9 II.3 Sử dụng phép quay để chứng minh các tính chất hình học.. 11 II.5 Sử dụng phép quay để làm các bài toán tìm cực trị, định lượng... 2 LỜI MỞ ĐẦU Trong chương trình dạy và học toá
Trang 11
MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU 2
I LÝ THUYẾT 3
I.1.Các khái niệm mở đầu 3
I.1.1 Phép biến hình 3
I.1.2 Phép dời hình 3
I.2 Phép quay 4
I.2.1.Định nghĩa về phép quay 4
I.2.2.Tính chất 5
I.2.3 Biểu thức tọa độ của phép quay 5
II.BÀI TẬP 7
II.1 Hệ trục tọa độ với phép quay 7
II.2 Sử dụng phép quay làm bài toán dựng hình 9
II.3 Sử dụng phép quay để chứng minh các tính chất hình học 11
II.5 Sử dụng phép quay để làm các bài toán tìm cực trị, định lượng 13 II.6 Bài tập về tích phép quay 15
KẾT LUẬN 17
Tài liệu tham khảo 18
Trang 22
LỜI MỞ ĐẦU
Trong chương trình dạy và học toán ở phổ thông, phép biến hình và các phép dời hình trong mặt phẳng thường được lựa chọn để giải nhiều dạng toán khác nhau Hiện nay, nội dung phép biến hình trong mặt phẳng được đưa vào chương trình Hình học 11 Nhưng đối với những bài toán có thể giải được về cơ bản chỉ cần kiến thức hình học thuộc các lớp trung học cơ sở, chúng ta có thể giải lại bằng phương pháp biến hình Bên cạnh đó, các tài liệu tham khảo về phép biến hình không nêu rõ phương pháp ứng dụng chúng để giải toán Do đó, học sinh chưa hiểu rõ và không vận dụng được một cách có hiệu quả
Đề tài này tập trung nghiên cứu sâu về phép quay và ứng dụng phép quay trong mặt phẳng
Trang 33
I LÝ THUYẾT
I.1.Các khái niệm mở đầu
I.1.1 Phép biến hình
Định nghĩa: Phép biến hình là một quy tắc để với mỗi điểm M của mặt phẳng xác định
được một điểm duy nhất M’ của mặt phẳng Điểm M’ gọi là ảnh của M qua phép biến
hình đó
Kí hiệu: f là một phép biến hình nào đó, và M’ là ảnh của M qua phép biến hình f
Ta viết: M' f(M) hay f(M) M' hay f M: M' hay MfM'
Lưu ý: + Điểm M gọi là tạo ảnh, M’ là ảnh
+ f là phép biến hình đồng nhất ⟺ f(M) M với mọi M Điểm M gọi là điểm
bất động, điểm kép, bất biến
+ f f1, 2 là các phép biến hình thì f1 f2 là phép biến hình
Nếu H là một hình nào đó thì tập hợp các điểm M' f(M), với M ∈ H, tạo thành hình H’
được gọi là ảnh của H qua phép biến hình f , và ta viết H' f(H)
I.1.2 Phép dời hình
Định nghĩa: Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa 2
điểm bất kỳ, tức là với 2 điểm bất kỳ M,N và ảnh M’, N’ của chúng, ta luôn có: M’N’ =
MN (bảo toàn khoảng cách)
Tính chất: Phép dời hình biến:
- 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng, 3 điểm không thẳng hàng thành 3 điểm không thẳng hàng
- đường thẳng thành đường thẳng
