Một số kết quả về tích phân dao động với hàm pha là đa thức

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNNGUYỄN HƯƠNG LIÊN MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ TÍCH PHÂN DAO ĐỘNG VỚI HÀM PHA LÀ ĐA THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCChuyên Ngành: Toán Giải Tích

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN HƯƠNG LIÊN

MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ TÍCH PHÂN DAO ĐỘNG

VỚI HÀM PHA LÀ ĐA THỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCChuyên Ngành: Toán Giải Tích

Mã số: 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học: TS Vũ Nhật Huy

Hà Nội - 2017

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN HƯƠNG LIÊN

MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ TÍCH PHÂN DAO ĐỘNG

VỚI HÀM PHA LÀ ĐA THỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCChuyên Ngành: Toán Giải Tích

Mã số: 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học: TS Vũ Nhật Huy

Hà Nội - 2017

Mục lục

1.1 Tích Phân Lebésgue 61.1.1 Vành, σ - đại số và độ đo 61.1.2 Không gian đo được, ánh xạ đo được, hàm đo được 71.1.3 Tích phân Lebésgue 81.2 Không Gian Các Hàm Giảm Nhanh S (Rn) 111.3 Phép Biến Đổi Fourier 121.3.1 Phép biến đổi Fourier trong không gian các hàm giảm

nhanh S (Rn) 121.3.2 Biến đổi Fourier trong không gian L1(Rn) 18

2.1 Ước lượng tập mức dưới 202.2 Bổ Đề vander Corput 212.3 Đánh giá tích phân dao động thông qua các không điểm của đạo

hàm của hàm pha 25

3.1 Chuẩn của toán tử dao động khi j < n/2 293.2 Chuẩn của toán tử dao động khi j > n/2 363.3 Chuẩn của toán tử dao động khi j = n/2 39

Lời cám ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin gửi lời cảm ơn chânthành và sâu sắc nhất của mình tới TS Vũ Nhật Huy, vì sự giúp đỡ, chỉ bảo tậntình, cùng những lời động viên vô cùng ý nghĩa của Thầy trong suốt quá trình tôihoàn thành luận văn tốt nghiệp

Tôi cũng xin chân thành cám ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo trong khoaToán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội

và Khoa Sau đại học, đã nhiệt tình truyền thụ kiến thức và tạo điều kiện giúp đỡ tôihoàn thành khóa Cao học

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã luôn động viên, khuyến khích, giúp

đỡ tôi rất nhiều trong suốt thời gian nghiên cứu và học tập

Do mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học và còn hạn chế về thời gianthực hiện nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót Tác giả kính mongnhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiệnhơn

Hà Nội, tháng 3 năm 2017

Nguyễn Hương Liên

Mở đầu

Tích phân dao động đã thu hút nhiều sự quan tâm của các nhà Toán học và cácnhà Vật lý từ khi xuất hiện công trình Théorie Analytique de la Chaleur của JosephFourier vào năm 1822 Nhiều bài toán Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, hìnhhọc đại số, lý thuyết xác suất, lý thuyết số; các bài toán về quang học, âm học, cơhọc lượng tử, đều có thể đưa về việc nghiên cứu các tích phân dao động Mặc dùbài toán này đã có từ lâu, nhưng do phạm vi ứng dụng rộng lớn của nó, nên đến nayvẫn có nhiều nhà Toán học quan tâm nghiên cứu nó và đã thu được nhiều kết quảquan trọng

Trong phạm vi của luận văn này, chúng tôi dành phần lớn cho việc nghiên cứu chuẩncủa toán tử dao động Tλ trong đó

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm bachương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày những kiến thức cơbản về tích phân Lebésgue, tích phân Fourier trong không gian các hàm giảm nhanh

S (Rn) làm cơ sở để xây dựng nội dung chương tiếp theo

Chương 2: Ước lượng tích phân dao động Chương này trình bày về việcđánh giá tập mức dưới qua đó chứng minh bổ đề vander Corput và phương pháp

đánh giá tích phân dao động thông qua các không điểm của đạo hàm của hàm pha.Chương 3: Đánh giá chuẩn của toán tử dao động Chương này trình bày

về chuẩn của toán tử dao động từ không gian L2(R) vào L2(R)

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, luận văn trình bày các khái niệm, tính chất cơ bản và một sốđịnh lý quan trọng trong lý thuyết về tích phân Lebésgue và phép biến đổi Fourier.Nội dung chương này được tham khảo chính trong các tài liệu [1], [2] và [3]

1.1.1 Vành, σ - đại số và độ đo

Định nghĩa 1.1 Cho X là một tập bất kỳ Một họ A các tập con của X được gọi

là một σ - đại số nếu nó thỏa mãn 3 điều kiện sau:

Định nghĩa 1.2 Một họ C các tập con của X được gọi là một vành trên X nếu nóthỏa mãn các điều kiện sau:

(a) C kín đối với phép hợp hữu hạn, tức là nếu Ai∈ C(i ∈ R∗) thì

n

S

i=1

Ai ∈ C;(b) Nếu A, B ∈ C thì A/B ∈ C

Ngoài ra, nếu X ∈ C thì ta nói rằng C là vành có đơn vị hay đại số

Kí hiệu R=R∪ {±∞}

Định nghĩa 1.3 Cho A là một σ - đại số trên X Ánh xạ µ : A −→R được gọi là

một độ đo nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

(c) µ không đồng nhất bằng +∞ trên A , tức là tồn tại A ∈ A sao cho µ(A) < +∞.

