Ứng dụng lý thuyết graph vào phân tích động học cơ cấu bánh răng vi sai

Phân tích động học cơ cấu bánh răng thường Khi xác định được tỉ số truyền của một cặp bánh răng: Dấu tùy thuộc vào điều kiện ăn khớp trong + hay ăn khớp ngoài - Tiếp tục xác định tỉ số t

LUẬN VĂN THẠC SĨ

MỤC LỤC

Chương 1 : Giới thiệu 6

1.1 Tổng quan 6

1.1.1 Cơ cấu bánh răng 6

1.1.2 Phương pháp phân tích động học cơ cấu bánh răng 10

1.2 Ưu điểm của lý thuyết Graph trong việc biểu diễn cơ cấu 11

1.3 Tình hình nghiên cứu 12

1.4 Nội dung đề tài 14

Chương 2: Phân tích động học cơ cấu bánh răng vi sai bằng lý thuyết Graph 16

2.1 Mô tả hệ thống bánh răng vi sai bằng lý thuyết Graph 16

2.1.1 Khái niệm sơ đồ Graph 16

2.1.2 Mô tả hệ thống bánh răng vi sai bằng lý thuyết Graph 19

2.2 Ứng dụng lý thuyết Graph vào phân tích động học cơ cấu bánh răng vi sai21 2.2.1 Phân tích cơ cấu thành các đơn vị cơ bản 23

2.2.2 Biểu diễn và phân tích các đơn vị cơ bản bằng công cụ toán 32

Chương 3: Xây dựng giải thuật phân tích và khảo sát cơ cấu bánh răng vi sai 36

3.1 Cơ cấu bánh răng 1 36

3.1.1 Mô hình bài toán 36

3.1.2 Quy trình phân tích 37

3.2 Cơ cấu bánh răng 2 39

3.2.1 Mô hình bài toán 39

3.2.2 Quy trình phân tích 40

Chương 4: Ứng dụng lập trình máy tính vào phân tích động học cơ cấu bánh răng vi sai 44

4.1 Lưu đồ giải thuật 44

4.1.1 Giả thiết bài toán 44

4.1.2 Nghiệm của bài toán 44

LUẬN VĂN THẠC SĨ

4.2 Ứng dụng 46

4.2.1 Phân tích động học cơ cấu bánh răng 1 46

4.2.2 Phân tích động học cơ cấu bánh răng 2 48

4.3 Kết luận 50

Chương 5: Kết luận 52

5.1 Một số kết luận 52

5.1.1 Phương pháp phân tích động học cơ cấu bánh răng vi sai 52

5.1.2 Ứng dụng lập trình 52

5.2 Kết quả đạt đuợc của đề tài 53

5.3 Hướng phát triển đề tài 53

Tài liệu tham khảo 54

PHỤ LỤC A 56

PHỤ LỤC B 58

LUẬN VĂN THẠC SĨ

DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ

Chương 1

Hình 1 1.Hệ bánh răng thường phẳng 6

Hình 1 2.Hệ bánh răng thường không gian 7

Hình 1 3 Các dạng ăn khớp của hệ bánh răng vi sai phẳng 7

Hình 1 4 Hệ bánh răng vi sai không gian 8

Hình 1 5 Hệ bánh răng hỗn hợp 8

Hình 1 6 Cơ cấu cầu xe hơi 9

Hình 1 7 Cơ cấu bệnh cáp 9

Hình 1 8 Cơ cấu máy tiện trục khuỷu 10

Chương 2 Hình 2 1.Hệ bánh răng vi sai (5,7) (a) Sơ đồ kết cấu,(b) Sơ đồ Graph 18

Hình 2 2.Sơ đồ kết cấu (a) và mạch cơ sở (b) của một cặp bánh răng 19

Hình 2 3.Hệ bánh răng vi sai (6,9) (a) Sơ đồ kết cấu,(b) Sơ đồ Graph, (c) Nhánh cây, (d),(e),(f) và (g) các mạch cơ sở tương ứng 21

Hình 2 4.Sơ đồ phân tích cơ cấu bánh răng vi sai ứng dụng lý thuyết Graph 23

Hình 2 5.Các dạng đơn vị bánh răng vi sai với1,2- Cặp bánh răng, 3-Tay quay 24

Hình 2 6.Hệ bánh răng 4 khâu,1 bậc tự do (a)Sơ đồ nguyên lý,(b) Sơ đồ Graph, (c)Các đơn vị bánh răng sau khi phân tích 25

Hình 2 7 Hệ bánh răng 6 khâu,2 bậc tự do (a)Sơ đồ nguyên lý,(b) Sơ đồ Graph, (c)Các đơn vị bánh răng sau khi phân tích 25

Hình 2 8 Hệ bánh răng 2210-1 (a)Sơ đồ nguyên lý,(b) Sơ đồ Graph, (c)Các nhóm động học bánh răng sau khi phân tích 28

Hình 2 9 (a) Chuỗi động học gồm 3 nhóm động học,

(b)Chuỗí song song, (c) Chuỗi hỗn hợp 30

Hình 2 10.Cơ cấu bánh răng vi sai 6102-1(a) Sơ đồ Graph,(b)Sơ đồ Graph phân tích thành các đơn vị bánh răng, (c) Chuỗi động học 31

Hình 2 11.Cơ cấu bánh răng vi sai 6206-1,(a) Sơ đồ nguyên lý,(b)Sơ đồ Graph 34

Hình 2 12 Sơ đồ truyền động của cơ cấu bánh răng 6206-1 34

Chương 3 Hình 3 1.(a) Sơ đồ nguyên lý, (b) Sơ đồ Graph cơ cấu bánh răng 1 36

Hình 3 2.(a) Phân tích cơ cấu thành nhóm động học, (b)Chuỗi truyền động nhóm vi sai trong cơ cấu 1 38

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Hình 3 3.Phân bố chuỗi truyền động của cơ cấu 1 39

Hình 3 4 (a) Sơ đồ nguyên lý, (b) Sơ đồ Graph cơ cấu bánh răng vi sai 2 40

Hình 3 5 .(a) Phân tích cơ cấu thành các nhóm động học, (b) Chuỗi truyền động cơ cấu 2 42

