Phép quay và ứng dụng

Hình học là môn học khó đối với bất kì sinh viên nào, bởi vì tính chặtchẽ, logic và tính trìu tượng của hình học cao hơn các môn học khác.Các phép biến hình sơ cấp là một phần khá hay và

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Lụa

PHÉP QUAY VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Hình Học

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Nguyễn Năng Tâm

Hà Nội – Năm 2016

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Năng Tâm đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành

đề tài này.

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài thực tập này.

Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016

Sinh viên Nguyễn Thị Lụa

Khóa luận tốt nghiệp này là kết quả của quá trình học tập, nghiên cứu của em dưới

sự chỉ bảo, dìu dắt của các thầy cô giáo, đặc biệt là sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy Nguyễn Năng Tâm.

Em xin cam đoan Khóa luận tốt nghiệp với tên đề tài: "Phép quay và ứng dụng" không có sự trùng lặp với các khóa luận khác.

Hà Nội, 04 tháng 05 năm 2016

Sinh viên Nguyễn Thị Lụa

Lời mở đầu 1

1.1 Không gian Ơclit 3

1.2 Định hướng 3

1.2.1 Định hướng trên đường thẳng 3

1.2.2 Định hướng trong mặt phẳng 4

1.2.3 Định hướng trong không gian 7

1.3 Phép biến hình 9

1.3.1 Các khái niệm về phép biến hình 9

1.3.2 Phép biến hình afin 10

1.3.3 Phép biến hình đẳng cự 12

2 Phép Quay 14 2.1 Phép quay quanh một điểm trong mặt phẳng 14

2.1.1 Định nghĩa 14

2.1.2 Tính chất 15

2.2 Phép quay quanh trục trong không gian 20

2.2.1 Định nghĩa 20

2.2.2 Tính chất 202.3 Phép quay quanh (n − 2)- phẳng 22

3 Ứng dụng phép quay vào giải một số bài toán hình học 233.1 Phép quay và bài toán tính toán 233.1.1 Bài toán tính toán 233.1.2 Giải bài toán tính toán nhờ phép biến hình 233.2 Phép quay và bài toán quỹ tích 273.2.1 Bài toán quỹ tích 273.2.2 Giải bài toán quĩ tích nhờ phép biến hình 283.3 Phép quay với bài toán dựng hình 323.3.1 Bài toán dựng hình 323.3.2 Giải bài toán dựng hình nhờ phép biến hình 333.4 Phép quay với bài toán chứng minh 383.4.1 Bài toán chứng minh 383.4.2 Giải bài toán chứng minh nhờ phép biến hình 39

Lời mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Toán học có vai trò quan trọng trong đời sống thực tiễn cũng nhưtrong nghiên cứu khoa học Toán học là cơ sở, nền tảng để nghiên cứucác môn khoa học khác Bất kì một sinh viên khoa toán nào cũng đều

có niềm say mê nghiên cứu toán học

Hình học là môn học khó đối với bất kì sinh viên nào, bởi vì tính chặtchẽ, logic và tính trìu tượng của hình học cao hơn các môn học khác.Các phép biến hình sơ cấp là một phần khá hay và quan trọng của hìnhhọc, nó là một công cụ hữu ích, thể hiện tính ưu việt trong giải toánhình học

Phép quay là một trong những phép biến hình sơ cấp được vận dụnglinh hoạt trong việc giải các bài toán dựng hình, bài toán chứng minh,bài toán tính toán, bài toán quỹ tích Tuy nhiên, việc ứng dụng phépquay để giải các bài toán đó không phải việc dễ dàng Bằng những kiếnthức đã học cùng với sự say mê, tìm tòi, ham học hỏi và niềm yêu thíchmôn hình học nên em đã lựa chọn nghiên cứu một mảng nhỏ của hìnhhọc với tên đề tài: “Phép quay và ứng dụng ”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về phép quay và ứng dụng của nó trong giải các bài toánhình học trong không gian En

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

+ Trình bày cơ sở lý thuyết về phép quay

+ Các ví dụ minh họa thể hiện ứng dụng của phép quay trong việcgiải các lớp bài toán hình học cơ bản và nâng cao.