- tia thành tia
- đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó
- tam giác thành tam giác bằng nó (trực tâm → trực tâm, trọng tâm → trọng tâm)
- đường tròn thành đường tròn bằng nó (tâm biến thành tâm: I → I’, R = R’)
- góc thành góc bằng nó
Trang 44
I.2 Phép quay
I.2.1.Định nghĩa về phép quay
Để trình bày khái niệm về phép quay ta đưa khái niệm góc định hướng và mặt phẳng định
hướng
Định nghĩa góc định hướng:
Góc tạo bởi 2 tia Ox, Oy có phân biệt thứ tự tia đầu và tia cuối được gọi là góc định hướng
Nếu tia Ox là tia đầu, Oy là tia cuối thì người ta kí hiệu góc định hướng là (Ox, Oy)
Mặt phẳng định hướng nếu trong 2 chiều quay của một tia xung quanh mỗi điểm của nó được chọn 1 chiều làm chiều dương, 1 chiều làm chiều âm
Ta chọn chiều (+): là chiều ngược chiều kim đồng hồ
chiều (-): là chiều cùng chiều kim đồng hồ
Tính chất của góc định hướng trong mặt phẳng định hướng:
+ cho 2 góc định hướng 1, 2, khi đó: 1 2 nếu cùng độ lớn, cùng hướng và 1 2 nếu cùng độ lớn, ngược hướng
+ Nếu Ox quay tới Oy theo chiều dương thì (Ox, Oy) > 0
Nếu Ox quay tới Oy theo chiều âm thì (Ox, Oy) < 0
+ = (Ox, Oy) thì k được gọi là góc định hướng suy rộng Góc định hướng
suy rộng bằng nhau nếu hiệu của chúng là k Như vậy k
Định nghĩa phép quay: Phép biến hình trong mặt phẳng biến điểm O thành chính nó,
biến điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM=OM’ và (OM, OM') được gọi
là phép quay tâm O, góc
Kí hiệu phép quay tâm O góc là: Q O
y
x
O
Trang 55
Lưu ý: + Q2k I : là phép đồng nhất, ∀ k ∈ Z
+
( 2k 1)
I
Q : là phép đối xứng tâm I, ∀ k ∈ Z I.2.2.Tính chất
1) Phép quay mang đầy đủ tính chất của 1 phép dời hình
2) Các tính chất riêng của phép quay:
a) Cho đường thẳng d đi qua O, khi đó ảnh của d là d’ cũng đi qua O và góc định hướng
giữa d và d’ là:
+ nếu 0
90
+ 0
180 nếu 0
90
+
O
Q nếu 900
b) A’, B’ là ảnh của 2 điểm A, B bất kỳ trong mặt phẳng thì
qua
O
Q: (AB, A’B’)= α (0 0 < α < 180 0
)
c) Tích của 2 phép quay cùng tâm:
Giả sử có 2 phép quay
O
Q và
O
Q thì
.
Q Q Q là một phép quay có tâm
O và góc quay là
d) Tích của 2 phép quay không cùng tâm:
Định lý: Cho 2 điểm phân biệt O1, O2 và các góc định
hướng α, β thỏa mãn điều kiện:
0 0 2
Khi đó phép biến đổi
Q Q Q là một phép quay với góc
M''
M'
+
O
M''
M'
M
Trang 66
quay φ = α + β, và tâm O được
xác định như sau:
O = d1∩ d2, trong đó:
1
2
1 (O O )1 2
O
1
2
2 (O O )1 2
O
Nếu φ = 2π thì Q là phép tịnh tiến
I.2.3 Biểu thức tọa độ của phép quay
i) Quay quanh điểm O(0;0)
Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm M(x,y), M’(x’,y’)= QO (M(x,y))
