Một số ứng dụng của phương tích trong hình học phẳng

11 2 Ứng dụng của phương tích trong các bài toán chứng minh tính chất hình học 16 2.1 Chứng minh ba đường thẳng đồng quy.. Trong số đó, phương tích và trục đẳngphương đóng vai trò là một

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ THU HẰNG

MỘT SỐ ỨNG DỤNG

CỦA PHƯƠNG TÍCH TRONG

HÌNH HỌC PHẲNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

HÀ NỘI - 2017

Mục lục

1 Một số kiến thức cơ bản về phương tích 4

1.1 Phương tích của một điểm đối với một đường tròn 4

1.2 Trục đẳng phương của các đường tròn 7

1.2.1 Trục đẳng phương của hai đường tròn 7

1.2.2 Cách dựng trục đẳng phương 9

1.2.3 Tâm đẳng phương của ba đường tròn 10

1.3 Một số định lý cơ bản của hình học 11

2 Ứng dụng của phương tích trong các bài toán chứng minh tính chất hình học 16 2.1 Chứng minh ba đường thẳng đồng quy 16

2.2 Chứng minh ba điểm thẳng hàng 22

2.3 Chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn 27

2.4 Chứng minh họ đường thẳng đi qua điểm cố định 31

2.5 Chứng minh một số tính chất hình học khác 39

3 Một số dạng toán liên quan 45 3.1 Các dạng toán về tính toán và ước lượng đại lượng hình học 45 3.2 Một số bài toán thi học sinh giỏi quốc gia và Olympic các nước 49

Mở đầu

Các dạng toán về hình học phẳng rất phong phú về chủng loại và cùngvới chúng là sự cần thiết chọn lựa các công cụ tương ứng phù hợp để tiếpcận lời giải một cách hiệu quả nhất Trong số đó, phương tích và trục đẳngphương đóng vai trò là một trong những công cụ đặc biệt hữu ích đối vớimột số lớp bài toán liên quan tới các điểm, đường tròn và đường thẳng.Phân tích lời giải các bài toán về hình học phẳng bằng phương tích và trụcđẳng phương, ta thấy tính ưu việt của cách lập luận, tư duy sắc bén, lờigiải ngắn gọn của phương pháp này

Trong những năm gần đây, các bài toán về hình phẳng liên quan đếnphương tích và trục đẳng phương thường xuyên xuất hiện trong các kìthi học sinh giỏi quốc gia, Olympic các nước và luôn được xem là nhữngdạng toán khó và rất khó Mặc dù chuyên đề về phương tích và trục đẳngphương là khá quen thuộc ở phổ thông, các kiến thức về nó rất đơn giản

và dễ hiểu, song kỹ thuật áp dụng chúng trong nhiều trường hợp cụ thểthì lại không đơn giản, cần sự phân loại và kỹ năng vẽ hình chính xác.Chính vì thế những bài toán có liên quan đến phương tích và trục đẳngphương thường được xem là những dạng toán hay, có sức hấp dẫn

Vì những lý do trên, tôi chọn đề tài luận văn “Một số ứng dụng củaphương tích trong hình học phẳng”

Nội dung của luận văn này chủ yếu đề cập đến những dạng toán thườnghay xuất hiện trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi như chứng minh các điểmthẳng hàng, tính đồng quy của các đường thẳng, nhận dạng các điểm thuộcmột đường tròn cho trước và các bài toán chứng minh tính chất hình học

Chương 3 trình bày một số dạng toán liên quan từ các đề thi học sinhgiỏi Quốc gia, Olympic các nước.