Chương 4 Hình 4 1.Lưu đồ giải thuật của chương trình phân tích cơ cấu bánh răng vi sai 45

Hình 4 2.Sơ đồ nguyên lý cơ cấu bánh răng 1 46

Hình 4 3.Sơ đồ nguyên lý cơ cấu bánh răng 2 49

Hình 4 4.Sơ đồ tính toán đối với phương pháp thường dùng ( trường hợp 1) 50

Hình 4 5.Sơ đồ tính toán đối với phương pháp thường dùng ( trường hợp 2) 50

LUẬN VĂN THẠC SĨ

DANH SÁCH CÁC BẢNG BIỂU

Chương 2

Bảng 2 1.Trật tự truyền động của cơ cấu bánh răng 6206-1 34

Chương 3 Bảng 3 1.Ma trận kết cấu của cơ cấu bánh răng 1 37

Bảng 3 2 Phân bố các khâu trong cơ cấu bánh răng 1 38

Bảng 3 3.Ma trận kết cấu của cơ cấu bánh răng 2 40

Bảng 3 4 Phân bố các khâu trong cơ cấu bánh răng 2 41

Chương 4 Bảng 4 1.Tỉ số truyền giữa các cặp bánh răng ăn khớp trong cơ cấu 1 47

Bảng 4 2 Tỉ số truyền giữa các cặp bánh răng ăn khớp trong cơ cấu 2 49

LUẬN VĂN THẠC SĨ CHƯƠNG 1

Chương 1 : Giới thiệu

Trong đó, hệ bánh răng vi sai hay còn gọi là hệ bánh răng hành tinh là hệ thống bánh răng mà trong cứ mỗi cặp bánh răng có ít nhất một bánh có tâm quay di động Còn ngược lại,hệ bánh răng có các tâm quay cố định gọi là hệ bánh răng thường.Trong

hệ vi sai, bánh răng có tâm quay cố định gọi là bánh trung tâm, bánh răng có tâm quay

di động gọi là bánh vệ tinh Hệ vi sai có bánh trung tâm cố định được gọi là hệ bánh răng hành tinh hay cơ cấu bánh răng hành tinh Ngoài ra, mỗi cặp bánh răng ăn khớp đều có một khâu liên kết gọi là tay quay hay tay đòn [3]

1.1.1.2 Phân loại

(a) Hệ bánh răng thường

Hệ bánh răng phẳng là hệ bánh răng truyền chuyển động giữa các trục song song

Hình 1 1.Hệ bánh răng thường phẳng

LUẬN VĂN THẠC SĨ CHƯƠNG 1

Hệ bánh răng không gian là hệ bánh răng truyền chuyển động giữa các trục không song song [8]

Hình 1 2.Hệ bánh răng thường không gian

LUẬN VĂN THẠC SĨ CHƯƠNG 1

Hình 1 4 Hệ bánh răng vi sai không gian

Hình 1 5 Hệ bánh răng hỗn hợp

1.1.1.3 Ứng dụng

(a) Cơ cấu vi sai - cầu xe hơi

Bộ vi sai là một thiết bị dùng để chia mô men xoắn của động cơ thành hai đường, cho phép hai bên bánh xe quay với hai tốc độ khác nhau Có thể tìm thấy bộ vi sai ở tất cả các xe hơi và xe tải hiện đại, và đặc biệt ở các xe bốn bánh chủ động hoàn toàn

Bộ vi sai có ba nhiệm vụ chính sau:

 Truyền moment của động cơ đến các bánh xe

 Đóng vai trò là cơ cấu giảm tốc cuối cùng trước khi moment truyền đến các bánh

xe

 Cho phép các bánh xe quay với tốc độ khác nhau

LUẬN VĂN THẠC SĨ CHƯƠNG 1

Hình 1 6 Cơ cấu cầu xe hơi

(b) Cơ cấu bện cáp

Cơ cấu này cho phép bánh Z3 và cần quay cùng chiều với nhau, thường dùng trong máy bện cáp xuôi.Mỗi bánh răng Z3 mang nhiều sợi dây kim loại; chuyển động của các bánh này sẽ bện các sợi kim loại thành một nhánh còn chuyển động của cần

sẽ xe các nhánh thành một sợi cáp cùng chiều.[8]

Hình 1 7 Cơ cấu bệnh cáp

(c) Máy tiện trục khủy

Trong cơ cấu này Z1 = Z3 nên i3C = 0 nghĩa là bánh 3 tịnh tiến không quay Trên bánh này gắn dao tiện, khi cần C quay một góc thì tương ứng mũi dao và cổ trục khuỷu cũng quay theo.Khi đó, mũi dao trượt trên cổ trục khuỷu để thực hiện chuyển động cắt kim loại.[8]

LUẬN VĂN THẠC SĨ CHƯƠNG 1

Hình 1 8 Cơ cấu máy tiện trục khuỷu

1.1.2 Phương pháp phân tích động học cơ cấu bánh răng

1.1.2.1 Phân tích động học cơ cấu bánh răng thường

Khi xác định được tỉ số truyền của một cặp bánh răng:

Dấu tùy thuộc vào điều kiện ăn khớp trong (+) hay ăn khớp ngoài (-)

Tiếp tục xác định tỉ số truyền của cả hệ:

Với k là số cặp bánh răng ăn khớp ngoài.Còn riêng với hệ bánh răng không gian thì k không có nghĩa và chỉ dùng quy ước dấu[8]

1.1.2.2 Phân tích động học cơ cấu bánh răng vi sai

Còn đối với hệ bánh răng vi sai,xét riêng một cặp bánh răng:

LUẬN VĂN THẠC SĨ CHƯƠNG 1

Dấu + ứng với cặp bánh răng ăn khớp trong

Dấu - ứng với cặp bánh răng ăn khớp ngoài

Công thức tổng quát đối với hệ bánh răng vi sai gồm hai cặp là:

Với hệ bánh răng vi sai không gian thì dấu (-1)k cũng không có nghĩa mà xét theo chiều mũi tên qui ước.Đối với công thức trên đặt giả thiết là các vận tốc gốc quay cùng chiều nên khi vận tốc nào đó ngược chiều chuyển động thì mang dấu âm ( ví dụ như - )

Với phương pháp phân tích hệ thống bánh răng được trình bày ở trên,có thể nhận thấy một số ưu điểm như : dễ áp dụng,trực quan, phân tích kết quả cụ thể cho từng hệ bánh răng Tuy nhiên, với sự đa dạng hệ thống bánh răng được sử dụng rộng rãi và phổ biến trong nhiều cơ cấu nên cần một phương pháp mang tính hệ thống, tổng quát để có thể phân tích với độ phức tạp cao Điều đó đòi hỏi sự hỗ trợ về khả năng lập trình trên máy tính Một trong các phương pháp được các nhà nghiên cứu biết đến là lý thuyết Graph- phần nào đáp ứng được các yêu cầu trên

1.2 Ưu điểm của lý thuyết Graph trong việc biểu diễn cơ cấu

Dựa vào khả năng lập trình của máy tính để mô hình hóa cơ cấu,lý thuyết Graph nêu ra ở đây có thể khắc phục được nhược điểm này,lần đầu tiên được ứng dụng để tổng hợp cơ cấu năm 1964 [2].Mỗi khâu trong cơ cấu được biểu diễn bằng một nút và mỗi khớp được thay bằng một cạnh trong họa đồ Graph Khi biểu diễn cơ cấu từ dạng

sơ đồ kết cấu sang họa đồ Graph, tất cả các tính chất, liên kết của cơ cấu đều được giữ nguyên Khi dùng họa đồ Graph để biểu biễn một cơ cấu, có những ưu điểm sau:

1 Nhiều tính chất mang tính liên kết của họa đồ Graph có khả năng ứng dụng Như phương trình Euler biểu diễn mối liên hệ giữa các thành phần kết cấu,đặc tính của cơ cấu

LUẬN VĂN THẠC SĨ CHƯƠNG 1

2 Vì mỗi cơ cấu có tính chất về mặt kết cấu là duy nhất mà những điểm giống và khác nhau giữa hai cơ cấu có thể nhận biết trực quan khi sử dụng họa đồ Graph.Chính

vì vậy mà nó còn được dùng như một phương pháp liệt kê

3 Graph là một công cụ hữu ích trong việc ứng dụng các hỗ trợ từ máy tính khi tổng hợp và phân tích cơ cấu

Họa đồ Graph là tập hợp các đường thẳng,điểm liên kết với nhau theo các quy luật nhằm thể hiện các loại kết cấu bằng một phương pháp mới khác với các cách truyền thống Nó có thể diễn tả các quy luật lắp ráp,chuyển động qua đó hỗ trợ việc phân tích

và tổng hợp cơ cấu [3]

1.3 Tình hình nghiên cứu

Trên thế giới, lí thuyết Graph đã được nghiên cứu và ứng dụng khá nhiều trong lĩnh vực cơ khí,đặc biệt là trong việc tổng hợp,phân tích cơ cấu.[4],[5],[6]

(a) Đề tài luận văn thạc sỹ “Systematic Methodologies for the Automatic

Enumeration of the Topological Structures of Mechanisms“(Hệ thống các phương pháp liệt kê tự động cấu trúc liên kết) của tác giả Hsin I-Hsieh, đại học

Maryland( University of Maryland) trình bày một số thuật toán mới đối với phép liệt kê cấu trúc liên kết của kết cấu Ngoài ra, tác giả còn bổ sung một số định nghĩa về họa đồ Graph đối ngẫu ( bao gồm cả đối ngẫu của họa đồ thu gọn) cũng như mối liên hệ giữa chúng Các thuật toán mà tác giả đề cập đến là phương pháp sử dụng ma trận nút-nút liền kề;thứ hai là rút ra họa đồ chính tắc

từ các họ họa đồ thu gọn bằng cách sắp xếp các chuỗi nút bậc hai.Cuối cùng là thuật toán dùng ma trận nút cạnh liền kề thay cho ma trận nút-nút liền kề.Họa

đồ đối ngẫu của họa đồ chính tắc rút ra từ họa đồ họa đồ đố ngẫu của họa đồ thu gọn Rồi từ họa đồ đối ngẫu đó mới thiết lập nên họa đồ chính tắc Trong phương pháp này, họa đồ đối ngẫu của họa đồ thu gọn đóng vai trò như cơ sở

dữ liệu Ở đây, hàm đa thức đặc trưng được sử dụng để nhận dạng các họa đồ đẳng cấu.Bởi vì chỉ có hai họa đồ rút ra từ cùng một họa đồ thu gọn mới đẳng cấu với nhau nên nếu cần thiết thì xét trong một họ họa đồ thu gọn khi xem xét

LUẬN VĂN THẠC SĨ CHƯƠNG 1

hai họa đồ chính tắc có đẳng cấu hay không Vấn đề tồn tại là hai họa đồ không đẳng cấu lại xuất phát từ các hàm đa thức đặc trưng tương đồng Cho nên phương pháp thứ hai hiệu quả hơn và là công cụ hữu ích cho các nghiên cứu sau này.Nó cho phép thiết lập một atlas bằng cách liệt kê và vẽ tự động họa đồ chính tắc và các họa đồ tương ứng

(b) Đề tài nghiên cứu “Enumeration and Automatic Sketching of Epiccyclic – Type Automatic Transmission Gear Train” (Phương pháp liệt kê và vẽ tự động

hệ truyền động bánh răng vi sai)của tác giả Goutam Chatterjee, đại học

Maryland ( University of Maryland) Tác giả nghiên cứu một thuật toán nhằm xác định hai họa đồ Graph có đẳng cấu hay không.Do một vài phương pháp dựa vào mối liên hệ giữa ma trận liền kề nút-nút và hàm đa thức đặc trưng có tính hiệu quả không cao.Với phương pháp này cho phép người thiết kế có thể tính toán hệ bánh răng vi sai đáp ứng các điều kiện ràng buộc về động học và động lực học,tránh các khâu thừa và đảm bảo khả năng chuyển động của hệ Ý tưởng chính là mã hóa mỗi họa đồ bằng một bộ mã riêng biệt, khi đó có thể dựa vào các bộ mã này mà phân biệt hai họa đồ có đẳng cấu hay không

