Lý thuyết đồng dư và ứng dụng

Để phát triển khoa học máy tính, các nhà tin học và toán học phải sử dụng nhiều công cụ toán học số học, toán rời rạc, đại số tuyến tính,… đặc biệt là số học trên số nguyên, trong đó có

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NGHỆ AN - 2011

MỞ ĐẦU

Lý thuyết đồng dư do nhà toán học lỗi lạc Gauss (1777-1855) viết trong

“Disquisitiones Arithmeticae” khi ông còn là sinh viên và mới 24 tuổi Có thể nói, lý thuyết đồng dư là công cụ mạnh để giải quyết các bài toán của toán học nói chung và số học nói riêng Ngày nay, lý thuyết đồng dư có vai trò quan trọng trong mật mã khoá công khai, một vấn đề có ý nghĩa thực tiễn cao

Để phát triển khoa học máy tính, các nhà tin học và toán học phải sử dụng nhiều công cụ toán học (số học, toán rời rạc, đại số tuyến tính,…) đặc biệt là số học trên số nguyên, trong đó có lý thuyết đồng dư

Với những lý do như đã nói ở trên, luận văn này trình bày một số vấn

đề về lý thuyết đồng dư và các ứng dụng của nó

Nội dung của luận văn gồm ba chương:

Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ sở bao gồm: Định nghĩa và

tính chất của đồng dư thức; khái niệm tập hợp các lớp thặng dư môđun m và các tính chất của m; vành các lớp thặng dư; hệ thặng dư đầy đủ và hệ thặng

dư thu gọn môđun m; hàm số số học Euler và các tính chất; Định lý Euler,

Định lý Fermat bé; điều kiện có nghiệm của phương trình đồng dư bậc nhất

Trong chương này chúng tôi chỉ trình bày phần chứng minh của một vài tính chất điển hình và chứng minh tương đối khó, một số tính chất còn lại có thể xem chứng minh trong  7

Chương 2: Giới thiệu khái niệm và các tính chất của căn nguyên thủy;

vấn đề tồn tại căn nguyên thủy; khái niệm chỉ số cơ số g của số nguyên a theo

môđun m

Chúng ta biết rằng, tập hợp các phần tử khả nghịch *

m của vành m

các lớp số nguyên môđun m là một nhóm nhân cấp  ( )m , trong đó  là hàm

số số học Euler Trong luận văn này, chúng tôi sẽ xét với những giá trị nào

của m thì nhóm nhân đã nói ở trên là nhóm cyclic Ta sẽ thấy rằng *

m là

nhóm cyclic khi và chỉ khi m lấy các giá trị 2, 4, p, 2p

, với p là số nguyên

tố lẻ và  là số tự nhiên khác không Ta sẽ vận dụng những kết quả này vào

việc giải phương trình đồng dư nhị thức

Chương 3: Trình bày khái niệm và tính chất của chỉ số cơ số g của số

nguyên a theo môđun m; Định nghĩa thặng dư bậc n môđun p; tiêu chuẩn

thặng dư bậc n; số thặng dư bậc n; điều kiện có nghiệm của phương trình

đồng dư nhị thức

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn

của PGS.TS Nguyễn Thành Quang Tôi xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn sâu

sắc tới PGS.TS Nguyễn Thành Quang đã tận tình chỉ bảo, động viên khích lệ,

thường xuyên quan tâm và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học

tập, nghiên cứu viết luận văn

Tác giả xin cảm ơn các thầy cô trong Bộ môn Đại số, Khoa Toán,

Khoa Đào tạo Sau đại học thuộc Trường Đại học Vinh đã tạo điều kiện thuận

lợi để tôi hoàn thành nhiệm vụ học tập

Tôi cũng xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã giúp đỡ trong

suốt thời gian học tập và nghiên cứu

Trong quá trình học tập, nghiên cứu và viết luận văn, tôi đã cố gắng

nhiều, song chắc chắn vẫn còn nhiều thiếu sót, rất mong được sự góp ý, chỉ

bảo của các thầy cô, và của bạn đồng nghiệp

Nghệ An, tháng 11 năm 2011

Tác giả

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 Định nghĩa và tính chất của đồng dư thức