Hà Nội, ngày 12 tháng 11 năm 2017

Tác giảNguyễn Thị Thu Hằng

Lời cảm ơn

Lời đầu tiên em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy GS.TSKH.Nguyễn Văn Mậu, người thầy đã tận tình hướng dẫn giúp đỡ em trong thờigian học tập và hoàn thành luận văn này Em xin trân trọng cảm ơn Bangiám hiệu trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội

và các thầy, các cô đang công tác giảng dạy tại trường đã nhiệt tình giúp

đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho em trong quá trình học tập và nghiêncứu đề tài

Chương 1

Một số kiến thức cơ bản về phương tích

Chương này giới thiệu các kiến thức cơ bản về phương tích Định nghĩa

và các định lý dùng trong các bài toán chứng minh Đặc biệt, ở cuối chương

có đề cập đến hai định lý nổi tiếng trong chứng minh tính thẳng hàng vàđồng quy Đó là các định lý Menelaus và định lý Ceva Các kiến thức này

sẽ được dùng đến thường xuyên ở chương sau

1.1 Phương tích của một điểm đối với một đường

Chứng minh Gọi C là điểm đối xứng của A qua O Ta có CB⊥AM

hay B là hình chiếu của C trên AM

Từ định nghĩa trên có thể thấy rằng giá trị của phương tích PM/(O)

là âm hay dương tùy thuộc vào vị trí điểm M tương ứng nằm trong hayngoài đường tròn (O) Cụ thể, ta có

Nhận xét 1.1

*) PM/(O) < 0 ⇔ M nằm trong đường tròn(O; R)

*) PM/(O) = 0 ⇔ M nằm trên đường tròn (O; R)

*) PM/(O) > 0 ⇔ M nằm ngoài (O; R)

Trong mọi trường hợp, ta có PM/(O) = M A × M B

Nhận xét 1.2

- Nếu M nằm ngoài đường tròn (O) và M T là tiếp tuyến với đườngtròn ta có PM/(O)) = d2 − R2 = −−−→

M T2 = M T2

- Cho tam giác ABC, M là một điểm thuộc AB và nằm ngoàiAB Khi

đóM C là tiếp tuyến của (O; R) ⇔ −−→

Nếu A, B cố định và AB × AM = const thì điểm M là điểm cố định

Ta sử dụng ý tưởng này để chứng minh đường thẳng đi qua điểm cốđịnh

Định lý 1.2 (xem [1],[7]) Nếu hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại

M và M A × M B = M C × M D thì bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc mộtđường tròn

Chứng minh Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt CD tại

D0 Khi đó theo định lý 1.2, ta có

P A × P B = P C × P D0, suy ra P C × P D = P C × P D0 nên D ≡ D0.Suy ra bốn điểm A, B, C và D cùng thuộc một đường tròn.

Nhận xét 1.4 Từ định lý 1.2, để chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp tacần chỉ ra đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M và có M A × M B =

M C × M D ”

1.2 Trục đẳng phương của các đường tròn

Trong phần này, ta khảo sát trục đẳng phương của hai đường tròn vànêu cách dựng trục đẳng phương, tâm đẳng phương của ba đường tròn

1.2.1 Trục đẳng phương của hai đường tròn

Định lý 1.3 (xem [1]) Cho hai đường tròn phân biệt (O1) và (O2 có cácbán kính R1 và R2 Quỹ tích các điểm M có cùng phương tích đối với haiđường tròn là một đường thẳng, đường thẳng này được gọi là trục đẳngphương của hai đường tròn (O1) và (O2)

điểm có cùng phương tích đối với chúng là một đường thẳng vuông góc vớiđường nối tâm O1O2 Đường thẳng đó được gọi là trục đẳng phương củahai đường tròn (O1; R1) và (O2; R2).

Các trường hợp cụ thể

a (O1) ∩ (O2) = {A, B} thì PA/(O1) = PA/(O2) = PB/(O1) =

PB/(O2) = 0 Suy ra trục đẳng phương là đường thẳng AB

b (O1) ∩ (O2) = {A} thì trục đẳng phương là đường thẳng đi qua A

và vuông góc với O1O2, tức là tiếp tuyến chung của hai đường tròn

c (O1) ∩ (O2) = ∅ Khi đó dựng đường tròn (O3) sao cho O1, O2 và

O3 không thẳng hàng

(O3)∩(O1) = {A, B} ;(O3)∩(O2) = {A1, B1}vàAB ∩A1B1 = I ĐiểmI

có cùng phương tích với cả hai đường tròn (O1) và (O2) Qua điểm I dựngđường thẳng δ vuông góc với O1O2 Đường thẳng δ là trục đẳng phươngcủa hai đường tròn (O1) và (O2)