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu: Ứng dụng của phép quay

+ Phạm vi nghiên cứu: Do điều kiện về trình độ và thời gian, em chỉnghiên cứu một số bài toán hình học cơ bản có thể áp dụng phép quaytrong quá trình giải

5 Phương pháp nghiên cứu

+ Nghiên cứu dựa trên cơ sở lý thuyết về phép quay

+ Nghiên cứu sách giáo trình hình học, các tạp trí toán học và cáctài liệu có liên quan đến phép quay

6 Cấu trúc khóa luận

Khóa luận gồm 3 phần

Mở đầu

Nội dung gồm 3 chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bịChương 2: Phép quay

Chương 3: Ứng dụng của phép quay vào giải một số bài toánhình học

Kết luận

Kiến thức chuẩn bị

Không gian Ơclit là không gian afin liên kết với không gian véctơƠclit hữu hạn chiều

Không gian Ơclit sẽ gọi là n chiều nếu không gian véctơ Ơclit liên kếtvới nó có số chiều bằng n

Không gian Ơclit thường được kí hiệu là E, không gian véctơ Ơclitliên kết với nó được kí hiệu là ~E

Ví dụ: Không gian Ơclit thông thường E3 học ở phổ thông

Độ dài đại số

Cho đường thẳng a có định hướng và hai điểm A, B thuộc a Ta gọi

độ dài đại số của AB, kí hiệu là AB là một số có trị số là khoảng cáchgiữa hai điểm A và B mang dấu dương nếu AB cùng hướng với hướngdương của a, mang dấu âm trong trường hợp ngược lại

Hệ thức Salơ

Trên đường thẳng a đã định hướng cho các điểm A1, A2, ,An khi

đó ta có hệ thức:

A1A2 + A2A3 + · · · + An−1An = A1Angọi là hệ thức Salơ

1.2.2 Định hướng trong mặt phẳng

Định nghĩa

Trong mặt phẳng cho điểm O thì xung quanh O có hai chiều quay;nếu ta chọn một chiều làm chiều dương và chiều còn lại làm chiều âm,thì ta nói rằng ta đã định hướng được mặt phẳng

Thông thường ta chọn chiều quay xung quanh O ngược chiều kimđồng hồ làm chiều dương, chiều ngược lại làm chiều âm

Góc định hướng giữa hai tia

Cho hai tia OA, OB Góc định hướng giữa hai tia OA và OB làhình gồm hai tia OA và OB và một trong hai tập hợp do hai tia đó phân

hoạch mặt phẳng ra; đồng thời giữa hai tia OA và OB ta qui ước tia nào

là gốc(tia đầu) Tia nào là tia cuối

Kí hiệu: (OA, OB) hay (OA,OB)

Dễ thấy với hai tia OA và OB có hai góc định hướng tạo bởi hai tia.Nhận xét: Nếu α là một giá trị của góc định hướng tạo bởi hai tia OA

(OA1, OA2) + (OA2, OA3) + · · · + (OAn−1, OAn) = (OA1, OAn) + 2kπ

Góc định hướng giưã hai đường thẳng

*Trong mặt phẳng được định hướng, cho hai đường thẳng a và b

Hình 1.1:

Nếu a ∩ b = O thì mỗi đường thẳng bị O chia làm hai tia và ta địnhnghĩa:

Góc định hướng giữa hai đường thẳng a và b là góc định hướng giữahai tia ai và bi (i=1,2).

Kí hiệu: (a,b)

*Trong không gian:

Nếu a không cắt b (chéo nhau hoặc song song) thì ta xét hai tia cùngxuất phát từ một điểm trong không gian theo thứ tự song song với cácđường thẳng đã cho Khi đó đối với những góc do chúng tạo thành, cóthể chứng minh được rằng: với mọi cách chọn điểm và tia như vậy, taluôn có hoặc là những góc bằng nhau hoặc là những góc bù nhau thànhmột góc bẹt hay đầy Một đại diện bất kì của lớp vô số các góc phẳngtạo thành bằng cách đó được xem là góc giữa hai đường thẳng đã cho.Vậy: góc định hướng giữa hai đường thẳng không cắt nhau là gócđịnh hướng giữa hai tia xuất phát từ một điểm chung theo thứ tự songsong với các đường thẳng đã cho