Đặt OM = r, góc lượng giác (Ox, OM) = α thì
cos
y rsin
x r
Mặt khác: (Ox, OM')
Do đó:
' cos( ) '
' sin( )
x r
M
y r
⇒
' cos cos r sin sin
' sin cos cos sin
x r
' cos sin ' sin cos
x x y
y x y
' cos sin '
' sin cos
x x y M
y x y
ii)Bằng phép dịch chuyển tâm với I(a,b) bất kỳ ta có:
cos
y rsin
M
b
.cos
y b r sin
y'
y
x x'
x y
O
M M'
Trang 77
'
y r sin( )
x r
M
b
' cos cos sin sin a
y' r sin cos cos sin
Suy ra:
' (x a).cos (y b).sin a '
y' (y b).cos (x a).sin
x M
b
II.BÀI TẬP
Lưu ý khi làm bài tập về phép quay:
+ Chọn cách vẽ hình bài toán sao cho thực hiện từng phép quay riêng biệt là phép quay theo chiều dương
+ Nếu trong bài toán có sử dụng tích các phép quay thì việc tìm tâm là quan trọng nhất + Nhiều bài toán mà trong giả thiết xuất hiện yếu tố đặc biệt như góc 300, 600, 900, …có
độ dài bằng nhau gợi ý tưởng dùng phép quay
II.1 Hệ trục tọa độ với phép quay
Bài 1: Trong mp Oxy cho phép quay
0
45
O
Q Tìm ảnh:
a) Điểm M(2;2) b) Đường tròn (C): (x-1)2 + y2 = 4
Giải: Gọi
45
(x; y) Q O (x'; y')
' cos 45 y.sin 45
'
' sin 45 cos 45
x x
M
'
M
a)
45
(2; 2) QO '(0; 2 2)
A A
b)
2
' 2
O
R
r r
y'
y
x' x b
a
y
x
M'
O
I
M
Trang 88
Bài 2: Trong mp tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): x+y-2=0 Tìm ảnh (d’) của đường
thẳng (d) qua phép quay 90
O Q
Cách 1:
Lấy 2 điểm A, B trên (d), tìm ảnh A’, B’ của A, B
Đường thẳng (d’) là đường thẳng qua 2 điểm A’, B’
Giả sử A(0;2) ϵ (d) và B(2;0) ∈ (d)
Ta có:
90
90
(0; 2) '( 2; 0)
B(2; 0) B'(0; 2)
O O
Q
Q
'
d
A B n Vậy (d’): x y 2 0
Cách 2:
90
(x; y) (d) QO '(x'; y') (d')
M M
Lúc đó:
' cos 90 y.sin 90 '
' sin 90 cos 90 '
Suy ra:
' '
x y
y x
, thay vào pt (d) ta được: y ' ( x') 2 0 x' y' 2 0
Hay đường thẳng (d’) có pt: x y 2 0
Bài 3: Tìm ảnh của điểm M(1;1) trong phép quay tâm I(-1;0) với góc quay α = 600
Bài giải:
Giả sử
0
60 ( 1;0)
'(x'; y') (M(1;1))
I
Áp dụng công thức:
Trang 99
' (x a).cos (y b).sin a
y' (y b).cos (x a).sin
x
b
với
1
0
a
b
,
1 1
x y
,
0
60
Suy ra: '( 3 1; 3)
Bài tập tự giải
Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (∆): 2x-y+1=0 Tìm ảnh của đường
thẳng qua phép quay :
a) Tâm O(0;0), góc quay α= -600
b) Tâm I(1;1), góc quay α= 600
Bài 2: Trong mp tọa độ Oxy, tìm phép quay Q biến điểm A(-1;5) thành điểm B(5;1)
II.2 Sử dụng phép quay làm bài toán dựng hình
Như ta đã biết hình H là một tập con của P – tập hợp các điểm trong mặt phẳng ⇒ H là một tập hợp điểm Vì vậy để dựng hình H thông thường ta dựng các điểm của H