(c) Tác giả S.N Mogalapalli ứng dụng lí thuyết Graph vào việc tìm tỉ số truyền tối

ưu được trình bày trong luận văn thạc sỹ “Optimization of Gear Ratios for Epicyclic Gear Train Transmission” (Tối ưu hóa tỉ số truyền hệ bánh răng vi

sai) đại học Maryland ( University of Maryland) Nhằm hỗ trợ người thiết kế

và giảm thiểu sự phụ thuộc vào kinh nghiệm, một số nghiên cứu thực tế đã hoàn thành trong vài thập kỷ gần đây dựa trên máy tính nhằm hệ thống hóa việc thiết kế cơ cấu.Luận văn này liên quan đến phân loại hệ thống bánh răng

vi sai có khả năng ứng dụng trong xe hơi Mục tiêu của đề tài là phát triển một phương pháp nhằm thể hiện các đặc tính của hệ bánh răng vi sai; áp dụng kỹ thuật tối ưu nhằm tìm tỉ số truyền tối ưu cho một bộ bánh răng vi sai của xe hơi-đây cũng là một giai đoạn phân tích và thiết kế cơ cấu xe hơi;và phát triển giao diện tương tác dựa trên nền tảng windows dễ dùng nhằm truy cập thông

LUẬN VĂN THẠC SĨ CHƯƠNG 1

tin Hệ thống dựa trên nền tảng window này giúp người thiết kế làm việc hiệu quả và có năng suất

(d) Các tác giả L.C Schmidt, H.Shetty và S.C.Chase trình bày một quy tắc về lí

thuyết Graph ứng dụng tổng hợp cơ cấu trong bài báo “ Một quy tắc lí thuyết

Graph để tổng hợp cơ cấu ”( A graph grammar approach for structure

synthesis of mechanisms)- thuộc tạp chí Journal of Mechanical Design Bài báo này đưa ra một quy tắc chung trong việc tổng hợp cơ cấu Quy tắc này dựa trên thuật toán được rút ra từ các cơ sở lí thuyết có sẵn.Mục đích là thêm vào họa đồ các nút, chu tuyến nhằm thu được một cơ cấu có kết cấu mới thỏa mãn ràng buộc Nó không những đáp ứng được các thuật toán tuyến tính mà còn phát hiện ra được các họa đồ đẳng cấu Nhóm tác giả cũng đưa quy tắc này vào ứng dụng để tổng hợp hệ bánh bánh răng vi sai và đưa ra một tập atlas liệt kê, phân loại các dạng kết cấu theo từng nhóm họa đồ

Các đề tài nghiên cứu trình bày ở trên đã tạo một hướng đi mới trong việc phân tích;tổng hợp cơ cấu và đưa ra các cơ sở để phân loại, liệt kê cũng như nhận dạng các

hệ bánh răng thông qua hàm đa thức đặc trưng Dựa trên cơ sở phân loại đó, các nghiên cứu tiếp sau đó đi sâu vào ứng dụng như sử dụng lí thuyết để mã hóa mỗi hệ bánh răng thành một bộ mã riêng biệt tạo thành một hệ thống phân loại và vẽ tự động Hơn nữa, lý thuyết còn hỗ trợ để tính toán tỉ số truyền tối ưu cho các cặp bánh răng và bước đầu đưa ra các phương hướng nhằm phân tích động học của cả hệ bánh răng

1.4 Nội dung đề tài

Các nghiên cứu đi trước đã chỉ ra nền tảng cơ sở cũng như các thuật toán của lý thuyết đồ thị Graph có thể ứng dụng trong việc phân tích và tổng hợp cơ cấu cũng như phương hướng cụ thể.Ở đề tài này, tác giả dựa trên mô hình lý thuyết Graph để mô tả cơ cấu,xây dựng giải thuật và quy trình tính động học cho hệ thống bánh răng dựa trên các

mô hình Graph đã được xây dựng và lập trình.Cụ thể là chương 2 trình bày cơ sở lý thuyết Graph và quá trình phân tích các hệ bánh răng cần khảo sát.Chương 3 đi vào xây

LUẬN VĂN THẠC SĨ CHƯƠNG 1

dựng chương trình phân tích động học hệ bánh răng vi sai.Chương 4 trình bày việc ứng dụng phần mềm để thực hiện quá trình phân tích

LUẬN VĂN THẠC SĨ CHƯƠNG 2

Chương 2: Phân tích động học cơ cấu bánh răng vi sai bằng lý thuyết Graph

2.1 Mô tả hệ thống bánh răng vi sai bằng lý thuyết Graph

2.1.1 Khái niệm sơ đồ Graph

[3].Sơ đồ Graph là tập hợp các đường thẳng,điểm liên kết với nhau theo các quy luật nhằm thể hiện các loại kết cấu bằng một phương pháp mới khác với các cách truyền thống Nó có thể diễn tả các quy luật lắp ráp,chuyển động qua đó hỗ trợ việc phân tích và tổng hợp cơ cấu Sơ đồ graph bao gồm một tập hợp các nút (hay điểm)

liên kết với một tập hợp các cạnh Thông thường, người ta ký hiệu G là sơ đồ Graph, V

là tập hợp các nút, và E là tập hợp các cạnh Trong đó, v là số nút, e là số cạnh trong một sơ đồ Graph G( v,e)

