euler ta có

 ap



≡ ap−12 mod p

 bp



≡ bp−12 mod p

 abp

i h

b p

i

≡ ap−12 bp−12

≡ (ab)p−12

≡ hab p

imod p

Vì giá trị của ký hiệu Legendre chỉ có thể là ±1 nên ta có điều phảichứng minh.

3 Hiển nhiên

Định lý 3.3.3 Kiểm tra Pepin

Số Fermat Fm = 22n+ 1 là số nguyên tố khi và chỉ khi

3Fm−12 ≡ −1 mod FmĐịnh lý 3.3.4 Luật thuận nghịch bình phương

Cho p và q là 2 số nguyên tố lẻ Khi đó,

 pq

  qp



= (−1)p−12

q−1 2

là mở rộng của ký hiệu Legendre

Định nghĩa 3.3.5 Cho n là sô nguyên dương lẻ, số nguyên a nguyên tố cùngnhau với n Nếu n có thể phân tích ra thừa số nguyên tố là pα1

trong đó, vế phải là ký hiệu Legendre

Định lý 3.3.5 Giả sử n là số nguyên dương lẻ, a và b là 2 số nguyên tốcùng nhau với n Khi đó:

1 Nếu a ≡ b mod n thì

han

i

=hani

2

 abn



=

han

i bn



 −1n



= (−1)n−12

4

 2n



= (−1)n2−18

Định lý 3.3.6 Luật thuận nghịch bình phương

Cho m, n là các số nguyên dương lẻ, nguyên tố cùng nhau Khi đó:

hmn

i hnm

i

= (−1)m−12

n−1 2

3.4 Bài tập áp dụng

1 Cho tập A = {a1, a2, , an} là một hệ thặng dư đầy đủ

Chứng minh rằng : số các số nguyên tố cùng nhau với n trong A bằngφ(n)

2 Cho tập A = {a1, a2, , an} là một hệ thặng dư đầy đủ, và 2 sốnguyên a, b sao cho (a, n) = 1 Chứng minh rằng: aA + b cũng là một

hệ thặng dư đầy đủ

3 Cho p là số nguyên tố lẻ Chứng minh

 2p

  qp



= (−1)(p−1)2

(p−1) 2

5 Chứng minh: nếu ab = 1 mod p với p là số nguyên tố lẻ thì

 pq

  qp



= 1

6 Chứng minh, nếu p là số nguyên tố lẻ thì

 −1p



= 1 ⇔ p ≡ ±1 mod 8

Chứng minh: Đặt tập A = {a, 2a, , (p − 1)a} gồm p − 1 số nguyênvới p là số nguyên tố, sao cho (a, p) = 1 Dễ thấy tập A là một hệ thặng dưtheo modulo p.

Hệ quả 4.2.2 Nếu p là số nguyên tố và a là số nguyên không chia hết cho

p thì ap−2 là nghịch đảo của a modulo p

Định nghĩa 4.3.3 Phi hàm Euler φ(n) là hàm số học có giá trị tại n bằng

số các số nguyên không vượt quá n và nguyên tố cùng nhau với n

Hệ quả 4.3.1 Số nguyên p là số nguyên tố khi và chỉ khi

φ(p) = p − 1

Định lý 4.3.1 Euler

Nếu n là số nguyên dương và a là số nguyên tố cùng nhau với n thì

aφ(n) ≡ 1 mod n

Chứng minh: Tương tự như chứng minh định lý nhỏ fermat

Đặt R = {r1, r2, , rφ(n)} là hệ thặng dư thu họn nhỏ nhất theomodulo n Nghĩa là (ri, n) = 1 và ri < n với mọi ri ∈ R Cho số nguyên asao cho (a, n) = 1, khi đó aR cũng là một hệ thặng dư thu gọn Ta có:

với k là số nguyên dương

Chứng minh: Vì p là số nguyên tố nên nếu ta đặt d = (a, pk) với

0 6 a 6 pk thì p | d nghĩa là d = np với n ∈ N Ta có p 6 np 6 pk nên

1 6 n 6 pk−1 do đó ta có đúng pk−1 số không nguyên tố cùng nhau với p Mà

từ 1 đến pk có đúng pk số nguyên khác nhau nên ta có φ(pk) = pk− pk−1.Định lý 4.3.3 Phi hàm Euler là hàm nhân tính

Chứng minh: Cho 2 số nguyên dương m, n sao cho (m, n) = 1 Ta sẽchứng minh φ(mn) = φ(m)φ(n)

Gọi A = {a | (a, mn) = 1} là tập hợp tất cả các số nguyên nguyên tốcùng nhau với mn Khi đó với a0 ∈ A thì (a0, mn) = 1 ⇔ (a0, m) = 1 và(a0, n) = 1

Ta sẽ lập ma trận gồm m dòng n cột như sau

1 m + 1 2m + 1 (n − 1)m + 1

2 m + 2 2m + 2 (n − 1)m + 2

r m + r 2m + r (n − 1)m + r

Sau đó, ta bỏ đi những hàng mà (r, m) 6= 1 với 16 r 6 m; Khi đó, ta

sẽ có φ(m) hàng Đồng thời, trên mỗi hàng, ta dễ thấy rằng các số này lậpthành một hệ thặng dư đầy đủ theo modulo n, tức là sẽ có φ(n) số trên mỗihàng Vậy ta sẽ có tất cả là φ(m) · φ(n) số Mặt khác, do những số còn lạivừa nguyên tố cùng nhau với m vừa nguyên tố cùng nhau với n nên số sốcòn lại bằng φ(mn) Do đó ta có điều phải chứng minh

Định lý 4.3.4 Giả sử số nguyên dương n có thể phân tích thành tích cácthừa số nguyên tố pα1

1 pα2

2 pαk

k Khi đóφ(n) = n

4.4 Bài tập áp dụng

1 Cho số nguyên tố lẻ p và các số nguyên dương a, b, n thỏa mãn (a, p) = 1

và ap ≡ bp mod pn+1 Chứng minh: a ≡ b mod pn

2 Chứng minh định lý Wilson – Số nguyên p là số nguyên tố khi và chỉkhi

(p − 1)! ≡ −1 mod p

3 Chứng minh: nếu p là số nguyên tố thì p là ước của (p − 2)! − 1

4 Cho n> 5 là số tự nhiên Chứng minh:

 (n − 1)!

n



≡ 0 mod (n − 1)

Trong đó, [x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x ∈ R

5 Cho p là số nguyên tố lẻ Chứng minh:

2(p − 3)! ≡ −1 mod p

6 Cho n là hợp số , n 6= 4 Chứng minh: (n − 1)! ≡ 0 mod n