1.2.3 Tâm đẳng phương của ba đường tròn

Trong mục này ta xét tâm đẳng phương (Radical Center) Đây chínhđiểm đồng quy của ba trục đẳng phương

Định nghĩa 1.3 (xem [1],[7]) Cho ba đường tròn (O1), (O2) và (O3)

có các tâm (O1), (O2) và (O3) không cùng thuộc một đường thẳng Gọi

d1; d2; d3 lần lượt là trục đẳng phương của các cặp đường tròn (O2), (O3) ;

(O1), (O3)và(O2), (O1).Lúc đó các đường thẳngd1; d2; d3 đồng quy tại mộtđiểm K.K là điểm duy nhất có cùng phương tích đối với (O1), (O2), (O3)

và được gọi là tâm đẳng phương của ba đường tròn này

Nhận xét 1.5

1 Trong định nghĩa vừa nêu, điều kiện tâm của các đường tròn (O1),(O2), (O3) không cùng thuộc một đường thẳng cho phép kết luận rằng tâmđẳng phương tồn tại và duy nhất Trong trường hợp các tâm O1, O2, O3

cùng thuộc một đường thẳng các trục đẳng phương d1; d2; d3 đều vuônggóc với đường thẳng chứa O1, O2 và O3

2 Nếu d1; d2; d3 đôi một song song, lúc đó không tồn tại điểm nào cócùng phương tích đối với cả ba đường tròn.

3 Nếu hai trong ba đường thẳng d1; d2; d3 trùng nhau, lúc đó tất cảchúng đều phải trùng nhau và đường thẳng này sẽ là tập hợp tất cả cácđiểm có cùng phương tích đối với cả ba đường tròn Trong trường hợp này,

ta nói rằng các đường tròn (O1), (O2) và (O3) có một trục đẳng phươngchung

4 Nếu ba đường tròn đôi một cắt nhau thì các dây cung chung cùng điqua một điểm

5 Nếu ba đường tròn cùng đi qua một điểm và có các tâm thẳng hàngthì các trục đẳng phương trùng nhau

Cho ∆ABC và các điểm E, F khác A, B, C theo thứ tự thuộc các cạnh

AB, AC Khi đó EF k BC khi và chỉ khi AE

Định lý 1.5 (Định lí Ceva2) Cho tam giác ABC Gọi A1, B1, C1 lần lượtnằm trên các cạnhBC, AC, AB Khi đó AA1, BB1, CC1 đồng quy tại mộtđiểm khi và chỉ khi

Gọi P là giao điểm AA1 và BB1, C2 là giao điểm của CP và AB Khi

đó áp dụng kết quả chứng minh ở phần thuận, ta có

Bộ ba đường thẳng AA1, BB1, CC1 đồng quy như trên được gọi là bộ

ba đường thẳng Ceva và các đoạn thẳng AA1, BB1, CC1 gọi là bộ ba đoạnthẳng Ceva Định lí Ceva là định lí cơ bản nhất dùng để chứng minh cácđường thẳng đồng quy

Nhận xét 1.7 Nếu đường tròn nội tiếp tam giác ABC cắt AB, BC, CA

lần lượt tại F, D, E Khi đó, ta có AE = AF ; BF = BD; CD = CF

Bằng định lý Ceva, ta chứng minh được AD, BE, CF đồng quy tại mộtđiểm, điểm đó gọi là điểm Gergonne (Ge) của tam giác ABC(hình dưới).