Mỗi cạnh liên kết với hai nút gọi là điểm cuối i và j,khi đó, cạnh đó sẽ được ký

hiệu là Một cạnh được gọi là gắn liền với một nút nếu nút đó là điểm cuối của cạnh tương ứng.Hai điểm cuối của một cạnh được hiểu là liền kề với nhau Còn hai cạnh gọi

là liền kết với nhau nếu chúng gắn liền với cùng một nút Hai nút được gọi là liên kết với nhau nếu có một đường liên kết giữa chúng Đường liên kết này có thể gồm nhiều nút và cạnh khác nhau Điều đó có nghĩa là hai nút liên kết không nhất thiết phải liền

kề nhau Một sơ đồ Graph G được gọi là liên kết nếu mỗi nút trong G liên kết với các nút khác ít nhất qua một đường liên kết Sơ đồ Graph còn có thể được trình bày ở dạng

ma trận Nhờ đó, người ta có thễ dễ dàng hơn trong việc phân tích,liệt kê cũng như nhận dạng cơ cấu

Dựa trên khái niệm đó, lí thuyết Graph đưa ra các định nghĩa cơ bản được sử dụng như các công cụ để phân tích động học cơ cấu Một trong số đó là các dạng ma trận dùng để biểu diễn sơ đồ Graph: ma trận liền kề nút – nút, ma trận tương quan nút – cạnh, ma trận mạch ; hàm đa thức đặc trưng và các khái niệm về mạch cơ sở…

2.1.1.1 Ma trận liền kề nút – nút (Adjacency matrix vertex-vertex)

LUẬN VĂN THẠC SĨ CHƯƠNG 2

Trong ma trận liền kề nút – nút A, các nút được đánh số từ 1 đến v Khi đó,

Trong đó, aij biểu trưng cho phần tử ở hàng i, cột j với A là ma trận đối xứng vuông

v x v, có đường chéo bằng 0 Mỗi sơ đồ Graph chỉ thiết lập duy nhất một ma trận A

hay nói cách khác từ ma trận liền kề A cho trước có thể lập lại sơ đồ Graph tương ứng Đây cũng là một công cụ để phân biệt các sơ đồ Graph đẳng cấu với nhau hay không

2.1.1.2 Ma trận tương hỗ nút – cạnh ( Incidence matrix vertex-edge)

Các nút được đánh số từ 1 đến v, trong khi các cạnh từ 1 đến e Ma trận tương hỗ nút - cạnh B kích thước v x e ,mỗi hàng tương ứng với một nút và mỗi cột tương ứng

với một cạnh ;được xác định như sau:

So với ma trận liền kề A, ma trận tương hỗ B cũng được xác định duy nhất từ một sơ

đồ Graph cho trước nhưng về mặt cấu trúc nó luôn tồn tại hai phần tử khác 0 trong cùng một cột do mỗi cạnh đều chứa hai điểm nút cuối

Ví dụ như ở hình 2.1, sơ đồ Graph tồn tại 3 cạnh ăn khớp e 25 ,e 35 ,và e 45. Khi lần

lượt thêm các cạnh này vào nhánh cây thì ta có 3 mạch cơ sở (2,5)(1) ; (3,5)(1 ) và

(4,5)(1)

LUẬN VĂN THẠC SĨ CHƯƠNG 2

Hình 2 1.Hệ bánh răng vi sai (5,7) (a) Sơ đồ kết cấu,(b) Sơ đồ Graph

Ví dụ như, đối với hệ bánh răng như hình 2.1 trên bằng cách thiết lập ma trận liền kề nút-nút A,ma trận tương hỗ nút – cạnh B, có thể làm rõ vấn đề:

Ma trận A có thể viết như sau:

LUẬN VĂN THẠC SĨ CHƯƠNG 2

Tất cả cạnh ăn khớp (geared edge) trong một hệ vi sai khi được tách ra khỏi hệ hình thành nên một sơ đồ con (subgraph) hay còn gọi là nhánh cây (tree) Mỗi cạnh ăn khớp đó khi lần lượt thêm vào nhánh cây tạo nên một mạch cơ sở và số mạch cơ sở này bằng với số cạnh ăn khớp trong hệ vi sai Từ đó, các phương trình động học được thành lập nhờ khái niệm về mạch cơ sở

Hình 2 2.Sơ đồ kết cấu (a) và mạch cơ sở (b) của một cặp bánh răng

Lần lượt gọi i và j là một cặp bánh răng, k là tay quay Ba khâu i,j và k tạo thành

một hệ vi sai hay một đơn vị bánh răng được ký hiệu là (i,j)(k) như hình 2.2 và

phương trình mạch cơ sở viết như sau:

( 2 1)

2.1.2 Mô tả hệ thống bánh răng vi sai bằng lý thuyết Graph

Riêng đối với hệ bánh răng vi sai – một trong những đối tượng phổ biến dùng lý thuyết Graph nghiên cứu – các nút biểu diễn cho các bánh răng còn các cạnh biểu diễn cho các khớp Các cạnh được chia làm hai loại: cạnh ăn khớp dùng nét liền đậm biểu diễn sự ăn khớp giữa các bánh răng và cạnh xoay dùng nét liền mảnh biểu diễn cho các trục xoay như hình 2.1 Chỉ khác là về mặt kích thước sơ đồ Graph không biểu diễn cụ thể được; còn đối với cơ cấu bánh răng, sơ đồ Graph không chỉ rõ quy luật ăn khớp ( ăn khớp trong hay ngoài) Do các tính chất trên, việc chuyển các dạng

sơ đồ kết cấu sang sơ đồ Graph không phức tạp nhưng từ một sơ đồ Graph tổng quát

có thể biểu diễn thành nhiều sơ đồ kết cấu khác nhau

LUẬN VĂN THẠC SĨ CHƯƠNG 2

Hệ bánh răng gồm hai loại khớp: khớp quay và bánh răng ăn khớp, tuân theo các quy luật sau:

1 Cơ cấu phải đảm bảo tuân theo phương trình bậc tự do tổng quát; không có một sự cân đối nào nhằm đảm bảo một khả năng truyền động;và các khớp phải là các khớp bậc hai và sơ đồ Graph phải đồng phẳng

2 Trong sơ đồ của hệ bánh răng vi sai, không có mạch nào có bậc tự do bằng không

3 Khả năng xoay của các khâu là không giới hạn

4 Mỗi bánh răng phải có một khớp quay trên trục và mỗi khâu trong một hệ bánh răng phải có ít nhất một khớp quay để đảm bảo khoảng cách tâm cố định giữa các bánh răng