Để dựng các điểm M đôi khi dễ dàng nếu ta dựng được ảnh M’ của M qua 1 phép dời hình nào đó Ta dựa vào đặc trưng của điểm cần dựng và tính chất của phép biến hình để chọn phép biến hình thích hợp
Các bước: - bước 1: phân tích
- bước 2: dựng hình
- bước 3: chứng minh
- bước 4: biện luận
Bài toán: Cho ∆ABC, điểm M thuộc cạnh AB Dựng trên BC, AC các điểm N,P tương
ứng sao cho thỏa mãn 2 điều kiện:
- MP = MN
- đường tròn qua A, M, P tiếp xúc với NM
Phân tích:
Giả sử dựng được 2 điểm M, P thỏa mãn yêu cầu bài toán
Nghĩa là: MP = MN và MN là tiếp tuyến của đường tròn qua 3 diểm A, M, P tại M Khi đó:
+Ta có: NMP MAP ( cùng chắn cung MP)
Mà: MP = MN nên xác định được phép quay
:
Q với BAC cố định
Trang 10Phép quay và các ứng dụng của phép quay trong hình học phẳng
10
⇒ N là tạo ảnh của P qua phép quay
M
Q
+ Lại có: P ∈ AC nên N ∈ A’C’ – là tạo ảnh của AC qua
M
Q , trong đó:
M
Q : A’ ⟶ A
C’ ⟶ C
Mà N ∈ BC nên suy ra N là giao của BC và A’C’
Cách dựng:
- Dựng A’, C’ là ảnh của A, C qua phép
M
Q , nghĩa là: MA’ = MA, MC’ = MC, (MA’,MA) = (MC’, MC) = α
- Xác định giao điểm của BC với A’C’ là N
- P =
M
Q (N)
Chứng minh:
M
Q : A’ ⟶ A
C’ ⟶ C
N = BC ∩ A’C’ ⇒ N ∈ A’C’
⇒ P =
M
Q (N) ∈ AC
(MN, MP) = α, MP = MN⟹ thỏa mãn điều kiện
N ∈ BC, P ∈ AC, MP = MN
Chứng minh MN là tiếp tuyến của đường tròn ngoai tiếp ∆AMP
Xét đường tròn (O) ngoại tiếp ∆AMP có MAP là góc nội tiếp chắn cung MP
N ∉ (O), NMP MAP = α ⇒ MN là tiếp tuyến của (O)
Biện luận:
Vì ∆ABC cho trước, M cho trước ⟹ A cố định ⟹
M
Q là xác định A’, C’ xác định duy nhất ⟹ N xác định duy nhất ⟹ P xác định duy nhất
Vậy bài toán có 1 nghiệm hình
Bài tập tự giải
Bài 1: Dựng tam giác đều ABC biết rằng các đỉnh của nó nằm trên 3 đường thẳng song
song d1, d2, d3 cho trước
P
N
C'
A' A
B
C M
60 0
150 0
150 0 M'
M
Trang 1111
Bài 2: Cho 4 điểm trên một đường thẳng Hãy dựng hình vuông mà phần kéo dài các
cạnh của nó cắt đường đó tại các điểm đã cho
II.3 Sử dụng phép quay để chứng minh các tính chất hình học
Sử dụng phép quay hay phép dời hình làm bài toán chứng minh, ta có thể chứng minh
được rất nhiều bài toán như: chứng minh góc, chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, chứng
minh các đoạn thẳng vuông góc, song song, đồng quy, thẳng hàng, …
- Trong trường hợp chứng minh hình H=H’, ta chỉ cần chỉ ra tồn tại một phép dời hình
biến H → H’ Các yếu tố góc bằng nhau, đoạn thẳng bằng nhau là những yếu tố hướng ta nghĩ tới phép quay
Cách giải: - Bước 1: Thực hiện một phép dời hình thích hợp
- Bước 2: Sử dụng các tính chất của phép dời hình để giải quyết yêu cầu bài
tập
Bài toán: Cho 3 điểm A, B, C theo thứ tự thẳng hàng Vẽ cùng phía dựng 2 tam giác đều