Nhận xét 1.8 Định lý Ceva có thể được suy rộng bởi những giao điểmnằm ngoài tam giác ABC mà không nhất thiết phải nằm trong nó Vì vậy,các điểmA1, B1, C1 có thể nằm ngoài các cạnhBC, CA, AB như hình bên

Phần trên chúng ta đã thấy một tiêu chuẩn để ba đường thẳng đồngquy, trong phần này ta sẽ xét một tiêu chuẩn để ba điểm thẳng hàng thôngqua định lí sau

Định lý 1.6 (Định lý Menelaus3) Cho tam giác ABC và các điểm

A1, B1, C1 lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, AC, AB Khi đó hoặc

cả ba điểm A1, B1, C1 nằm trên phần kéo dài của ba cạnh, hoặc một trong

ba điểm trên nằm trên phần kéo dài của một cạnh còn hai điểm còn lạinằm trên hai cạnh của tam giác

Chứng minh.

Phần thuận Cho A1, B1, C1 thẳng hàng, ta chứng minh (1.5)

Từ C vẽ đường thẳng song song với AB cắt đường thẳng A1C1 tại M

đồng thời thỏa mãn (1.5) Ta chứng minh A1, B1, C1 thẳng hàng

Giả sử B1, C1 nằm trên hai cạnh của tam giác và A1 thuộc phần kéodài của cạnh còn lại

Gọi B2 là giao điểm của A1C1 và AC

Khi đó theo chứng minh trên, ta có

Chương 2

Ứng dụng của phương tích trong

các bài toán chứng minh tính chất

hình học

Chương này nhằm hệ thống một số dạng toán sử dụng phương tích và

trục đẳng phương để giải quyết

Sau đây là dạng toán đầu tiên về chứng minh tính đồng quy

2.1 Chứng minh ba đường thẳng đồng quy

Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta có thể chứng minh ba

đường thẳng đó là các trục đẳng phương của từng cặp hai đường tròn có

tâm không thẳng hàng

Bài toán 2.1 (Định lý Brianchon) Cho lục giác ABCDEF ngoại tiếp

(O) Chứng minh rằng AD, BE, CF đồng quy

Lời giải GọiG, H, I, J, K, Llần lượt là tiếp điểm củaAB, BC, CD, DE, EF, F A

với (O)

Trên tiaKF, HB, GB, J D, ID, LF lần lượt lấy các điểmP, S, Q, R, N, M

sao cho KP = SH = GQ = J R = IN = LM

Dựng (O1) tiếp xúc với EF, CB tại P, S,

Dựng (O2) tiếp xúc AF, CD tại M, N,

Dựng (O3) tiếp xúc AB, ED tại Q, R

Ta có F P = P K − F K = LM − LF = F M,

CS = SH + HC = IN + IC = CN

Suy ra F C là trục đẳng phương của (O1) và (O2).

Tương tự AD là trục đẳng phương của (O2) và (O3),

Lời giải Gọi I1 là trung điểm P A, I là trung điểm P C Ta thấy bốnđiểm O, B, C, I1 nằm trên đường tròn Ω đường kính BI1

Mặt khác ∠GAI = ∠CDG = ∠COI = ∠GOI (do OC = OG, IC =

IG)

Suy ra bốn điểm O, A, G, I nằm trên đường tròn Ω0

Thế thì PO/(Ω) = PO/(Ω0 ) = 0

Hơn nữa PP/(Ω) = P I1 × P C = 1

2P A × 2P I = P A × P I = PP/(Ω0).

Suy ra OP là trục đẳng phương của Ω và Ω0

Nhưng AG là trục đẳng phương của hai đường tròn (O) và Ω0, BC làtrục đẳng phương của (O) và Ω Vậy nên AG, BC, P O đồng quy

Bài toán 2.3 Cho tam giác ABC và đường thẳng d Gọi A1, B1, C1 lầnlượt là hình chiếu củaA, B, C trên d.Gọid1, d2, d3 theo thứ tự là các đườngthẳng đi qua A1, B1, C1 và vuông góc với BC, CA, AB Chứng minh rằngcác đường thẳng d1, d2, d3 đồng quy