Tuân theo các quy tắc trên, một sơ đồ graph có thể có các tính chất sau đây :

1 Sơ đồ Graph có v nút, (v-1) cạnh khớp quay; và (v-1-F) cạnh ăn khớp với F là số bậc

tự do của hệ bánh răng vi sai

2 Lược bỏ tất cả các cạnh ăn khớp, sẽ thu được sơ đồ con cũng chính là một dạng nhánh cây

3 Bất cứ cạnh bánh răng nào khi thêm vào nhánh cây cũng hình thành nên một mạch cơ

sở có một cạnh ăn khớp và nhiều cạnh khớp quay

4 Số mạch cơ sở bằng với số cạnh ăn khớp

5 Mỗi cạnh khớp quay được đánh số như a,b,c v.v…để xác định vị trí các trục quay trong không gian

6 Các cạnh nét mảnh được đánh số giống nhau tạo nên một nhánh cây

7 Bậc tự do của các mạch ít nhất bằng một; còn mạch cơ sở có bậc tự do bằng số nút trừ hai

8 Mỗi mạch cơ sở đều có một nút gọi là nút chuyển tiếp;sao cho các cạnh nằm về mỗi hai phía của nút này đều được đánh số giống nhau

9 Tất cả các nút đều gắn liền với một cạnh khớp quay

10 Các hệ bánh răng được tập hợp thánh các họ (family) vá được đánh số như sau:

n 2 n 3 n 4 Trong đó, ni là số khâu bậc i Ví dụ như họ 4400 có 4 khâu bậc 2,4 khâu bậc 3

và không có khâu bậc 4

LUẬN VĂN THẠC SĨ CHƯƠNG 2

Như hình 2.3 ở trên là một sơ đồ Graph biểu (6,9) biểu diễn một hệ bánh răng vi sai,

có chứa 4 cạnh ăn khớp e 25 , e 35 , e 36 và e 46 Khi tách 4 cạnh này ra khỏi sơ đồ tạo thành

nhánh cây như hình 2.3c Sau đó lần lượt sắp xếp từng cạnh trở lại vào sơ đồ Graph ban đầu sẽ có 4 mạch cơ sơ tương ứng

Hình 2 3.Hệ bánh răng vi sai (6,9) (a) Sơ đồ kết cấu,(b) Sơ đồ Graph, (c) Nhánh cây,

(d),(e),(f) và (g) các mạch cơ sở tương ứng

2.2 Ứng dụng lý thuyết Graph vào phân tích động học cơ cấu bánh răng vi sai

Từ cơ sở lí thuyết được trình bày ở trên cho thấy từ các sơ đồ nguyên lí ban đầu của cơ cấu bánh răng vốn được biểu diễn theo các cách thường dùng, chúng cũng có thể biểu diễn nhờ các sơ đồ Graph Qua đó giảm bớt được tính phức tạp về mặt kết cấu cũng như tính chất động học nhờ các công cụ toán học được hệ thống hóa Và việc phân tích động học cơ cấu bánh răng sẽ được thực hiện nhờ các công cụ này Quá

LUẬN VĂN THẠC SĨ CHƯƠNG 2

trình này gồm hai phần cơ bản: phân tích cơ cấu ra thành các đơn vị nhỏ hơn và dùng các công cụ toán khảo sát động học các đơn vị đó

Cơ cấu bánh răng vi sai bao gồm nhiều cặp bánh răng ăn khớp phức tạp với nhau

Do đó, các mối liên hệ động học cũng như các ràng buộc khá phức tạp.Chính vì vậy

mà việc đầu tiên là tách cơ cấu này thành các đơn vị cơ bản nhờ vào khái niệm “mạch

cơ sơ” Khái niệm này cho phép phân chia toàn bộ cơ cấu ra thành từng đơn vị một cách rõ ràng về mặt cấu trúc cũng như động học Mỗi đơn vị như vậy tự nó đã thiết lập phương trình động học cơ sở Khi hệ bánh răng được biểu diễn ở dạng sơ đồ Graph, mối liên hệ giữa các đơn vị có tính chất tương tự như xích truyền động, có thể thiết lập các hệ phương trình biểu diễn tương quan giữa các ẩn số cần tìm và các giả thiết đầu vào đặt ra cho một hệ truyền động cụ thể ở đây là cơ cấu bánh răng vi sai Trong quá trình thiết lập các phương trình biểu diễn, các công cụ toán học nêu trên được dùng kết hợp với lí thuyết Graph nhằm tạo điều kiện cho việc xây dựng giải thuật cũng như phần mềm tính toán

LUẬN VĂN THẠC SĨ CHƯƠNG 2

Hình 2 4.Sơ đồ phân tích cơ cấu bánh răng vi sai ứng dụng lý thuyết Graph

2.2.1 Phân tích cơ cấu thành các đơn vị cơ bản

Dựa trên khái niệm “mạch cơ sở”, một hệ bánh răng có thể chia ra thành các đơn

vị nhỏ hơn Mỗi đơn vị này gồm các thành phần cơ bản của hệ bánh răng vi sai : cặp bánh răng ăn khớp nhau và tay quay Trong đó, tùy theo tính chất (ăn khớp trong hoặc ngoài) mà có thể phân ra làm nhiều loại khác nhau Một đơn vị bánh răng xem như một đại diện cơ bản nhất, mang những đặc trưng của hệ bánh răng vi sai Bắt đầu bằng việc mô tả và ứng dụng vào trong việc tính động học các đơn vị cơ bản này bằng

lý thuyết Graph, qua đó áp dụng cho toàn bộ hệ bánh răng

Từ các đơn vị trên cấu thành nên các nhóm động học Số lượng các nhóm động học này tùy thuộc vào kết cấu của chúng cụ thể là số cạnh ăn khớp và số khâu tay quay Mỗi nhóm động học có thể chứa một hoặc nhiều cạnh ăn khớp tùy vào việc các cạnh này có được liên kết chung với nhau qua các khâu tay quay hay không Vì mỗi

