lý thuyết đồng dư

Đồng dư là một công cụ để giải quyết nhiều bài toán số học, như tìm số dư của một phép chia, tìm dấu hiệu chia hết của một số nhỏ, tìm chữ số tận cùng của một số lớn, chứng minh sự chia

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA TOÁN- TIN HỌC MÔN: SỐ HỌC VÀ LOGIC

Bài Tiểu Luận

GVHD: TS Trần Nam Dũng SVTH:

Ngô Thị Bích Thủy 1111323 Bùi Thị Anh Thy 1111327

TP Hồ Chí Minh, ngày 11 tháng 12 năm 2014

LÝ THUYẾT ĐỒNG DƯ

MỤC LỤC

PHẦN A: GIỚI THIỆU - 3

PHẦN B: KIẾN THỨC CƠ BẢN - 3

I LÝ THUYẾT ĐỒNG DƯ - 3

1.1 Định nghĩa - 3

1.2 Định lý - 3

1.3 Các tính chất của quan hệ đồng dư - 4

1.4 Các hệ quả của quan hệ đồng dư - 5

II THẶNG DƯ - 8

2.1 Tập các lớp thặng dư - 8

2.2 Hệ thặng dư đầy đủ theo modulo m - 8

III MỘT SỐ ĐỊNH LÝ QUAN TRỌNG - 8

3.1 Định lý Euler - 8

3.2 Định lý Fermat nhỏ - 9

3.3 Định lý Trung hoa về thặng dư -10

IV PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG DƯ - 10

4.1 Định nghĩa -10

4.2 Nghiệm của phương trình đồng dư -10

4.3 Phương trình đồng dư tương đương -11

4.4 Phương trình đồng dư bậc nhất -11

V HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỔNG DƯ - 13

5.1 Định nghĩa -13

5.2 Nghiệm của hệ phương trình đồng dư -13

5.3 Hệ phương trình đồng dư tương đương -14

5.4 Hệ phương trình đồng dư bậc nhất -14

VI PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG DƯ MỘT ẨN BẬC CAO - 15

6.1 Định nghĩa -15

6.2 Định lý -15

6.3 Phương pháp giải phương trình f x ( )  0(mod p), -17

p nguyên tố,   2 PHẦN C: BÀI TẬP - 18

I MỘT SỐ BÀI TẬP KHÁC - 18

II BÀI TẬP TỰ LUYỆN - 20

III ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN - 21

KẾT LUẬN - 24

TÀI LIỆU THAM KHẢO - 24

PHẦN A: GIỚI THIỆU

Lý thuyết đồng dư là một nội dung rất quan trọng của lý thuyết số Eudlid có nhắc đến tính chất chia hết, khái niệm số chẵn và số lẻ, nhưng chưa phát biểu tường minh khái niệm đồng dư Khái niệm đồng dư xuất hiện khá rõ nét trong định lý Trung Hoa về số dư, được phát biểu lần đầu trong sách Toán pháp Tôn Tử (thế kỷ thứu III-V sau Công nguyên Người Trung Hoa gọi

đó là bài toán hàn Tín điểm binh: Một nhóm không qua một trăm binh lính xếp hàng bảy thì dư

ra một người, xếp hàng năm thì dư ra ba người, xếp hàng ba thì không dư ra ai Tướng quân giỏi nhẩm sẽ tính ra rằng số binh lính bằng đúng bảy mươi tám

Đồng dư là một công cụ để giải quyết nhiều bài toán số học, như tìm số dư của một phép chia, tìm dấu hiệu chia hết của một số nhỏ, tìm chữ số tận cùng của một số lớn, chứng minh sự chia hết,… và nó còn là khuôn khổ để phát biểu và chứng minh một vài định lý Toán học , như định lý Euler, định lý Fermat nhỏ Trong chương trình đại học, chúng ta chỉ được tìm hiểu lý thuyết đồng dư trên vành các số nguyên

Nội dung tiểu luận gồm ba phần:

 Phần A: Giới thiệu lịch sử, vai trò và chỗ đứng của lý thuyết đồng dư

 Phần B: Các kiến thức cơ bản của đồng dư Đó là: định nghĩa, các tính chất, hệ quả, các định lý quan trọng, thặng dư, phương trình đồng dư và hệ phương trình đồng dư