ABE và BCF Gọi M, N tương ứng là 2 trung điểm của AF và CE Chứng minh rằng:
∆BMN đều
Giải:
Xét phép quay 60 0
B
Q ta có:
0
60
(A) E
B
Q , 600
(F)
B C
Q Suy ra: 600
(AF)
B EC
Do M là trung điểm của AF, N là trung điểm
của EC, nên: 0
60
(M)
B N BM BN
0
60
MBN
Bài tập tự giải:
Bài 1: Trên các cạnh BC, CD của hình vuông ABCD lấy các điểm M và K tương ứng sao
cho BAM MAK.Chứng minh rằng: BM + KD = AK
Bài 2: Trên các cạnh của tam giác ABC bất kỳ, về phía ngoài, dựng các tam giác đều
ABC1, AB1C, A1BC Chứng minh rằng:
a) AA1 = BB1 = CC1
b) Các đường thẳng AA1, BB1, CC1 đồng quy
II.4 Sử dụng phép quay để làm bài toán tìm quỹ tích
Tìm tập hợp điểm M có tính chất α nào đó thực ra là tìm 1 hình F có tính chất α Để tìm
F N
M E
C
Trang 1212
tập hợp H dựa vào phép dời hình f người ta thường chuyển về tìm tập hợp ảnh F’ của F qua phép dời hình trong đó F’ dễ dàng tìm hơn so với F Do tính chất 1-1 của phép dời hình ta sẽ suy ra F f 1 (F')
Vì phép dời hình là một song ánh nên ta chỉ cần làm phần thuận
Thông thường có 2 cách tìm quỹ tích điểm M
Cách 1: Bước 1: Chỉ ra phép dời hình f :M M '
Bước 2: Xác định quỹ tích điểm M’, giả sử là F’
Bước 3: Quỹ tích của M là ảnh của F’ qua f
Cách 2: Bước 1: Bằng thực nghiệm dự đoán về quỹ tích M cần tìm (dựng 1 số điểm đặc
biệt khi M di chuyển), giả sử là F
Bước 2: Xác định điểm F’ sao cho f : F' F
Bước 3: Với M bất kỳ thuộc F, chứng minh thỏa mãn bài tập nếu f(M) thuộc F’
thì quỹ tích là F f(F')
Bài toán: Cho ∆ABC đều Tìm tập hợp điểm M trong tam giác sao cho:
Phân tích: Giả thiết ∆ABC đều nên ta có: AB AC BC,
0
60
⟹ Nghĩ tới phép quay 600 hoặc -600
Điểm M thỏa mãn biểu thức: 2 2 2
MA MB MC liên quan tới độ lớn, mà phép quay bảo toàn khoảng cách
⟹ Ta nghĩ tới việc tìm ảnh của các điểm cố định trong biểu thức rồi thay vào biểu thức
và tìm ra quỹ tích
Lời giải:
Giữ nguyên vế phải của biểu thức, ta biểu diễn vế phải của phép quay sao cho vế trái co liên quan tới vế phải
Ta thấy 600 600
(B) C, (A) C
Ta sẽ chọn phép quay sao cho có thể biểu diễn MA2, MB2 qua C, M’ – là ảnh của M Chọn 60 0
A B C M M
⇒ ∆AMM’ đều
⇒ MM’ = MA
Trang 1313
M C MM MC
⇒ ∆MM’C vuông tại M’ (định lý Pitago)
CM M
AM C CM M AM M
Như vậy: 0
60
A A A M M B C
Q ⇒ AMB AM C' ⇒ AMB 150 0
⇒ M thuộc cung nhỏ chứa góc 1500 dựng trên dây AB
Đảo lại: Nếu M thuộc cung trên thì 2 2 2
Bài tập tự giải:
Bài 1: Cho đường thẳng d và điểm O cố định không thuộc d, M là điểm di động trên d
Tìm tập hợp các điểm N sao cho ΔOMN đều
Bài 2: Cho nửa đường tròn đường kính AB, gọi C là điểm chạy trên nửa đường tròn, trên