LUẬN VĂN THẠC SĨ CHƯƠNG 2

nhóm động học được tạo thành sẽ chứa một khâu tay quay,khâu này sẽ đại diện cho nhóm đó Khi đó, các cạnh ăn khớp và cạnh trục xoay liên kết với khâu đó sẽ tạo thành một nhóm Ví dụ như hình 2.6, hai nhóm động học lần lượt chứa hai khâu tay quay là khâu 1 và khâu 3 cùng với các thành phần liên kết khác

Hình 2 5.Các dạng đơn vị bánh răng vi sai với1,2- Cặp bánh răng, 3-Tay quay

Một hệ thống bánh răng thông thường còn có các bộ ly hợp và bộ thắng nhằm điều chỉnh tỉ số truyền và quyết định trạng thái hoạt động của toàn bộ hệ thống Điều này không làm mất đi tính liên kết giữa các đơn vị trong một cơ cấu Mỗi nhóm động học đều có cổng vào và cổng ra tương ứng Việc thiết lập chuỗi động học sẽ thể hiện quá trình truyền động của cả hệ thống Nếu chuỗi động học hình thành bởi nhiều nhóm động học mắc với nhau thì cổng vào và cổng ra toàn cục được biểu thị qua hệ số

khuếch đại G Hệ số G này là hàm số của các gi thành phần tùy theo sơ đồ bố trí các nhóm động học trong chuỗi đó Mặc dù các cổng đầu vào/ đầu ra được sắp xếp tùy vào người thiết kế nhưng xích truyền động (sơ đồ bố trí các khâu) phải tuân theo các quy luật nhất định chứ không phải ngẫu nhiên Việc này nhằm tránh trường hợp có các khâu thừa (chuỗi truyền động không đi qua khâu này).[11],[12],[13],[14]

2.2.1.1 Khâu trung gian giữa các đơn vị bánh răng (Common linkage)

Thông thường các đơn vị này không tồn tại riêng lẻ trong một tổng thể ( trừ các cơ cấu đơn giản) mà sắp xếp theo quy luật nhất định.Chính vì vậy, giữa các đơn vị này luôn tồn tại các khâu trung gian Chúng có thể là các cạnh trục xoay hoặc các nút và thường chia làm hai loại chính: chuỗi hai khâu ( two-link chain) và chuỗi tam giác đồng trục ( coaxial-triangle chain)

LUẬN VĂN THẠC SĨ CHƯƠNG 2

Hình 2 6.Hệ bánh răng 4 khâu,1 bậc tự do (a)Sơ đồ nguyên lý,(b) Sơ đồ Graph, (c)Các

đơn vị bánh răng sau khi phân tích

Hình 2 7 Hệ bánh răng 6 khâu,2 bậc tự do (a)Sơ đồ nguyên lý,(b) Sơ đồ Graph, (c)Các

đơn vị bánh răng sau khi phân tích

(a) Chuỗi hai khâu: (ở hình 2.6 là chuỗi v 1 - e 13 -v 3) Khâu trung gian này thường xuất hiện trong hệ một bậc tư do Loại khâu trung gian này tạo mối liên kết trực tiếp giữa hai đơn vị , trong đó một đơn vị là khâu vào còn khâu còn lại là khâu đầu ra; thường gồm hai nút và một cạnh

(b) Chuỗi tam giác đồng trục: (ở hình 2.7 chuỗi v 1 - e 13 -v 3 -e 34 -v 4 -e 14) loại khâu trung gian này nằm giữa ba đơn vị bánh răng,hai trong số đó có thể là khâu vào, khâu còn lại là khâu đầu ra hoặc ngược lại Khâu trung gian này gồm ba cạnh và ba nút Khâu trung gian này thường xuất hiện trong hệ hai bậc tư do

LUẬN VĂN THẠC SĨ CHƯƠNG 2

2.2.1.2 Nguyên tắc liên kết giữa các đơn vị bánh răng

Theo lí thuyết Graph, số bậc tự do của cơ cấu bánh răng biểu diễn như sau:

Trong đó, e là số cạnh trục xoay, còn h là số cạnh ăn khớp Trong giới hạn ví dụ này, chọn các cơ cấu có bậc tự do bằng 1 nên F = 1

Một cơ cấu sau khi phân ra thành u nhóm động học, có thể biểu diễn mối quan hệ

giữa số cạnh trục xoay và cạnh ăn khớp như sau :

và cạnh trục xoay tồn tại ở hai nhóm động học khác nhau Ở phương trình (2.7), số

lượng nút chênh lệch tùy thuộc vào số bậc tự do và số nhóm động học u, nếu F =1 thì

số lượng (và cả loại) đơn vị này sẽ quyết định Chính vì vậy,trật tự sắp xếp chúng có ảnh hưởng lớn đến kết cấu của hệ bánh răng

LUẬN VĂN THẠC SĨ CHƯƠNG 2

2.2.1.3 Phân tích các khâu trong cơ cấu

Trong quá trình phân tích, việc phân bố các khâu đầu vào, đầu ra và khâu trung gian cũng như xác định các nhóm đơn vị động học độc lập cũng quyết định đến kết quả phân tích Việc phân tích cấu trúc các nhóm này dựa trên việc xác lập ma trận liền

kề nút – nút và lựa chọn các nhóm mà mỗi nhóm gồm tay quay cùng với cặp bánh răng được mang bởi tay quay đó Một khâu có thể thuộc các nhóm khác nhau cho nên khi xác định thứ tự các nhóm đơn vị có thể biểu diễn được mối liên hệ không chỉ giữa các khâu trong cùng một nhóm mà còn giữa các nhóm khác nhau Việc xác định được trật tự các khâu cũng như phân tích kết cấu trong hệ bánh răng vi sai tuy không thuộc phải mục đích khảo sát chính nhưng nó hỗ trợ cho việc thành lập và lựa chọn chuỗi truyền động phù hợp để thiết lập các phương trình động học cho cơ cấu