 Phần C: Bài tập tự luyện, gồm một số dạng bài tập thường gặp và một vài bài tập tự luyện

Tiểu luận này nhằm mục đích tìm hiểu sâu hơn các kiến thức cơ bản của đồng dư và một vài ứng dụng của nó

Cho m là một số nguyên dương Các số nguyên a và b được gọi là đồng dư theo

 Nếu a không đồng dư với b theo modulo m thì ta viết

bmt mq   r b m q  t r trong đó (q1 t) ,0 r m Tức là số dư trong phép chia b cho m cũng là r hay 

Ví dụ 2: Cho a  b Chứng minh rằng phép chia a và b cho a  b có cùng số dư

Chứng minh rằng phép chia a và b cho a  b có cùng số dư, có nghĩa là chứng minha  b (mod(a b)) 

Áp dụng định lý trên (iii) ta có:

Vì ( a  b ) ( a  b ) nên a  b (mod(a b))  

1.3 Các tính chất của quan hệ đồng dư:

a Quan hệ đồng dư là một quan hệ tương đương trên tập các số nguyên :

i Phản xạ:  a , a  a (mod ) m

ii Đối xứng:  a b ,  , a  b (mod ) m   b a (mod ) m

iii.Bắc cầu: a b c , ,  , a  b (mod ), m b  c (mod ) m   a c (mod ) m

Chứng minh:

hay m a | (  c ) Khi đó a  c (mod ) m

Do đó quan hệ đồng dư có tính bắc cầu

Vậy quan hệ đồng dư là một quan hệ tương đương trên tập các số nguyên 

b Nếu a1 b1(mod )m và a2 b2(mod )m thì ta có:

Suy ra: a a1 2 b b1 2m b t( 1 2 b t2 1t t1 2)với (b t1 2b t2 1t t1 2)

Vậy a a1 2 b b1 2 chia hết cho m haya a1 2 b b1 2(mod )m 

1.4 Các hệ quả của quan hệ đồng dư:

i a  b (mod ) m     a c b c (mod ) m

Chứng minh:

Ta có a  b (mod ) m và c  c (mod ) m

Theo tính chất b.i) ta có a    c b c (mod ) m

Vậy a  b (mod ) m     a c b c (mod ) m 

ii a   c b (mod ) m    a ( b c )(mod ) m

Chứng minh:

Ta có a   c b (mod ) m và c  c (mod ) m

Theo tính chất b.i) ở trên, ta trừ vế theo vế của hai đồng dư thức ta được

( )(mod )

Vậy a   c b (mod ) m    a ( b c )(mod ) m 

iii.a  b (mod ) m   a km  b (mod ) m với mọi k 

Chứng minh:

Ta có a  b (mod ) m và km  0(mod ) m   k

Từ tính chất b.i) suy ra a  km  b (mod ) m

Vậy a  b (mod ) m   a km  b (mod ) m   k 

iv a  b (mod ) m  ac  bc (mod ) m

Chứng minh:

Ta có a  b (mod ) m và c  c (mod ) m

Theo tính chất b.ii) ta có ac  bc (mod ) m

Vậy a  b (mod ) m  ac  bc (mod ) m 

Áp dụng tính chất b.ii) ta được an  bn(mod ) m

Vậy a  b (mod ) m  an  bn(mod ), m   n , n  0 

vi Cho f x ( ) là một đa thức với hệ số nguyên và    (mod ) m Khi đó ( ) ( )(mod )

Nên f ( )   f (   km )(mod ) m

Mà f ( )   0(mod ) m

Theo tính chất bắc cầu ta được f (   km )  0(mod ) m   k

Vậy nếu f ( )   0(mod ) m thì f (   km )  0(mod ) m với mọi k  

vii Chia cả hai vế của một đồng dư thức cho một ước chung của chúng nguyên tố cùng nhau với modulo

(mod )

(mod ) ( , ) 1

ix Nếu hai số đồng dư với nhau theo một modulo thì chúng cũng đồng dư theo modulo

là ước của modulo ấy

Ta có a  b (mod ) m  m ( a b  ) Mà  m Nên  | ( a b    ) a b (mod ) 

Vậy ta có điều phải chứng minh

x Nếu hai số đồng dư với nhau theo nhiều modulo thì chúng đồng dư với nhau theo modulo là bội chung nhỏ nhất của các modulo ấy