1.1.1 Định nghĩa Cho m là một số tự nhiên, m0, a, b là những số nguyên

Ta nói rằng a đồng dư với b theo môđun m nếu trong phép chia a và b cho m

ta được cùng một số dư Khi đó ta kí hiệu là:

(iii) Có một số nguyên t sao cho a b mt

Chứng minh (i)(ii) Vì ab (mod m) nên khi chia a và b cho m ta được

cùng một số dư, nghĩa là tồn tại số tự nhiên r, 0 r m  và các số nguyên

1.1.3 Mệnh đề (i) Quan hệ đồng dư là một quan hệ tương đương trong

(ii) Ta có thể cộng hay trừ từng vế nhiều đồng dư thức theo cùng một môđun m với nhau, cụ thể là nếu ta có

i i

a b m i = , , k thì ta cũng có

(iii) Ta có thể nhân từng vế nhiều đồng dư thức theo cùng một môđun

m với nhau, cụ thể là nếu

(v) Ta có thể nhân hai vế của một đồng dư thức và môđun với cùng một

số nguyên dương, và chia hai vế và môđun cho cùng một số nguyên dương là ước chung của chúng, cụ thể là nếu

ab (mod m)

thì với mọi số nguyên dương c, ta cũng có

(vii) Nếu hai số đồng dư với nhau theo môđun m thì chúng cũng đồng

dư với nhau theo mọi môđun là ước của m, cụ thể là nếu ta có

(a, m) = (b, m)

Chứng minh các Mệnh đề này có thể xem  7

1.2 Các lớp thặng dƣ

Cho m là một số tự nhiên, m0 Ta biết rằng quan hệ thặng dư theo

môđun m là một quan hệ tương đương trong vành các số nguyên , vì vậy nó

xác định trong một sự chia lớp và cho ta tập hợp thương của tập hợp các số nguyên trên quan hệ đồng dư môđun m

1.2.1 Định nghĩa Cho m là một số tự nhiên, m0 Tập hợp thương của tập

hợp các số nguyên trên quan hệ đồng dư theo môđun m được gọi là tập

hợp các lớp thặng dư môđun m và được kí hiệu là m Mỗi phần tử của m

được gọi là một lớp thặng dư môđun m

Nếu A m và aA thì ta còn kí hiệu Aa (mod )m hoặc đơn giản

hơn là A a Vậy a b khi và chỉ khi ab (mod )m

1.2.2 Mệnh đề Tập hợp m gồm m phần tử

Chứng minh Xét các phần tử 0, 1, , m1 của m, ta được đó là tập hợp tất

cả các phần tử đôi một phân biệt của m

Thật vậy nếu i j, 0i j,  m 1 thì ta được 0   i j m 1 do đó

i j (mod )m nghĩa là i j Mặt khác nếu x m thì luôn tồn tại i với

0  i m 1 sao cho i x (mod m), nghĩa là xi

Vậy ta được m 0, 1, ., m-1 do đó Card( m ) = m ■

1.2.3 Mệnh đề Mỗi lớp thặng dư môđun m là hợp của k ( 0 k ) lớp thặng dư môđun km (đôi một phân biệt)

Chứng minh Giả sử A a m , Xét các lớp thặng dư môđun km sau đây:

0 , A1 , ., Ak-1 ( 1)

Đó là những lớp môđun km đôi một phân biệt Thật vậy với i j,

0i j,  k 1 ta có 0 (aim) ( a jm) km, nên A i  A j, và ta có đẳng thức

Thật vậy, giả sử x A , khi đó xa (mod )m , nghĩa là có t sao

cho x = a + mt Chia t cho k, giả sử ta được t = kq + i, 0  i k 1, từ đó

x = a + (mk)q + mi hay x = a + mi + (mk)q  a + mi (mod km), nghĩa là

Vậy ta có d = (A, m) =( , a m ) = (a, m) với A a m

Đặc biệt nếu (A, m) = 1 thì A được gọi là một lớp thặng dư nguyên tố với môđun m

1.3 Vành các lớp thặng dƣ

1.3.1 Phép toán trong Z m

Trong m ta định nghĩa phép cộng và phép nhân như sau:

Giả sử , a b m , ta đặt a b a b   và a bab Dễ kiểm tra được các phép toán trên đây là hoàn toàn xác định

1.3.2 Định lý Tập hợp m cùng với hai phép toán cộng và nhân vừa xác

định trên đây là một vành giao hoán có đơn vị

Chứng minh Dễ dàng kiểm tra được phép cộng và phép nhân trong m thỏa

mãn các tiên đề của một vành giao hoán Phần tử không của m là 0 , phần tử

đối của a là ( a ), phần tử đơn vị là E1 ■

1.3.3 Định lý Lớp thặng dư môđun m, A, là phần tử khả nghịch của vành

m khi và chỉ khi A là lớp nguyên tố với môđun m

Chứng minh Thật vậy A là phần tử khả nghịch của vành m có nghĩa là có

m

B sao cho AB E 1 (mod m)

Giả sử Aa B,  b khi đó a b 1 cho ta đồng dư thức

1 (mod )

ab m Như vậy (ba, m) = (1, m) = 1, từ đó ta có ( , ) ( , ) 1 A m  a m 

Ngược lại, giả sử ( , ) 1A m  và Aa, khi đó ( , ) 1a m  và do đó tất có

m cùng với phép nhân là một nhóm Đặc biệt nếu p

là số nguyên tố thì tất cả các phần tử khác không của p đều là khả nghịch

do đó p là một trường

1.3.4 Định lý Giả sử A B,  m , A khả nghịch, thế thì: Khi X chạy qua tất

cả các lớp thặng dư của vành m thì AX + B cũng chạy qua tất cả các phần

tử của vành m và khi X chạy qua tất cả các phần tử khả nghịch của vành

m thì AX cũng chạy qua tất cả các phần tử khả nghịch của vành m Cụ thể

ta có

m AX B X/  m và *m AX X/  *m

Chứng minh Vì A khả nghịch nên với X X, ' m ta có AX + B = AX’ + B

khi và chỉ khi X = X’, từ đó AX B X/  m là tập hợp m phần tử đôi một

phân biệt của m, do đó ta được m AX B X/  m

Với chú ý rằng với *

, m

A X thì ta cũng có AX *m và bằng lý luận tương tự như trên ta được đẳng thức cần chứng minh là

*m  AX X/  *m ■

1.4 Hệ thặng dƣ đầy đủ và hệ thặng dƣ thu gọn môđun m

1.4.1 Định nghĩa Một bộ phận H của vành số nguyên là một hệ thặng dư

đầy đủ môđun m khi và chỉ khi H thỏa mãn các điều kiện sau:

i) Nếu ,a bH và ab thì a b (mod )m ;

ii) Với mọi x thì tất có a H sao cho ax (mod )m

1.4.2 Mệnh đề i) Mỗi hệ thặng dư đầy đủ môđun m đều gồm m số;

ii) Mọi hệ H gồm m số nguyên đôi một không đồng dư với nhau theo

môđun m đều lập thành một hệ thặng dư đầy đủ môđun m;

iii) Cho (a, m) = 1, b là một số nguyên tùy ý và x chạy qua một hệ

thặng dư đầy đủ môđun m, thế thì ax b cũng chạy qua một hệ thặng dư đầy

đủ môđun m

1.4.3 Định nghĩa Một bộ phận K của vành số nguyên là một hệ thặng dư

thu gọn môđun m khi và chỉ khi K thỏa mãn các điều kiện sau:

i) aK thì (a, m) = 1;

ii) Nếu ,a bK và ab thì a b (mod )m ;

iii) Với mọi x mà ( ,x m) 1 , tồn tại a K sao cho ax (mod )m

1.4.4 Mệnh đề i) Mỗi hệ thặng dư thu gọn môđun m đều gồm ( ) m số trong

đó  là hàm số số học Euler;

ii) Mọi hệ K gồm ( ) m số nguyên, nguyên tố với m và đôi một không

đồng dư với nhau theo môđun m lập thành một hệ thặng dư thu gọn môđun m;

iii) Cho (a, m) = 1 và x chạy qua một hệ thặng dư thu gọn môđun m khi

đó ax cũng chạy qua một hệ thặng dư thu gọn môđun m

1.5 Hàm số số học Euler

1.5.1 Định nghĩa Cho m là số tự nhiên khác 0 Hàm số ( ) m được xác định

bởi một trong các Định nghĩa tương đương sau đây:

Chứng minh Hiển nhiên rằng ( ) m là một hàm số không đồng nhất không

Ta chỉ còn phải chứng minh rằng với

theo Định nghĩa trong đó có ( ) m số nguyên tố với m

cho nên ta được

 số y như vậy Với mỗi số y như vậy (nghĩa là

1( ,y m ) 1 ) thì các số

m x1  y x0, 1, ,m2 1  tất cả đều nguyên tố với

1

m và lập thành hệ thặng dư đầy đủ môđun

2

m , do đó trong này có

2(m )

 số nguyên tố với

2

m , nghĩa là có

2(m )

 số nguyên tố đồng thời với

 hệ như trên, từ đó suy

ra có tất cả

1(m )



2(m )

1.6.2 Định lý Fermat bé Nếu p là số nguyên tố và a là số nguyên không

chia hết cho p thì ta có a p11 (mod p)

Chứng minh Vì a không chia hết cho p nên (a, p) = 1 Mặt khác ta biết rằng

( )p p 1

   Áp dụng Định lý Euler ta được điều cần chứng minh ■

1.6.3 Dạng khác của Định lý Fermat Cho p là một số nguyên tố, thế thì với

mọi số nguyên a, ta có đồng dư thức a p a (mod )p

Chứng minh - Nếu a là bội của p thì ta có a0 (mod )p Do đó

0 (mod )

p

a  p Từ đó ta được a p a (mod )p

- Nếu a không chia hết cho p thì theo trên ta có a p11 (mod )p , từ đó

suy ra a p a mod p ( ) (bằng cách nhân hai vế của đồng dư thức với a) ■

1.7 Nghiệm của phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn

Xét phương trình dạng axb (mod )m với a 0 (mod m) (1)

1.7.1 Định lý Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi ước chung lớn nhất

d = (a, m) của a và m là ước của b Khi (1) có nghiệm thì nó có d nghiệm

Chứng minh Ta chú ý rằng d < m vì (1) là phương trình bậc nhất (đương

nhiên ta giả thiết d > 0)

Giả sử (1) có nghiệm, vậy có x0 nghiệm đúng phương trình, nghĩa

là ta có đồng dư thức ax0 b (mod )m Vì d | a và d | m nên d | ax và d|m 0

do đó theo tính chất của đồng dư thức thì d | b

Giả sử ngược lại (a, m) = d | b Đặt a = a 1 d, b = b 1 d, m = m 1 d thì

phương trình (1) tương đương với phương trình a x1 b1(mod m1) (2), trong

đó (a 1 , m 1 ) = 1 Cho x chạy qua một hệ thặng dư đầy đủ môđun m 1 , khi đó a 1 x

cũng chạy qua một hệ thặng dư đầy đủ môđun m 1, cho nên có một thặng dư

duy nhất x 0 trong hệ trên sao cho ta có a x1 0b1(mod m1), nghĩa là phương

trình (2) có một nghiệm duy nhất là lớp thặng dư x (mod m0 1) Vì phương

trình (2) tương đương với phương trình (1) cho nên lớp x0 (mod m 1) cũng là

tập hợp các giá trị của x nghiệm đúng phương trình (1), lớp này là hợp của d

lớp thặng dư môđun m, đó là d nghiệm của phương trình (1)

0

x , x0 m1, , x0 (d1)m1 (mod m)

Vậy phương trình (1) có nghiệm và nó có d nghiệm ■

1.7.2 Cách xác định nghiệm của phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn

Xét phương trình axb (mod )m (với (a, m) = 1 và 1< a < m)

