Về bổ đề corput và tích phân dao động

Chương một là Biến đổi Fourier, đưa ra định nghĩa, các tính chất cơ bản và Biến đổi Fourier trong các không gian L1, L2 và không gian Schwartz,cùng các ví dụ và hình ảnh minh họa.. Vì vậ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:PGS.TS NGUYỄN MINH TUẤN

HÀ NỘI−2016

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn người đã tận tình hướng dẫn

để em có thể hoàn thành khóa luận này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáotrong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học QuốcGia Hà Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trìnhhọc tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp

Hà Nội, tháng 08 năm 2016

Học viên

Hoàng Thu Hằng

Mục lục

Lời nói đầu 2

1 Biến đổi Fourier 3 1.1 Biến đổi Fourier trên không gian L1(R) 3

1.1.1 Định nghĩa và các ví dụ 3

1.1.2 Tính chất cơ bản của biến đổi Fourier 9

1.2 Biến đổi Fourier trên không gian L1(Rn) 14

1.3 Biến đổi Fourier trên không gian Schwartz 18

1.4 Biến đổi Fourier trong không gian L2(Rn) 20

2 Bổ đề Van der Corput 22 2.1 Một số ước lượng thô cho tích phân dao động 22

2.2 Ước lượng tập mức dưới 28

2.3 Bổ đề Van de Corput 33

Kết luận 42

Tài liệu tham khảo 43

LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết dao động tích phân là nguồn gốc quan trọng của hàm điều hòagiải tích Phần giới thiệu của biến đổi Fourier là nguồn gốc và có lẽ là ví

dụ tốt nhất của dao động tích phân, dẫn đến việc xem xét kĩ hơn về cácdao động tích phân tổng quát Công trình này được thực hiện chủ yếu bởiFourier, Airy, Stokes, Lipschitz và Riemann vào thế kỷ 19 và nó được thựchiện để hiểu được hành vi của Biến đổi Fourier Các đối tượng này đã đượclàm rõ vào đầu thế kỉ 20 khi J.G van der Corput chứng minh bổ đề nổi tiếngcủa mình Ông đã quan tâm đến các ứng dụng trong lý thuyết số, đặc biệt làtrong những bài toán về ràng buộc hàm số mũ Gần đây, trọng tâm đã đượcthay đổi để các toán tử có dạng của tích phân dao động Việc sử dụng biếnđổi Fourier trong tích phân điều hòa là tự nhiên và phổ biến

Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, phần kết luận và danhmục tài liệu tham khảo

Chương một là Biến đổi Fourier, đưa ra định nghĩa, các tính chất cơ bản

và Biến đổi Fourier trong các không gian L1, L2 và không gian Schwartz,cùng các ví dụ và hình ảnh minh họa

Chương hai đề cập tới định lý tập mức dưới từ đó đưa đến bổ đề Van deCorput

Nội dung chính của luận văn là chi tiết hóa Chương 1 trong luận án củatác giả K M Rogers [3]

Hà Nội, tháng 8 năm 2016Hoàng Thu Hằng

Chương 1

Biến đổi Fourier

Trong chương này, luận văn trình bày các khái niệm, ví dụ và các tínhchất cơ bản của phép biến đổi Fourier Tham khảo chính trong các tài liệu[1], [2] và [4]

1.1.1 Định nghĩa và các ví dụ

Định nghĩa 1.1.1 Biến đổi Fourier của f (x) được ký hiệu bởi

F {f (x)} = F (k), k ∈ R, được xác định bởi tích phân

Vì vậy, đối với các hàm khả tích tuyệt đối thì ta mới có định nghĩa về biếnđổi Fourier Hạn chế này là rất mạnh đối với nhiều ứng dụng vật lý Nhiềuhàm đơn giản và phổ biến như là hàm hằng, hàm lượng giác sin ax, cos ax,hàm mũ và xnH(x) không có biến đổi Fourier mặc dù chúng thường xuyênxuất hiện trong các ứng dụng Tích phân (1.1) không hội tụ khi f (x) là mộttrong những dạng trên Đây chính là hạn chế của lý thuyết biến đổi Fourier.Định nghĩa 1.1.2 Biến đổi Fourier ngược ký hiệu bởi F−1{F (k)} = f (x)được xác định là