1 2

| ( )

| ( )

| ( ) , , , | ( )

Vậy ta có điều phải chứng minh

xi Nếu hai số đồng dư với nhau theo một modulo thì chúng có cùng UCLN với modulo

Từ định nghĩa, hai lớp thặng dư môđun m hoặc bằng nhau hoặc không giao nhau và

m là hợp của tất cả các lớp thặng dư modulo m rời nhau

2.2 Hệ thặng dư đầy đủ theo modulo m:

2.2.1 Định nghĩa:

Giả sử A m và a  A Khi đó A    x : x  a (mod ) m 

Phần tử a được gọi là đại diện của lớp thặng dư A và cũng được gọi là một thặng

dư môđun m

Ta cũng có thể viết rằng: A    a  x : x  a (mod ) m 

Tập hợp các đại diện đó được gọi là một hệ thặng dư đầy đủ theo môđun m

(mod )

i i

Ví dụ 4: Tìm số dư trong phép chia 22014 cho 17 ?

Vì số 17 là số nguyên tố, nên theo định lí Euler, ta có:

1.3 Định lý Trung hoa về thặng dư:

Nếu m m1, 2, ,m đôi một nguyên tố cùng nhau thì hệ phương trình đồng dư k

1 1

(mod )(mod )

có nghiệm duy nhất theo modulo mm m1 2 m k

IV PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG DƯ

Trong tiểu luận này, ta chỉ trình bày về phương trình đồng dư một ẩn

Ta gọi   x là tập các đa thức một biến với các hệ số nguyên

4.2 Nghiệm của phương trình đồng dư:

Nếu với x x0 nghiệm đúng phương trình (1) thì mọi số nguyên thuộc lớp thặng dư

4.3 Phương trình đồng dư tương đương:

Cho f x g x ( ), ( )  [ ] x Hai phương trình đồng dư

1 2

( ) 0(mod )( ) 0(mod )

Suy ra xa c1 là nghiệm của phương trình ax  b (mod ) m

Tiếp theo, ta chứng minh phương trình này có đúng d nghiệm không đồng dư theo modulo m

Thật vậy, giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình, nghĩa là:

x x qdm rm x qmrm,nghiệm này đồng dư với nghiệm x 0 rm1 Điều này

0(mod ), 0 1(mod ), , 0 ( 1) 1(mod )

x m x m m x  d  m m

Ví dụ 7: Giải phương trình 9 x  6(mod15) (3)

Ta có: d  (9,15)  3| 6 phương trình (3) có 3 nghiệm

53

m  

Chia hai vế và môdulo của phương trình đồng dư cho 3  (9,6,15) ta được phương trình tương đương:

3 x  2(mod5)Cho x nhận lần lượt các giá trị hệ thặng dư không âm bé nhất theo modulo 5

5 {0,1,2,3,4}

Z  , ta thấy x  4(mod5)là một nghiệm

Suy ra các nghiệm 2 nghiệm còn lại là: x  9(mod5)và x  14(mod5)

Vậy phương trình đồng dư (2) có 3 nghiệm là:x  4(mod5),x  9(mod5)và 14(mod5)

4.4.3 Các phương pháp tìm nghiệm của ax  b (mod ) m (2)

Theo Định lý trên, ta chỉ cần tìm nghiệm của phương trình (4.2) với điều kiện ( , ) 1 a m  và 1 a   m

 Phương pháp 1: Xác định nghiệm bằng cách chia cả hai vế cho a

 Nếu b athì nghiệm của phương trình là: x b(mod )m

a

 Nếu b a thì tìm số nguyên k (1    k a 1) sao cho (bkm a) Khi đó, phương trình (4.2) tương đương với phương trình ax   b km (mod ) m hay nghiệm của phương trình là x b km(mod )m

 Phương pháp 2: Xác định nghiệm bằng cách vận dụng Định lý Euler

Do ( , ) 1 a m  nên theo Định lý Euler ta có:

( ) ( ) 1

1(mod )

m m

Ví dụ 9: Giải phương trình 2 x  9(mod17)

Ta có: (2,17) 1  và  (17) 16 

Nên x2 9(mod17)15

Mà 24  1(mod17)212  1(mod17)215  8(mod17)