Chú ý: Thay choσ - đại sốA ta có thể lấy vành C và định nghĩa độ đo hoàn toàntương tự, trừ điều kiện (b) ta phải giả thiết thêm rằng

Một độ đo µ trên vành C được gọi là hữu hạn nếu với mọi A ∈ A, µ(A) < +∞

Độ đoµđược gọi làσ - hữu hạn nếu với mọiA ∈ Ctồn tại các tập An ∈ C(n = 1, 2, )

sao cho A ⊂ S

n

An và µ(An) < ∞

1.1.2 Không gian đo được, ánh xạ đo được, hàm đo được

Một tập hợp X cùng với một σ - đại số A trên X được gọi là một không gian đođược, kí hiệu là (X, A) Nếu trên A xác định một độ đo µ thì ta có một không gian

đo (X, A, µ)

Cho (X, χ) và (Y, Υ) là hai không gian đo, ánh xạ f : X → Y

Định nghĩa 1.4 Ánh xạ f được gọi là (χ, Υ) đo được nếu với mọi B ∈ Υ có

f−1(B) ∈ χ Tức là nghịch ảnh của tập đo được là một tập đo được (trường hợp này

ta viết f−1(Υ) ⊂ χ)

Cho không gian đo(X, χ) và hàm f : X →R được gọi là hàm thực đo được nếu

nó là (χ, B) đo được, trong đó B là σ - đại số Borel trên R

Định lý 1.1 Các điều kiện sau là tương đương:

Tương tự, {x ∈ x, f (x) = −∞} = T

n∈N

{f (x) ≥ n}c ∈ χ Vậy f−1({±∞}) ∈ χ

Do đó các điều kiện trên tương đương nhau

Định nghĩa 1.5 Hàm f gọi là hàm đơn giản nếu tồn tại hữu hạn các tập rời nhau

1)Tích phân của hàm đơn giản

Lớp các hàm đơn giản trên (Ω, A) được kí hiệu S := S(Ω, A)

Xét một lớp con của S gồm các hàm không âm S+:= {f ∈ S : f ≥ 0}

Định nghĩa 1.6 Cho f ∈ S+ có biểu diễn f = P

αiµ(Ai) là tích phân của hàm f theo độ đo µ

2)Tích phân của hàm đo được không âm

Trước hết ta định nghĩa tích phân cho hàm đo được không âm, sau đó ta có thểđịnh nghĩa của hàm đo được bất kỳ bằng hiệu của hai tích phân trên từng thànhphần của nó

Kí hiệu L+= L+(Ω, A) là lớp các hàm đo được không âm

Định nghĩa 1.7 Cho hàm f ∈ L+ Tích phân của hàm f theo độ đo µ được địnhnghĩa như sau:

3)Tích phân của hàm đo được bất kỳ

Với mọi hàm f đo được ta có f = f+− f− trong đó

f+ := max(f, 0) và f− := max(−f, 0)

Ta có định nghĩa tích phân của hàm đo được bất kì như sau:

Định nghĩa 1.8 1 Nếu ít nhất một trong hai giá trị

X

f+dµ và

X

f−dµ hữu hạn thìđại lượng

3 Nếu Ω =Rd, A = B(Rd) và µ = λd ta gọi tích phân được định nghĩa như trên là tíchphân Lebésgue

Định lý 1.2 (Beppo - Levi về sự hội tụ đơn điệu) Giả sử fn là dãy hàm đo đượckhông âm, hội tụ đơn điệu tăng đến hàm f Khi đó ta có: lim

k fn+k, ta có gn ≥ 0 và đơn điệu tăng đến limfn.

Theo định lý Beppo - Levi ta có: limR

Chứng minh Từ hệ thức |f n | ≤ g với mọi n, cho n → ∞, ta được |f n | ≤ g(h.k.n).

Từ đó suy ra f - khả tích

Theo giả thiết limnfn = f (h.k.n) hay

lim |fn− f | = lim |fn− f | = lim |fn− f |(h.k.n).