Ta thấy cả F và F−1 là toán tử tích phân tuyến tính Trong toán ứngdụng, x thường được biểu diễn là một biến không gian và k = (2πλ ) là mộtbiến bước sóng, trong đó λ là bước sóng Tuy nhiên, trong kỹ thuật điện, xđược thay thế bằng biến thời gian t và k được thay thế bởi tần số w = 2πν,trong đó ν là tần số trong chu kỳ mỗi giây Hàm F (w) = F {f (t)} được gọi làphổ của hàm tín hiệu theo thời gian f (t) Trong lý luận kỹ thuật điện, biếnđổi Fourier được định nghĩa theo cách sau

trong đó w = 2πν được gọi là tần số góc

Sau đây chúng ta sẽ đi xét một số ví dụ về biến đổi Fourier

Ví dụ 1.1.1 Tìm biến đổi Fourier của exp(−ax2)

Ta chứng minh

F (k) = F {exp(−ax2)} = √1

2aexp(−

k24a), a > 0. (1.5)Bằng định nghĩa ta có

= √12π exp(−

k24a)

Z ∞

−∞

e−ay2dy,Đặt I =R−∞∞ e−ay2dy, suy ra

I2 =

Z 2π 0

Z ∞ 0

e−a(r2cos2θ+r2sin2θ)rdr

dθ

=

Z 2π 0

Z ∞ 0

e−ar2rdr

dθ

=

Z 2π 0



− 12ae

−r 2

∞ 0

dθ

=

Z 2π 0

12adθ

= 12aθ

2π 0

= π

a.Suy ra I = pπ

Nếu a = 12

F {e−x2/2} = e−k2/2 (1.6)Điều này chỉ ra rằng F {f (x)} = f (k) Đồ thị của hàm f (x) = exp(−ax2) vàbiến đổi Fourier của nó ứng với a = 1 được minh họa bằng Hình 2.1

π · a(a2+ k2), a > 0. (1.7)Theo định nghĩa

Z ∞ 0

1

a(a2+ k2).

Ta chú ý rằng f (x) = exp(−a|x|) giảm nhanh về 0 và không khả vi tại x = 0

Đồ thị của f (x) = exp(−a|x|) và biểu diễn Fourier của nó ứng với a = 1 đượcminh họa bằng Hình 2.2

Ví dụ 1.1.3 Tìm biến đổi Fourier của



1 − |x|

a

, a 6= 0, (1.8)

= √22π

Z a 0



1 − xa

cos(kx)dx

= √2a2π

Z 1 0

(1 − x) cos(akx)dx

= √2a2π

Z 1 0

(1 − x) d

dx

 sin akxak



dx, (k 6= 0, a 6= 0)

= √2a2π

Z 1 0

sin(akx)

ak dx

= √a2π

Z 1 0

ddx

"

sin2(akx2 )(ak2 )2

#dx

= √a2π

sin2 ak2

ak 2

Z a

−a

e−ikxdx =

r2π

 sin(ak)k



Đồ thị của hàm f (x) = χ[−a,a](x) và biến đổi Fourier của nó ứng với a = 1

Hình 1.3: Đồ thị của hàm f (x) = χ[−a,a](x) và F (k) với a = 1

1.1.2 Tính chất cơ bản của biến đổi Fourier

, a 6= 0(c) (Liên hợp) F {f (−x)} = F {f (x)},

(d) (Tịnh tiến) F {eiaxf (x)} = F (k − a),

(e) (Đối ngẫu) F {F (x)} = f (−k),

e−ikξf (ξ)dξ,

=e−ika√1

2π

Z ∞ 0

Z ∞

−∞

e−ikxa f (x)dx

= 1

|a|F

 k

a .(c) Ta có

Z ∞

−∞

eiktf (t)dt, (−x = t)