*Nhận xét: Nếu α là một giá trị của góc định hướng giữa hai đườngthẳng a và b thì các giá trị α0 của nó có dạng:

α0 = α + kπ (k ∈ Z)

*Hệ thức Salơ: Trong mặt phẳng đã được định hướng cho các đườngthẳng a1, a2, , an cắt nhau tại O Khi đó ta có:

(a1, a2) + (a2, a3) + · · · + (an−1, an) = (a1, an) + kπ

1.2.3 Định hướng trong không gian

Tập hợp hai nửa mặt phẳng cùng xuất phát từ một đường thẳng phânhoạch không gian ra làm hai phần Góc nhị diện là tập hợp hai nửa mặtphẳng cùng xuất phát từ một đường thẳng và một trong hai phần củakhông gian do hai nửa mặt phẳng đó phân hoạch ra Đường giới hạn gọi

là cạnh của nhị diện

Góc phẳng nhị diện là góc có đỉnh nằm trên cạnh nhị diện còn cạnhcủa nó nằm trên(thuộc) các mặt của góc nhị diện và tương ứng đềuvuông góc với các cạnh của nhị diện

+ Góc nhị diện định hướng

Góc nhị diện định hướng là góc có phân biệt thứ tự các mặt

Hình 1.2:

Góc tam diện định hướng

+ Góc đa diện(góc đa diện hai chiều)

Góc đa diện là một tập hợp sắp thứ tự gồm một số hữu hạn các gócphẳng có định hướng A1SA2, A2SA3, , AnSA1, cùng chung một đỉnh,sắp xếp trong không gian sao cho cạnh cuối của mỗi góc là cạnh gốc củagóc đi liền sau và cạnh cuối của góc đi sau cùng trùng với cạnh gốc củagóc đầu tiên

Các góc phẳng tạo nên góc đa diện gọi là các diện của nó, đỉnh chung

củ chúng gọi là đỉnh góc đa diện, các cạnh của chúng gọi là các cạnh củagóc đa diện

Góc đa diện gọi là đơn (không tự cắt) nếu mỗi điểm của nó, ngoàiđỉnh ra, hoặc là thuộc chỉ một diện, hoặc là chỉ thuộc hai diện khi làđiểm trên cạnh chung hai diện đó

Góc đa diện không đơn gọi là góc đa diện sao

+ Góc đa diện ba chiều

Có thể chứng minh được rẳng mỗi góc đa diện đơn là (hai chiều) phân

hoạch không gian thành hai phần Góc đa diện đơn hai chiều cùng vớimột trong hai phần đó được gọi là góc đa diện đơn ba chiều.

+ Góc tam diện định hướng

Góc đa diện có ba mặt gọi là góc tam diện

Cho góc tam diện O(x,y,z) Trên Ox, Oy, Oz lần lượt lấy ba điểm A,

B, C và theo chiều A→B→C Ta định hướng mặt phẳng (ABC) và phíacủa không gian chứa nó

Góc tam diện O(x,y,z) là âm hay dương tùy theo chiều A→B→C là

âm hay dương (ta chọn chiều quay theo chiều ngược kim đồng hồ làchiều dương) Khi đó ta nói rằng góc tam diện O(x,y,z) đã được địnhhướng

Nhận xét: Góc tam diện không đỏi hướng nếu ta hoán vị vòng quanh

ba tia

Góc tam diện sẽ đổi hướng nếu ta hoán vị vòng quanh hai trong ba tia

1.3.1 Các khái niệm về phép biến hình

Định nghĩa 1.1 Một song ánh f : En → En được gọi là một phép biếnhình của En

Định nghĩa 1.2 Giả sử f và g là hai phép biến hình của En đã cho, dễthấy ánh xạ tích của f và g cũng là một song ánh của En vào En Ta gọiphép biến hình đó là phép biến hình tích của f và g

Định nghĩa 1.3 Phép biến hình f của En được gọi là phép biến hìnhđối hợp nếu f2 = Id, dễ thấy lúc đó ta có f và phép biến hình nghịch đảocủa f là f−1 trùng nhau.