AC lấy điểm D sao cho AD = CB Tìm quỹ tích điểm D khi C thay đổi
II.5 Sử dụng phép quay để làm các bài toán tìm cực trị, định lượng
Bài toán: Cho tam giác nhọn ABC Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA + MB + MC
nhỏ nhất
Phân tích:
Giả sử M là điểm nằm trong tam giác thỏa mãn MA MB MC nhỏ nhất Ta sẽ tìm một phép dời hình thích hợp và biểu diễn tổng trên qua các phép dời hình ấy với điều kiện tổng sau khi được biểu diễn có thể đánh giá được vị trí của M
⟹ ta chọn phép quay Q góc quay 600 và tâm quay là một trong ba đỉnh của tam giác Giả
sử là đỉnh A, khi đó rõ ràng ∆AMM’ đều
Nên: AM’ = AM = MM’
⟹ tổng qua phép quay sẽ biểu diễn được qua M và ảnh M’ của nó
Lời giải:
Trang 1414
Giả sử M là điểm nằm trong ∆ABC
Xét 60 0
A
Q :
Giả sử: BM MM ' M C ' '
Có (AM, AM') 600⟹ ∆MAM’ đều ⟹ MA = MM’
⟹ MAMBMC BM MM 'M C' '
⟹MA + MB + MC nhỏ nhất
⟺ BM MM ' M C ' ' nhỏ nhất
⟺ đường gấp khúc BMM’C’ là 1 đoạn thẳng
Vì phép quay bảo toàn góc nên AMC1200
⟹ BMA AMC MBC 1200
⟹M là giao điểm của cung chưa góc 1200 chắn trên các đoạn AB, BC, AC ⟹∆ABC
nhọn ⟹ M nằm trong tam giác
Đảo lại: với điểm M xác định như trên ta chứng minh được MA MB MC nhỏ
nhất
Bài toán: Cho tam giác cân ABC (AB = AC) có BAC800 Bên trong tam giac ta lấy
điểm M sao cho 0
30
MBC
, MCB 100 Tính MAC
Giải:
M
C B
A
E
C'
B'
M A
B C M'
Trang 1515
Thực hiện phép quay , 60 0 :
A
Q C E và CAE 600
Tia AE nằm trong góc BAC Tam giác ACE là tam giác đều , do đó ACE 600
Vì ACB500
10
BCE
Ta thấy rằng 3 điểm B, E, C cùng nằm trên đường trong tâm A nên EBC300. BMC BEC(c.g.c) nên CE = CM = CA Các điểm E, M, A cùng nằm trên đường tròn tâm C nên 2MAE MCE200 Vậy MAE 100
suy ra MAC700
Bài tập tự giải:
Khoảng cách từ điểm P cố định tới 2 điểm A, B của một tam giác đều là 2 và 3 Xác định khoảng cách lớn nhất từ P tới C
II.6 Bài tập về tích phép quay
Bài toán: Cho tam giác ABC Dựng các tam giác đều BCA1, CAB1, ABC1 về phía ngoài của tam giác Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác vừa dựng là đỉnh của một tam giác đều
Giả sử A0, B0, C0 lần lượt là trọng tâm của tam giác BCA1, CAB1, ABC1 Ta có:
0
120
:
C B A
0
120
: A
0 0
120 120
: B
B C
C
Q Q
Theo định lý về tích 2 phép quay không cùng tâm ở phần lý thuyết thì góc của tích 2 phép quay Q bằng 2400 hoặc bằng -1200 Tâm của phép quay được xác định như sau:
0
0
60
0 0 0
: C
C B C x
0
60
0 0 0
: C
B B B y
M B y C x Vậy phép quay
0
120
:
M B C
Q
Mặt khác: 0
0
120 :
A B C
Q
Từ đó suy ra 2 phép quay 0
0
120
A
Q và 1200
M
Q
trùng nhau, tức M≡A0
A0
B0 C0
A1
B1
C1
A