Bài toán 2.4 Cho đường tròn (O) và dây cung AB Các đường tròn

(O1), (O2) nằm về một phía đối với đường thẳng AB, tiếp xúc ngoài tại

T, đồng thời tiếp xúc với AB lần lượt tại F, N và tiếp xúc trong với (O)

lần lượt tại E, M Tiếp tuyến chung tại T của các đường tròn (O1), (O2)

cắt đường tròn (O) tại C (với C thuộc nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng

AB, chứa (O1), (O2)

a) Chứng minh ba đường thẳng EF, M N, CT đồng quy.

b) Chứng minh T là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Chứng minh tương tự, ta cũng có M N cũng đi qua điểm K

Từ đó∠M EF = ∠M N Bnên tứ giácEF N M nội tiếp Do đóPK/(O1) =

Vậy KA = KT = KB hay các tam giác KAT, KBT cân tại K

Do đó ∠CAT = ∠AT K −∠ACT = ∠T AK −∠BAK = ∠T AB, nên

AT là phân giác ∠CAB

Từ hai nhận xét trên, suy ra T là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

ABC

Bài toán 2.5 Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A, B.

AX, AY lần lượt là các đường kính của (O1) và (O2) Gọi O là trungđiểm của XY; I là điểm thuộc đường phân giác của góc ∠XAY sao cho

OI không vuông góc với XY và I không thuộc hai đường tròn

Đường thẳng đi qua A vuông góc với AI lần lượt cắt các đường tròn

(O1), (O2) tại các điểm E, F khác A IX cắt đường tròn (O1) tại điểmthứ hai K, IY cắt đường tròn (O2) tại điểm thứ hai L

a) Gọi C là giao điểm của EF với IX Chứng minh rằng OE là tiếptuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CEK

b) Chứng minh rằng ba đường thẳng EK, F L, OI đồng quy

Mặt khác (CE, CK) = (AC, AK) + (AK, CK) = (AC, AK) + π

O1K = (EO1, EK) (mod π)

Do đó OE là tiếp tuyến của đường tròn (CEK)

b) Ta có ∠AKI = ∠ALI = 900 nên bốn điểm A, I, K, L cùng thuộc

(KE, KA) = (XE, XA) = (XE, EA)+(AE, AX) = π

2+(AE, AX) (mod π)

Vậy bốn điểm E, F, L, K cùng thuộc một đường tròn

Gọi S là giao điểm của EKvà F L, D là giao điểm của EF với IY

Vì bốn điểm E, F, L, K cùng thuộc một đường tròn nên ta có

Mặt khác tứ giác EF Y X là hình thang vuông tại E, F và O là trung

điểm của XY nên suy ra OE = OF Do đó

PO/(CEK) = OE2 = OF2 = PO/(DF L) (2.5)

Từ (2.3)-(2.5), suy ra S, O, I cùng thuộc trục đẳng phương của hai

đường tròn (CEK) , (DF L) nên S, O, I thẳng hàng

Vậy ba đường thẳng EK, F L, OI đồng quy tại S

2.2 Chứng minh ba điểm thẳng hàng

Để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta có thể chứng minh chúng cócùng phương tích đối với hai đường tròn hoặc chúng là tâm của các đườngtròn đôi một nhận một đường thẳng duy nhất làm trục đẳng phương.Bài toán 2.6 Cho tứ giácABCD có cạnh AB vàCD cắt nhau tạiI, AD

Kí hiệu (O1), (O2), (O3) theo thứ tự là các đường tròn tâm O1 bán kính

O1A, tâm O2 bán kính O2B, tâm O3 bán kính O3K

Ta có phương tích của điểm H đối với đường tròn (O1) và (O2) là

P (H/(O1)) = HC × HC1P (H/(O2)) = HD × HD1 Xét đường trònđường kính CD có HC × HC1 = HD × HD1

Do đó H thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn (O1) và (O2).Chứng minh tương tự, trực tâm các tam giác AID, ABK, BCI cũng cócùng phương tích đối với các đường tròn (O1), và (O2) Vậy trực tâm củacác tam giác AID, ABK, BCI, CDK thẳng hàng (điều cần chứng minh)

b) Gọi O3 là trung điểm IK, ta cũng chứng minh được P (H/(O2)) =

P (H/(O3))