Ví dụ: Phép quay quanh một điểm; phép quay quanh trục

Định nghĩa 1.4 Cho phép biến hình f của En Điểm M ∈ En đượcgọi là điểm bất động (điểm kép, điểm tự ứng) của phép biến hình f nếu

Chứng minh Thật vậy, nếu phép biến hình f của En là phép afin thì

f biến đường thẳng thành đường thẳng Do vậy nó biến ba điểm thẳng

hàng thành ba điểm thẳng hàng.

Xét bộ ba điểm A, B, C không thẳng hàng của En và gọi A0, B0, C0 tươngứng là ảnh của A, B, C qua f Ta phải chứng minh A0, B0, C0 không thẳnghàng Ta chứng minh phản chứng Giả sử A0, B0, C0 thẳng hàng, ta có f

là phép afin nên f biến đường thẳng AB thành đường thẳng A0B0 Vậytồn tại D nằm trên AB để f(D)=C0 Do D, C phân biệt điều này vô lý

do f(D)=C0=f(C) và f là song ánh

Điều này vô lý nên ta kết luận: A0, B0, C0 không thẳng hàng

Ngược lại: Nếu f biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng vàbiến ba điểm không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng đượcchứng minh dễ dàng gần như hiển nhiên

Tính chất

Tính chất 1: Phép afin trong E3 biến mặt phẳng thành mặt phẳng.Tính chất 2: phép afin bảo toàn tính song song của hai đường thẳng.Tính chất 3: Phép afin bảo toàn sự bằng nhau của các đoạn thẳng địnhhướng

Tính chất 4: Phép afin biến vectơ tổng thành tổng các vectơ tương ứng.Tính chất 5: Phép afin bảo tồn tỷ số đơn của ba điểm thẳng hàng

+ Trong E2, phép đẳng cự xác định bởi hai tam giác bằng nhau.

+ Trong E3, phép đẳng cự xác định bởi hai tứ diện bằng nhau Trong

đó hai tứ diện được gọi là bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương ứngbằng nhau

Phân loại

Phép đẳng cự được gọi là phép dời hình nếu nó là phép afin loại 1.Ngược lại ta gọi phép đẳng cự là phép phản chiếu

OM = OM0 và (OM , OM0) = α gọi là phép quay tâm O với góc quay

α Kí hiệu: QαO hoặc Q(O, α)

Ta thường chọn α sao cho −π ≤ α ≤ π

* Chú ý: Theo định nghĩa phép quay Q(O, α) nếu α = 0 nó trở thànhphép đồng nhất, còn nếu α = π hoặc α = −π thì nó là phép đối xứngtâm O

⇒ 4OM N = 4OM0N0(c.g.c)

⇒ M N = M0N0

Vậy Q(O, α) là phép dời hình(đpcm)

Nếu A0, B0 là ảnh của các điểm A, B trong phép quay Q α

O , thì A0B0 = AB và góc định hướng tạo bởi hai tia AB, A0B0 bằng α : ( \ AB, A 0 B 0 ) = α(0◦ ≤ α ≤ 180 ◦ )

Chứng minh - Ta xét trường hợp điểm A trùng với tâm quay O Trườnghợp này A là điểm bất động, B → B0 do đó AB = A0B0 và chiều quaycủa tia AB quanh điểm A đến trùng với tia A0B0 là chiều dương vì vậy

( \AB, A0B0) = α.

- Trường hợp A và B không trùng với O Trong trường hợp này ta có

( \OA, OA0) = ( \OB, OB0) = α, OA = OA0, OB = OB0

Theo hệ thức Sáclơ đối với góc định hướng ta có

( \OA, OB)+( \OB, OA0) = ( \OB, OA0) = ( \OA0, OB0) ⇔ ( \OA, OB)+( \OA0, OB0)

Ta thấy 4AOB = 4OA0B0(c.g.c), do đó AB = A0B0 Gọi S là gốc

chung của hai tia cùng chiều với các tia AB và A0B0 Vì bốn điểm

O, B, S, B0 (hoặc O, A, S, A0) cùng nằm trên một đường tròn, nên

( \SA, SA0) = α (hoặc ( \SB, SB0) = α)

Phép quay Q(O, α) (α 6= k2π, k ∈ Z) có một điểm bất động duy nhất và là

phép biến đổi 1-1.