Suy ra x   72(mod17)   4(mod17)

Vậy nghiệm của phương trình là x   4(mod17)

 Nhận xét:

Nghiệm của phương trình đồng dư ax  1(mod ) m với a m ,  , m  1được gọi là phần tử nghịch đảo của atheo modulo m

Ví dụ 10: Tìm nghịch đảo của 63 theo modulo 5

Ta giải phương trình 63 x  1(mod5)

Ta có: (63,5)  (5,3)  (3,2) 1  và  (5)  4

Nên x63 (mod5)3

Mà 632  1(mod5)633  63(mod5)

Suy ra x   63(mod5)  2(mod5)

Vậy nghiệm của phương trình là x  2(mod5)hay nghịch đảo của 63 là 2 theo modulo 5

5.3 Hệ phương trình đồng dư tương đương:

Cho f x g x i( ), j( ) [ ]x Hai hệ phương trình đồng dư

với m iN b, iZ i, 1, 2, ,k gọi là hệ phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn

Một nghiệm của hệ phương trình (7) là tập hợp tất cả các giá trị xx0(mod )m nghiệm đúng hệ phương trình (4.4)

Theo Định lý cơ bản của số học, tính chất của đồng dư thức và các định lý trên, ta chỉ cần tìm nghiệm của hệ với điều kiện m m1, 2, ,m đôi một nguyên tố cùng nhau k

5.4.2 Phương pháp giải tìm nghiệm của hệ phương trình (7):

Đặt m[m m1, 2, ,m k]m m1 2 m k, ứng với mỗi m ta tìm số tự nhiên i M thỏa i

2(mod 3)3(mod 5)4(mod 7)

x x x

Vậy phần tử nghịch đảo của M135theo modulo 3 lày12 + Giải phương trình 21y2 1(mod5):

Ta có: (21,5) 1  và  (5)  4 Nghiệm của phương trình là 3

3 15 (mod 7) 1(mod 7)

Vậy phần tử nghịch đảo của M3 15theo modulo 7 là y3 1

Ngược lại giả sử 0(mod i), 1,

Suy ra f x( )0 0(mod )m  x x0(mod )m là nghiệm của (8)

Từ định lý trên ta thấy việc giải phương trình f x ( )  0(mod ) m được đưa về giải phương trình f x ( )  0(mod p), p nguyên tố,  là số nguyên dương

Tiếp theo ta chứng minh rằng phép giải phương trình f x ( )  0(mod p) (10) được đưa

về phép giải phương trình f x ( )  0(mod ) p (11)

Ta có mỗi nghiệm của (10) hiển nhiên là nghiệm của (4) Giả sử xx1(mod )p là một nghiệm của (11)   x x1 pt t1, 1Z

Thay giá trị x x1 pt1 vào phương trình:

1 0

( )

!

k n

k k

1

( ) ( ) 0(mod )

Thay vào phương trình f x ( )  0(mod p3)

Tương tự ta được f x ( )2  p t f x2 2  ( )2  0(mod p3)

Quá trình cứ tiếp tục, ta được x  x  p t 

Như vậy, ta đã đưa việc giải phương trình f x ( )  0(mod p) về việc giải các phương trình f x ( )  0(mod ), , ( ) p f x  0(mod p)1

6.3 Phương pháp giải phương trình f x ( )  0(mod p), p nguyên tố,   2:

Bước 1: Giải phương trình f x ( )  0(mod ) p bằng cách thử qua hệ thặng dư đầy đủ modulo p

Giả sử phương trình có nghiệm xx0(mod )p  x x0  pt t; 

Bước 2: Giải phương trình f x ( )  0(mod p2) Tìm t  thỏa

0

( ) ( ) f x (mod )

Xét phương trình f x ( )  0(mod5)  x4  2 x3 9 x   1 0(mod5)

Cho x nhận lần lượt các giá trị hệ thặng dư không âm bé nhất theo modulo 5

 x  2(mod5)    x 2 5 , t t  Z Thực hiện các bước tương tự ta tìm được nghiệm của phương trình (1) là x  57(mod125)

Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm là: x  81(mod125)và x  57(mod125)