= √12π

Z ∞

−∞

e−ikxf (x)dx

= √12π

Đổi thứ tự của x và k đồng thời thay k bởi −k, ta có

(i) F (k) bị chặn trên khoảng (−∞, +∞),

(ii) F (k) liên tục trên khoảng (−∞, +∞)

Z

−∞

|e−ihx − 1||f (x)|dx = 0

Điều này chứng tỏ F (k) là hàm liên tục Mệnh đề được chứng minh

Định lý 1.1.3 (Bổ đề Rieman - Lebesgue) Nếu F (k) = F {f (x)} thì

lim

|k|→∞|F (k)| = 0 (1.13)Chứng minh Từ e−ikx = −e−ikx−iπ ta có

1

√2π

Khi đó

|F (k)| ≤ 1

2√2π

∞

Z

−∞

f (x) − fx − π

k

 dx

ga(x) =

Z

Rn

ˆ

f (ξ)e−a|ξ|2eix.ξdξ,

khi a → 0 Mặt khác, từ ˆf ∈ L1(Rn), định lý hội tụ trội Lebesgue cũng chỉ

2π

n2 Z

Rn

g(ξ)eix.ξdξ

Thực vậy, với nhận xét trên và mệnh đề 0.6 ta có f = F−1F f với mọi

f, ˆf ∈ L1(Rn)

Hệ quả 1.2.1 Cho f1, f2 ∈ L1

(Rn) và giả sử rằng ˆf1 = ˆf2 với mọi ξ ∈ Rn.Khi đó ta có f1(x) = f2(x) với mọi x ∈ Rn

Ta đã nghiên cứu thấy rằng biến đổi Fourier tương tác tốt đối với các hàmtrơn có giá compact; thực vậy, nếu f ∈ CC∞(Rn) thì ˆf cũng trơn và phân rãnhanh hơn bất kỳ bậc đa thức nào tại vô cùng Hơn thế nữa, với một tínhtoán đơn giản có thể chỉ ra các đạo hàm của ˆf phân rã nhanh hơn bất kỳbậc đa thức tại vô cùng Một nhược điểm của lớp này đó là không đóng dướitác động của biến đổi Fourier Tức là, một hàm có giá compact thì biến đổiFourier của nó không bao giờ có giá compact và đây chính là một cách diễn

tả của nguyên lý bất định: Nếu f, ˆf đều có giá compact thì hàm f phải đồngnhất bằng không Hay nói cách khác, không thể xảy ra trường hợp cả hàm số

và biến đổi Fourier của nó đều địa phương tốt trong không gian (thời gian)

Nói cách khác, các hàm Schwartz là các hàm trơn mà đạo hàm riêng mọicấp phân rã nhanh hơn bất kỳ bậc đa thức nào tại vô cùng Dĩ nhiên, mọihàm trong lớp CC∞(Rn) đều là một hàm Schwartz tầm thường vì đạo hàm

mọi cấp của nó đồng nhất triệt tiêu tại vô cùng.

Xét ví dụ hàm Schwartz là hàm Gauss φ : Rn → C sao cho

φ(x) = e−δ|x|2, δ > 0

Không gian S(Rn) trù mật trong mọi không gian Lp(Rn) với 1 ≤ p < ∞

Có một thực tế hơi khó chịu về không gian các hàm Schwartz S(Rn) là

nó không phải một không gian Banach khi tôpô của nó không cảm sinh bởimột chuẩn duy nhất mà do một họ đếm được các bán chuẩn Ví dụ, ta cóthể định nghĩa với số nguyên không âm N :

Một metric có thể được dễ dàng xác định như

Bổ đề 1.3.1 Cho không gian Banach (X, k · kX)

(i) Toán tử tuyến tính T : S(Rn) → X liên tục khi và chỉ khi tồn tại N ≥ 0

và C > 0 sao cho

k T (φ) kX≤ CpN(φ),với mọi φ ∈ S(Rn)

(ii) Giả sử T : S(Rn) → S(Rn) là một toán tử tuyến tính Khi đó T liêntục nếu và chỉ nếu với mỗi N > 0 tồn tại N0 > 0 và C > 0 sao cho

pN(T (φ)) ≤ CpN0(φ),với mọi φ ∈ S(Rn)