Chứng minh

Theo định nghĩa ta có O là điểm bất động của Q(O, α) Giả sử O0

cũng là điểm bất động của Q(O, α), (O 6≡ O0) thì góc tạo bởi OO0 và

chính nó bằng α, nghĩa là α = 0 (mâu thuẫn giả thiết α 6= k2π, k ∈ Z)

Điều đó chứng tỏ không có điểm O0 hay Q(O, α) có điểm bất động

Chứng tỏ M1 ≡ M2.

Phép quay Q(O, α) biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo tồn thứ tự của chúng.

Chứng minh

Theo tính chất 1 phép quay Q(O, α) là phép dời hình Do đó nếu

A0, B0, C0 lần lượt là ba ảnh của ba điểm thẳng hàng A, B, C thì A0, B0, C0thẳng hàng theo thứ tự đó

*Hệ quả: Phép quay Q(O, α) biến:

• Một đường thẳng d thành đường thẳng d0 và góc định hướng (d, d0)bằng α, d ⊥ d0 khi α = ±90◦

• Biến tia Sx thành tia S0x0 và góc tạo bởi hai tia đó bằng α

• Biến đoạn P Q thành đoạn P0Q0 và P Q = P0Q0

• Biến góc dxSy thành góc \x0S0y0 và hai góc dxSy = \x0S0y0

• Biến đường tròn (I, R) thành đường tròn (I0, R0)

Tích của hai phép quay là một phép tịnh tiến hoặc là một phép quay

Nếu M 6≡ I thì theo tính chất của phép đối xứng trục ta có







IM = IM0 = IM00(IM , IM00) = (IM , IM0) + (IM , IM00) = 2(a, a0)

Vậy Q2(a,aI 0) = Đa0 ◦ Đa

Chứng minh tính chất:

Gọi b là đường thẳng qua O và O0

Dựng đường thẳng a qua O và (a, b) = β

2Dựng đường thẳng a0 qua O0 và (b, a0) = α

2Khi đó ta có:

⇒ QαO0 ◦ QβO = Đa 0 ◦ Đa = QI

*Chú ý: 4IOO0 thường được gọi là tam giác quay

2.2.1 Định nghĩa

Trong không gian E3 cho trục d và góc phẳng định hướng

ϕ (0◦ < ϕ < 180◦) Phép biến hình của E3 cho tương ứng mỗi điểm Mvới điểm M0 thỏa mãn:

• Hai điểm M, M0 nằm trên mặt phẳng (P ) vuông góc với d tại O

Q(d, ϕ): M 7→ M0 Với M, M0 ∈ (α), trong đó (α) ⊥ d và (α) cắt dtại O.

Q(d, ϕ): N 7→ N0 Với M, M0 ∈ (β), trong đó (β) ⊥ d và (α) cắt d tạiI

Ta cần chứng minh M N = M0N0 hay M N2 = M0N02

Giả sử N1 ∈ (α) sao cho −−→ON1 = −→

IN Khi đó thuộc giao tuyến của mặt phẳng (γ) qua N và d cắt mặt phẳng(α)

Vậy phép quay quanh trục là phép dời hình.(đpcm)

Hệ quả

Phép quay Q(d, ϕ) biến:

+ 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng

+ Đường thẳng thành đường thẳng

+ Tia thành tia

+ Tam giác thành tam giác bằng nó

+ Góc thành góc bằng nó

+ Mặt cầu (I, R) thành mặt cầu (I0, R)

Phép quay Q(d, ϕ) là phép đối hợp khi và chỉ khi ϕ = k.180◦(k ∈ Z)

Phép quay Q(d, ϕ) giữ bất động mọi điểm của trục d tức d là đường thẳng bất động

Một phép dời f : En → En gọi là phép quay quanh (n − 2)- phẳng

β nếu f biến các điểm của β thành chính nó