Và |f n − f | ≤ 2g(h.k.n) với 2g ∈ L1 Áp dụng định lý Fatou - Lebésgue, ta có:

Định nghĩa 1.9 Không gian S (Rn ) là tập hợp

Điều này dẫn đến hàm ϕ (x) là hàm giảm về 0 khi kxk → ∞ nhanh hơn bất kỳ hàm

có dạng như sau 1/P (x) , x ∈Rn Vì vậy, chúng ta gọi S (Rn) là không gian các hàmgiảm nhanh

Ví dụ 1.1 Không gian C0∞(Rn) là không gian con của không gian các hàm giảmnhanh S (Rn )

Chứng minh Xét hàm ϕ ∈ C0∞(Rn)

Khi đó, ta đặt

suppϕ = K, Klà tập compact trong Rn.

Với mọi x / ∈ K, suy ra

Ví dụ 1.2 Cho hàm số ϕ (x) = e−kxk , x ∈ Rn Khi đó ϕ là hàm số thuộc khônggian các hàm giảm nhanh S (Rn ).

Chứng minh Theo giả thiết, ta có kxk2 = x21+ x22+ + x2n nên

do đó dẫn đến ϕ là hàm thuộc vào không gian các hàm giảm nhanh S(Rn )

Chứng minh được hoàn thành

Đối tượng chính của chúng ta nghiên cứu trong phần này, sẽ là phép biến đổiFourier của những hàm thuộc không gian các hàm giảm nhanh S (Rn )

1.3.1 Phép biến đổi Fourier trong không gian các hàm giảm nhanh

Định nghĩa 1.11 Biến đổi Fourier ngược của hàm f ∈ S (Rn) là hàm được xácđịnh bởi

hội tụ tuyệt đối và đều theo ξ trong Rn và mọi α ∈Zn+ Vì

e−ihx,ξixαϕ (x)

≤ |x|α|ϕ (x)| ∀ϕ ∈ S (Rn)

e−ihx,ξi(−iDx)β (−ix)αϕ (x)
dx,

Như vậy, với mỗi α, β ∈Zn+, có

Đối với phép biến đổi Fourier ngược F−1 ta chứng minh tương tự.

Chứng minh được hoàn thành

Như vậy, phép biến đổi Fourier F là một đẳng cấu tuyến tính, tự liên hợp, đẳng

cự trên không gian các hàm giảm nhanh S (Rn) với không gian metric L2(Rn).Mệnh đề được chứng minh

Dưới đây ta sẽ trình bày một số tính chất khác của phép biến đổi Fourier, trongkhông gian các hàm giảm nhanh S (Rn)

Mệnh đề 1.2 Cho hàm ϕ ∈ S (Rn) Khi đó

i) F ϕ (ξ − h) = F e ihh,xi ϕ (x)
(ξ) , ξ, h ∈Rn.

ii) F (ϕ (x − h)) (ξ) = e−ihh,ξiF ϕ (ξ) , ξ, h ∈Rn

iii) F (ϕ (tx)) (ξ) = t−nF ϕ (ξ/t) , t 6= 0, ξ ∈Rn

Chứng minh i) Từ định nghĩa của phép biến đổi Fourier, ta có

1.3.2 Biến đổi Fourier trong không gian L1(Rn)

Định nghĩa 1.12 Cho hàm f ∈ L1(Rn) Ảnh Fourier của hàm f ký hiệu là bf (ξ)

hay F (f ) (ξ), là hàm được xác định bởi

Mệnh đề 1.3 Biến đổi Fourier của một hàm khả tích tuyệt đối (trên toàn trục số)

là một hàm bị chặn (trên toàn trục số) và ngoài ra

f (y)b

d dx



1

φ 0 (x)



b

Z

a

d dx

1

φ0(a) − 1

φ0(b)

bị chặn dưới trên đạo hàm của φ trên [a,b] Do đó k = 1 là đúng

Tiếp theo giả sử rằng k ≥ 2 và cố định tham số β (tham số này sẽ chọn sau) Taước lượng như trong thảo luận trước đó là

Ở tích phân còn lại của tổng ở vế phải của bất đẳng thức trên, ta thấy: Với giả thiết

|φ (k) (x)| ≥ 1 ta suy ra tập {x ∈ [a, b] : |φ0(x)| > β} là hợp của không quá 2k đoạn, màtrên mỗi đoạn đóφ0(x)đơn điệu Sử dụng kết quả ứng vớik = 1cho các đoạn này ta có:

... giống sử dụng trongnhiều trường hợp khác (tất nhiên với số chiều cao hơn) để sinh ước lượngtích phân dao động Ngược lại, ước lượng tích phân dao động sử dụng

để suy "sub-level set estimates"... thiết tới ước lượngtích phân dao động Trên thực tế, khảo sát đơn giản với ướclượng phù hợp cho |Eβ| kéo theo ước lượng tích phân dao động nêu bổ

đề...

hay F (f ) (ξ), hàm xác định

Mệnh đề 1.3 Biến đổi Fourier hàm khả tích tuyệt đối (trên tồn trục số)

là hàm bị chặn (trên toàn trục số)

f (y)b