Xét trực tâm J của tam giác BCI, khi đó P (J/(O1)) = P (J/(O2)) =

P (J/(O3)) suy ra ba đường tròn này đôi một nhận đường thẳng HJ làmtrục đẳng phương Vì vậy O1, O2 và O3 thẳng hàng (đpcm)

Lời giải GọiO1, O2, O3 theo thứ tự là trung điểmDD1, EE1, KK1; Gọi

Γ1, Γ2, Γ3 theo thứ tự là các đường tròn tâm O1 bán kính O1D, tâm O2

bán kính O2E, tâm O3 bán kính O3K Giả sử Γ là đường tròn ngoại tiếptam giác ABC có tâm O bán kính R

Vì ∆O1BA ∼ ∆O1AC nên O1B × O1C = O1A2 = O1D2 Do đó

P (O1/Γ) = O1O2 − R2 = O1B × O1C = O1D2

Mawqjt khác, P (O/Γ1) = OO12 − O1D2, nên P (O/Γ1) = R2

Chứng minh tương tự, ta có P (O/Γ2) = P (O/Γ3) = R2

Mặt khác, nếu gọi H là trực tâm tam giác DEK, tương tự, ta chứngminh được

P (H/Γ1) = P (H/Γ2) = P (H/Γ3)

Vậy ba đường tròn Γ1, Γ2, Γ3 đôi một nhận đường thẳng OH làm trụcđẳng phương nên O1, O2, O3 thẳng hàng.

Bài toán 2.8 Cho tứ giác lồi ABCD Qua đỉnh D của tứ giác kẻ cácđường thẳnga, b, c sao cho a⊥DA, b⊥DB, c⊥DC Các đường thẳnga, b, c

này theo thứ tự cắt các đường thẳng BC, CA, AB tại A1, B1, C1 Chứngminh rằng ba điểm A1, B1, C1 thẳng hàng

Lời giải

Gọi trung điểm củaAA1, BB1, C1 theo thứ tự làO1, O2, O3;gọiΓ1, Γ2, Γ3

theo thứ tự là các đường tròn tâmO1 bán kínhO1A, tâmO2 bán kínhO2B,

tâm O3 bán kính O3C, thế thì P (D/Γ1) = P (D/Γ2) = P (D/Γ3) = 0

Mặt khác, nếu gọi H là trực tâm tam giác ABC thì tương tự như trên

ta có

P (H/Γ1) = P (H/Γ2) = P (H/Γ3) Từ đó ba điểm O1, O2, O3 thẳnghàng

Gọi P, Q, R theo thứ tự là trung điểm của BC, CA, AB Sử dụng định

lý Menelaus cho tam giác P QR và ba điểm thẳng hàng O1, O2, O3, ta có

(O1QO1R).(O2RO2P ).(O3P O3Q) = 1

Mặt khác(O1QO1R) = (A1CA1B); (O2RO2P ) = (B1AB1C); (O3P O3Q) =(C1BC1A)

Áp dụng định lý Menelaus đảo cho tam giác ABC, ta có A1, B1, C1

thẳng hàng

Bài toán 2.9 Cho tam giác ABC Các phân giác ngoài góc A, B, C lầnlượt cắt cạnh đối diện tại A1, B1, C1 Chứng minh rằngA1, B1, C1 thẳng

hàng và nằm trên đường vuông góc với đường thẳng nối tâm đường trònnội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Lời giải GọiA2B2C2 là tam giác tạo bởi ba phân giác ngoài gócA, B, C

Nhận xét rằng AA2 ⊥ B2C2, BB2 ⊥ A2C2, CC2 ⊥ A2B2

Vì tứ giác BC2B2C nội tiếp nên A1C2 × A1B2 = A1B × A1C

Tương tự, B1C2 × B1A2 = B1A × B1C, C1B2 × C1A2 = C1A × C1B

Suy ra A1, B1, C1 cùng nằm trên trục đẳng phương của đường tròn (O)

ngoại tiếp tam giác ABC và đường tròn (J ) ngoại tiếp tam giác A2B2C2

Mà (O) là đường tròn Euler của tam giác A2B2C2, AA2, BB2, CC2 giaonhau tại trực tâm I của tam giác A2B2C2 (cũng đồng thời là tâm đườngtròn nội tiếp tam giác ABC) suy ra I, O, J thẳng hàng