Với các khái niệm và định nghĩa đã được hiểu để nghiên cứu sự tác độngcủa biến đổi Fourier trên lớp Schwartz S(Rn) Quan sát đơn giản đầu tiên

là ˆf ∈ S(Rn) bất cứ khi nào f ∈ S(Rn) Ta có thể dễ dàng chứng minhbằng cách dùng công thức giao hoán cho biến đổi Fourier, các đạo hàm vàphép nhân đơn thức Hơn nữa, có thể kiểm tra biến đối Fourier F là lênS(Rn

), tức với f ∈ S(Rn) thì tồn tại g ∈ S(Rn) sao cho f = ˆg Thật vậy,nếu f ∈ S(Rn) thì ˆf ∈ S(Rn) ⊂ L1(Rn) nên từ công thức đảo ta được

f = F−1F f = F−1f = F (ˆ f ), với ˜ˆ h(x) = h(−x) Kết hợp các điều trên tađược:

Định lý 1.3.1 Biến đổi Fourier là một đồng phôi của S(Rn) lên chính nó.Toán tử

Định nghĩa về biến đổi Fourier trên L2(Rn) không có ngay lập tức do tíchphân

 12π

n2 Z

Rn

f (x)e−ixξdx

không có nghĩa nếu f chỉ là một hàm L2 Thay vào đó, chúng ta có thể tiếnhành chứng minh sự tồn tại và liên tục của biến đổi Fourier trên một tập contrù mật nào đó của L2 như lớp S(Rn) ∩ L2(Rn).

Mệnh đề 1.4.1 (Công thức nhân) Cho f, g ∈ L1(Rn) ∩ L2(Rn) Khi đó

k ˆf kL2 (R n )=k f kL2 (R n )

với mọi f ∈ L1(Rn) ∩ L2(Rn) Từ đó, các lớp hàm trù mật trong L2(Rn) vàhạn chế của F trên S là liên tục, biến đổi Fourier trở thành toán tử tuyếntính bị chặn F : L2(Rn) → L2(Rn) Thật vậy, đẳng thức Parseval tiến tớitoán tử mới mà ta gọi là F và chỉ ra rằng biến đổi Fourier là một toán tửđồng nhất trên L2(Rn) Một cách dễ dàng để đưa ra công thức cho biến đổiFourier trên L2(Rn) dưới đây:

Bổ đề 1.4.1 Giả sử f ∈ L2(Rn) Công thức dưới đây là xác định

Chương 2

Bổ đề Van der Corput

Mục đích chính của phần này là đưa ra ước lượng mạnh cho trường hợpđặc biệt của tích phân dao động dưới dạng

Z b a

eif (x)dx

≤ Cn n

λ1/n, (2.1)trong đó λ là hằng số thỏa mãn |f(n)(x)| ≥ λ với mọi x ∈ [a, b] Vấn đề nàyđược tham khảo trong tài liệu [2] và [3]

Trước khi chứng minh Định lí chính, ta đưa ra một số ước lượng thô chocác hàm khả vi cấp 1 và cấp 2

động

Mệnh đề 2.1.1 Giả sử φ ∈ C2(R) thỏa mãn φ0 là hàm tăng và φ0(x) 6= 0

∀x ∈ [a, b] Khi đó ta có ước lượng dưới đây

... với lý thuyết dao? ?ộng tích phân, ta cần lưu ý trường hợp biến đổi fourier hàm pha

φξ(x) = −xξ ψ(x) = f (x) Như vậy, trọng tâm ta thảo luận

về dao động tích phân theo pha... data-page="24">

Chương 2

Bổ đề Van der Corput< /h2>

Mục đích phần đưa ước lượng mạnh cho trường hợpđặc biệt tích phân dao động dạng

Z b a... CC∞(Rn) ˆf trơn phân rãnhanh bậc đa thức vô Hơn nữa, với tínhtốn đơn giản đạo hàm ˆf phân rã nhanh bất kỳbậc đa thức vô Một nhược điểm lớp khơng đóng dướitác động biến đổi Fourier Tức