Việc phân tích cơ cấu bánh răng vi sai thường dựa vào số bậc tự do,mà số bậc tự

do bằng với số khâu đầu vào nhưng lại không kể đến khâu đầu ra Do vậy tổng số các

khâu trong cơ cấu- ký hiệu là M viết như sau:

Lý thuyết được khảo sát trên việc mỗi cơ cấu có một khâu cơ sở, P só khâu đầu ra, F

là số bậc tự do

Ở đây sử dụng cơ cấu bánh răng 2210-1 để mô tả cụ thể cho các khái niệm sau:

(a) Nút giới hạn/khâu giới hạn (end vertex)

Khâu giới hạn là khâu nằm trên một chuỗi đi qua các cạnh ăn khớp, nằm ở giới hạn cuối của chuỗi đó ( nút bậc 2) và không thuộc khâu trung gian của bất kỳ nhóm động học nào

LUẬN VĂN THẠC SĨ CHƯƠNG 2

Hình 2 8 Hệ bánh răng 2210-1 (a)Sơ đồ nguyên lý,(b) Sơ đồ Graph, (c)Các nhóm động

học bánh răng sau khi phân tích

Như hình 2.8 biểu diễn cơ cấu bánh răng 5 khâu,1 bậc tự do : cả 5 khâu đều nằm trên giới hạn cuối của chuỗi cạnh ăn khớp tuy nhiên các khâu 1,2 và 3 lại thuộc khâu trung gian nên chỉ còn lại hai khâu 4 và 5 là khâu giới hạn

(b) Khâu cơ sở (Ground link )

Một khâu được chọn làm khâu cơ sở nếu số cạnh trục xoay gắn liền với nó nhiều hơn hoặc bằng số bậc tự do của cơ cấu

Khâu này phải thỏa điều kiện sao cho số khâu giới hạn còn lại không được chọn

làm khâu cơ sở nhỏ hơn hoặc bằng (M-1)

Theo đó, các khâu 2,3,4 và 5 đều có thể chọn làm khâu cơ sở Do tính đối xứng, các khâu 2 và 3; 4 và 5 có tính chất tương đương nhau nên ở đây chỉ chọn khâu 2 ,5 (c) Khâu đầu vào ( Input link)

Một khâu được chọn làm khâu đầu vào nếu nó liền kề với khâu cơ sở qua một cạnh trục xoay Nếu có nhiều hơn một khâu đầu vào thì cặp cơ cấu dẫn động phải nằm

ở hai đơn vị bánh răng khác nhau.Hơn nữa, số khâu giới hạn còn lại không lớn hơn P

Theo đó, có thể có các sự lựa chọn sau:

 Khâu 2 là khâu cơ sở: khi đó, các khâu 1 và 5 đều liên kết với khâu 2 bằng một cạnh trục xoay Nhưng chỉ có khâu 5 thỏa điều kiện nêu trên Vì nếu chọn khâu 1 làm khâu đầu vào sẽ còn lại 2 khâu giới hạn là khâu 5 và khâu 4; số khâu giới hạn lớn hơn số

khâu đầu ra (P = 1)

 Khâu 5 là khâu cơ sở: thì chỉ có một khả năng là khâu 2 chọn làm khâu đầu vào Khi đó, có thể biểu diễn việc bố trí các khâu cơ sở và khâu đầu vào như sau:

LUẬN VĂN THẠC SĨ CHƯƠNG 2

[G; I] = [2;5] và [5;2]

(d) Khâu đầu ra (Output link)

Các khâu giới hạn không phải là khâu đầu vào chính là các khâu đầu ra Nếu tất cả các khâu giới hạn này đều là khâu đầu vào thì một khâu bất kỳ trong số các khâu còn lại chính là khâu đầu ra

Việc phân bố các khâu phải thỏa điều kiện sao cho một nhóm động học đều có ít nhất một khâu đầu vào, đầu ra và khâu cơ sở Vì cơ cấu chỉ có hai khâu giới hạn mà một khâu đã được chọn nên còn lại một khâu giới hạn là khâu 4 cho nên khâu đầu ra là khâu 4

Vậy cơ cấu 2210-7 có hai khả năng bố trí các khâu cơ sở, khâu đầu vào và khâu đầu ra thỏa các điều kiện ràng buộc của lí thuyết Graph là : [G; I; O] = [2;5;4] và [5;2;4]

2.2.1.4 Chuỗi động học ( Kinematic propagation path )

Chuỗi động học đại diện cho toàn bộ cơ cấu bánh răng cần khảo sát Nó thể hiện khả năng truyền động và tính liên kết giữa các đơn vị bánh răng trong cơ cấu, liên kết giữa các khâu trong một đơn vị bánh răng Tính chất động học cũng hiển thị rất rõ thông qua chuỗi động học này Trong mỗi nhóm động học bánh răng tồn tại ít nhất một mạch cơ sở mà số mạch cơ sở bằng với số cạnh ăn khớp nên số lượng nhóm động học tối đa có thể có trong một cơ cấu bánh răng tùy vào số cạnh ăn khớp; và tối thiểu bằng 1 ( nếu một cơ cấu ở dạng đơn giản không thể tách ra thành các đơn vị thành phần thì xem cơ cấu đó chính là một nhóm động học)

Vì mỗi nhóm động học có tính độc lập tương đối, số bậc tự do của mỗi nhóm động học bằng một, bằng với số khâu đầu vào của chính nó( khâu đầu vào cục bộ) Tương

tự ,số khâu đầu vào của cơ cấu (hay còn gọi là khâu đầu vào toàn cục) bằng với số bậc tự do tương ứng của cả cơ cấu Chính vì vậy mà tùy vào cách sắp xếp chuỗi động học mà có cách phân bố khâu đầu vào toàn cục hợp lý (nếu có sự bất hợp lý giữa việc

bố trí khâu đầu vào toàn cục và trật tự chuỗi động học thì cơ cấu đó có thể bị loại trừ); mặc dù việc bố trí các khâu đầu vào này tùy theo muc đích người thiết kế Một nhóm động học có nhiều hay ít khâu đầu ra cục bộ tùy vào theo sau nó có bao nhiêu nhóm