Vậy đường thẳng qua A1, B1, C1 vuông góc với OI (đpcm)

Bài toán 2.10 Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Gọi (I), (Ia) lần lượt

là đường tròn nội tiếp và bàng tiếp góc A Giả sử đường thẳng IIa giao

BC và (O) lần lượt tại A1, M Gọi N là trung điểm cung M BA Đoạn

N I, N Ia giao đường tròn (O) lần lượt tại S, T Chứng minh rằng S, T, A1

Mặt khác, ∠IBIa =∠ICIa = 900 nên tứ giác IBIaC nội tiếp (w2).

Ta thấy IIa là trục đẳng phương của (w1) và (w2),

BC là trục đẳng phương của (O) và(w2),

T S là trục đẳng phương của (O) và (w1)

Theo định lý về tâm đẳng phương thì IIa, T S, BC đồng quy tại A1

Vậy T, A1, S thẳng hàng (đpcm)

Bài toán 2.11 Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H, nội tiếp đườngtròn(O).Đường thẳng CH cắt AB tạiD.Đường thẳng qua điểmD vuônggóc với OD, cắt đường thẳng BC tại E Đường tròn ngoại tiếp tam giác

BCH cắt đường thẳng AB tại F (F không trùng B) Chứng minh bađiểm E, F, H thẳng hàng

Lời giải

Gọi I, J lần lượt là giao điểm của đường thẳng DE với đường tròn

(ABC), điểm I và A nằm cùng phía đối với BC Vì OD⊥IJ nên D làtrung điểm IJ

Ta có ∠DCF = ∠DBH = 900 − ∠BAC = ∠DCA nên D là trungđiểm AF, vậy tứ giác AIF J là hình bình hành, suy ra ∠IF J =∠IAJ

Gọi K là giao điểm đường thẳng CD với đường tròn (ABC) (K khác

C),thì D là trung điểm HK, do đó tứ giácIKJ H là hình bình hành, nên

BC và IJ là tâm đẳng phương ba đường tròn (ABC), (BHC) và (IHJ )

Do đó điểm E nằm trên F H là trục đẳng phương hai đường tròn

Bài toán 2.12 (IMO 2008) Cho tam giácABC,trực tâmH.GọiM1, M2, M3

lần lượt là trung điểm BC, CA, AB Và đường tròn tâm M1, bán kính

M1H cắt BC tại hai điểm A1, A2, đường tròn tâm M2, bán kính M2H cắt

AC tại hai điểm B1, B2, đường tròn tâm M3, bán kính M3H cắt AB tạihai điểm C1, C2 Chứng minh rằng A1, A2, B1, B2, C1, C2 cùng thuộc mộtđường tròn

Lời giải DoM1M2 k AB mà AB ⊥ HC nên M1M2 ⊥ HC Suy ra HC

là trục đẳng phương của(M1) và (M2) Vì vậyCA1× CA2 = CB1× CB2

Từ đó A1, A2, B1, B2 thuộc đường tròn (W1)

Tương tự, A1, A2, C1, C2 thuộc đường tròn (W2), C1, C2, B1, B2 thuộcđường tròn (W3).

Nếu sáu điểm A1, A2, B1, B2, C1, C2 không cùng thuộc một đường trònthì các trục đẳng phương của ba đường tròn (W1), (W2), (W3) phải đồngquy tại một điểm, nhưng chúng lại cắt nhau tại A, B, C nên vô lý Vậy ta

nằm trên đoạn thẳngKL sao cho ∠AP B = ∠BCD và ∠CQD =∠ABC

Chứng minh rằng bốn điểm P, Q, B, C cùng thuộc một đường tròn

Lời giải