Phương pháp 1 Xác định nghiệm bằng cách chia cả hai vế cho a

- Nếu a | b thì nghiệm của phương trình là x b (mod m)

a

- Nếu b không chia hết cho a thì tồn tại k với 1  k a 1 sao cho

b + km chia hết cho a

Thật vậy, giả sử với mọi k (1  k a 1) mà b + km không chia hết cho

a Khi đó theo Nguyên lý DiRichlet phải tồn tại hai số k k 1, 2

1 2

(0 k k  a 1) sao cho bk m1 và bk m2 chia cho a có cùng số dư, tức

là (k1k m2) k m k m1  2 chia hết cho a Nhưng (a, m) = 1 nên k1k2 chia

hết cho a Điều này là vô lý vì 0 < | k1k2| < a ■

Khi đó phương trình đã cho tương đương với phương trình

Ví dụ Giải phương trình 5x2 (mod 7)

Lời giải Phương trình đã cho tương đương với

5x 2 4.7 (mod 7)

ta được nghiệm là

30(mod 7)5

xhay

6 (mod 7)

x

Phương pháp 2 Xác định nghiệm bằng cách vận dụng Định lý Euler

Vì (a, m) = 1 nên theo Định lý Euler ta có a( )m 1 (mod )m Từ đó ta suy ra a( )m bb (mod )m hay a ba ( ) 1m    b (mod )m Suy ra

( ) 1m

xba  (mod m) là nghiệm của phương trình đã cho

CHƯƠNG 2 CĂN NGUYÊN THUỶ

2.1 Khái niệm và tính chất của căn nguyên thủy theo môđun m

2.1.1 Định nghĩa Cho m là một số tự nhiên khác không, a là một số nguyên

dương nguyên tố với m Số tự nhiên   0 và nhỏ nhất sao cho

1 (mod )

a  m được gọi là số mũ của a theo môđun m Kí hiệu m( ).a Khi

đó ta cũng còn nói a thuộc vào số mũ  theo môđun m

Người ta còn gọi số mũ của a theo môđun m là bậc của a môđun m và

kí hiệu là ord a m

Hiển nhiên ta có m( )a ( )m với  là hàm số số học Euler đã trình bày ở chương 1

2.1.2 Định nghĩa Số nguyên g được gọi là căn nguyên thủy môđun m nếu số

mũ của nó theo môđun m là ( ) m

2.1.3 Mệnh đề Nếu a thuộc vào số mũ  theo môđun m thì mọi số cùng lớp với a theo môđun m đều thuộc vào số mũ  và nói riêng nếu a là căn nguyên thủy môđun m thì mọi số cùng lớp với a theo môđun m đều là căn nguyên thủy môđun m

Chứng minh Thật vậy từ ab (mod m) ta có a k b k (mod m) với mọi

Chứng minh Thật vậy nếu có a k a l (mod )m với 0   k l  1 thì cũng

có a l k 1 (mod m) (vì (a k, ) 1m  ), do đó k = l ■

2.1.5 Mệnh đề Nếu a thuộc vào số mũ  theo môđun m thì a 1 (mod m)

khi và chỉ khi  0 (mod )

Chứng minh Giả sử   qr, 0 < r  , ta có a = aq r+  a r (mod ).m

Do đó a 1 (mod m) khi và chỉ khi a r  1 (mod )m đồng dư thức này chỉ

xảy ra khi và chỉ khi r = 0, tức là  chi hết cho  hay  0 (mod ) ■

2.1.6 Mệnh đề Nếu a thuộc vào số mũ  theo môđun m thì

(mod )

a a m khi và chỉ khi   (mod )

Chứng minh Giả sử   , ta được a a (mod )m khi và chỉ khi

a    1 (mod )m

Đồng dư thức này xảy ra khi và chỉ khi - 0 (mod )    , tức là

  (mod ) ■

2.1.7 Hệ quả Số mũ của a theo môđun m là ước của ( ) m

2.1.8 Mệnh đề Nếu theo môđun m, số mũ của a là  ( ord m( )a  ), và s là

một số nguyên dương thì số mũ của a s theo môđun m là ( )

( , )

s m