Trường hợp m là số nguyên tố, ta gọi phương trình (1) là phương trình đồng dư bậc cao theo modulo nguyên tố Khi đó, ta có định lý sau:

Dạng 1: Tìm số dư của phép chia

Phương pháp: Muốn tìm số dư trong phép chia số A chom, ta phải tìm được số (0 )

x   x m sao cho A  x (mod ) m

Ví dụ 14: Tìm số dư trong phép chia 2012

Dạng 2: Tìm dấu hiệu chia hết của một số nhỏ

Phương pháp: ta tách số A hợp lý để được một biểu thức đơn giản nhất của các chữ số của A là f A( ) sao cho A f A( )(mod )m

Ví dụ 15: Tìm dấu hiệu chia hết cho 3?

Xét số tự nhiên có n1 chữ số Aa a n n1 a a1 0

Ta có:

Hay Aa a0 1 a a n1 n khi chia cho 3 có cùng số dư khi chia tổng các chữ số của Acho 3

Từ đó A chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số của A chia hết cho 3

Dạng 3: Chứng minh sự chia hết

Phương pháp: Để chứng minh A chia hết chom, ta đi chứng minh A  0(mod ) m

Ví dụ 16: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì số 2 1 2

Suy ra 3 32 n   4.3 (mod13)n  3n2   4.3 (mod13) (9)n

Cộng hai vế của (8) và (9) ta được 2 1 2

2 6(mod10)

3 1(mod10)

7 1(mod10)

k k k







Do đó để tìm chữ số tận cùng của n

A với A có chữ số tận cùng là 2;3 hoặc 7 ta lấy n

chia cho 4 Giả sử n  4 k  r r ,   0;1;2;3 

- Nếu A  2(mod10) thì An  2n  24k r  6.2 (mod10)r

- Nếu A  3(mod10) hoặc A  7(mod10) thì An  A4k r  Ar(mod10)

Vậy 2008

9 có chữ số tận cùng là 1 d) 91991  (9 )2 995.9  81 9995  ( 1).9 9 

II BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Tìm dấu hiệu chia hết cho 7

Bài 2: Tìm số dư của số 1234567894 khi chia cho 8

Bài 3: Chứng minh rằng 22225555  55552222 chia hết cho 7

Bài 4: Tìm chữ số tận cùng của các số A999, B=141414

Bài 5: Tìm số dư trong các phép chia sau

a) 123345 chia cho 14 b) 35150 chia cho 425

Bài 6: Tìm các số tự nhiên n để n n1(n1)n chia hết cho 5

Bài 7: Chứng minh rằng nếu ( ,5) 1 a  thì a8n  3 a4n  4 chia hết 100

Bài 8:

a) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 2n  1 chia hết cho 7

b) Chứng minh rằng không có số tự nhiên n nào để 2n  1 chia hết cho 7

Bài 9: Giải các phương trình đồng dư sau:

x x x

b) Nếu phép chia thứ nhất cho 8 là đúng thì phép chia thứ hai cho 12 có số dư là bao nhiêu ? Hãy tìm số bị chia

Bài 16: Tìm hai chữ số tận cùng của 22003

Từ đó, Aa a n n1 a a1 0 chia hết cho 7 khi tổng có dạng

Suy ra: 1234567894  5 (mod 8)4

x ab ab   ab

Bài 11:

Hướng dẫn:

Giả sử n là số nguyên tố Nếu n  2,3 thì định lý đúng Nếu n  3, thì với mỗi số nguyên

a luôn tớn tại duy nhất số nguyên b sao cho a b  1(mod ) n Ta chứng minh 2    b p 2 Ta luôn tồn tại có nghiệm của phương trình đồng dư sao cho 1  b p 1 Ngoài ra, nếu b1 thì 1

a  Nếu b   n 1 thì a   n 1 Điều này mâu thuẫn Do đó, các phần tử của tập {2,3, , 2}

Ngược lại, giả sử ( n  1)!   1(mod ) n Ta chứng minh n là số nguyên tố Thật vậy, giả

sử n là hợp số, tức là n  a b trong đó 1 a    b n Khi đó a n | (  1)! Ngoài ra theo giả thuyết , ta có ( n  1)!   1(mod ) n tức là a | (( n   1)! 1) Từ đó suy ra a |1 Điều này mâu

thuẫn Vậy n là số nguyên tố