Ung dung cua tich phan trong hinh hoc

Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đờng: a.. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng: a.. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng: a.. Tính thể tích của vật thể tròn

Trang 1

Bài 3: ứng dụng của tích phân.

A Tóm tắt lý thuyết:

I Diện tích hình phẳng:

1 Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đờng cong (C): y = f(x), trục Ox và hai đờng thẳng x = a, x =

b, (a < b) là: S f x dx

b

a



 ( )

2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đờng cong (C1): y = f(x), (C2): y = g(x) và hai đờng thẳng x = a, x

= b (a < b) là: S f x g x dx

b

a

 ( ) ( )

II Thể tích vật thể tròn xoay:

1 Thể tích vật thể tròn xoay quanh trục Ox:

 Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi đờng cong (C): y = f(x), trục Ox và 2 đờng thẳng x = a, x

= b Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi (H) quay quanh trục Ox là:





b

a

b

a

dx x f dx

y

 Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi 2 đờng cong (C1): y = f(x), (C2): y = g(x) (f(x), g(x) cùng dấu)

và 2 đờng thẳng: x = a, x= b Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi (H) quay quanh trục Ox là:

 





b

a

b

a

dx x g x

f dx

y y

2

1  [ ( )] ( )



2 Thể tích vật thể tròn xoay quanh trục Oy:

 Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi đờng cong (C): x = g(y), trục Oy và 2 đờng thẳng y = a, y

= b Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi (H) quay quanh trục Oy là:





b

a

b

a

dy y g dy

x

 Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi đờng cong (C1): x = f(y) ; (C2): x2 = g(y) (f(y), g(y) cùng dấu)

và 2 đờng thẳng y = a, y = b Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi (H) quay quanh trục Oy là:

 





b

a

b

a

dy y g y

f dy

x x

2

1  [ ( )] ( )



B Bài tập:

Diện tích hình phẳng:

1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng sau:

a) x0,x1,y0,y5x43x23;

b) , , 0, cos ;

2

c) yln ,x y0,x e ;

d) xy y3, 1,x8;

e) y x 21,x y 3;

f )y x 22,y3 ;x

g) y4x x y 2, 0;

h) y x x ( 1)(x 2),y0

Trang 2

i)

2

2 10 12

2

y

x

 



 và đờng thẳng y = 0.

2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng

a) xy4,y0,x a x , 3a (với a > 0);

b) y e y e x; x,x 1

3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đờng:

a x = 0, x =

2

1 , trục Ox, 4

1 x

x y



b x = - 2, x = 2, y = - x3 + 3x +1, y = x2 + x + 1

c x = 1, x = e, y = 0, y =

x

ln

d x = - 1, x = 2, y = xex, trục Ox

4 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng:

a y = - x và y = 2 – x2

b y = 5 – x và y = x2 – 2x + 3

c y = x2 – 2x + 2 và y = - x2 – x + 3

d y = x3 – x2 – 8x + 1 và y = – x2 – 7x – 1

a (C): y = x3 – 3x và tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x =

2

1



b (P): y =

2

1

x2 – 2x + 4 và các tiếp tuyến của (P) kẻ từ M(

2

5

; 1)

c (P): y = x2 – 4x + 5 và các tiếp tuyến của (P) kẻ từ 2 điểm A(1; 2), B(4; 5)

d (C): y = x3 – 2x2 + 4x – 3, trục Ox và tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 2

e y = 2

4  x

 , x2 + 3y = 0

f y = x2,

27

2

x

y27

g (P): y2 = 2x và (C): x2 + y2 = 8

6 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parapol y x 2 2x , tiếp tuyến với nó tại điểm M(3;5) và2 trục tung

7 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol yx24x 3 và tiếp tuyến của nó tại các điểm

1(0; 3)

M  và M2(3;0)

8 Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số yx2 4x3 và đờng thẳng yx 3

9 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng sau:

x

     và x = e;

b) y x 3 x2và 1

( 1);

9

c) y 1 1 x2 và y x 2

Thể tích khối tròn xoay:

1 Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đờng sau đây khi nó quay xung quanh trục Ox:

a) cos , 0, 0, ;

4

b) ysin ,2x y0,x0,x  ;

c) ,2 0, 0, 1;

x

Trang 3

d) y2x x 2 ,y và x = 3;0

e) y0,y2x x 2

2 Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đờng:

a) 12 ,2 0, 1, 2

x

b) yln ,x x1,x2,y khi nó quay xung quanh trục Ox;0

c) y2 x y3, 0,x khi nó quay xung quanh 1

-Trục Ox

-Trục Oy

3 Tính thể tích các hình tròn xoay tạo nên do hình phẳng giới hạn bởi các đờng sau quay quanh Ox:

a y = x3 + 1, y = 0, x = 0, x = 1

b y = x.lnx, y = 0, x = 1, x = e

c y = – 3x2 + 3x + 6, y = 0

d y = lnx, y = 0, x = 1, x = 2

e x2 + (y – 1)2 = 4, trục Ox

f x2 + y – 5 = 0, x + y – 3 = 0

g y = x2, y = x

4 Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đờng y2x2 và 3

y x xung quanh Ox

5 Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đ ờng sin , 0, 0,

4

y x y  x x khi nó quay xung quanh trục Ox

6 Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi các đờng: y = tgx, x = 0, x =

3



, y = 0

a Tính diện tích của (D)

b Tính thể tích hình tròn xoay sinh ra khi (D) quay quanh Ox

7 Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình D giới hạn bởi các đờng 0, sin cos , 0,

x

y y x x x Tính thể tích V của khối tròn xoay khi cho hình D quay xung quanh trục Ox

8 Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi (P): y = - x2 + 4x và trục hoành

a Tính thể tích hình tròn xoay sinh ra khi (D) quay quanh Ox

b Tính thể tích hình tròn xoay sinh ra khi (D) quay quanh Oy

9 Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi (P): y2 = 8x và đờng thẳng x = 2

10 Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi (P): y = x và đờng thẳng y = 2

11 Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi (P): y = x2 và đờng thẳng (d) qua A(1; 4) có hệ số góc k Xác định

k để (D) có diện tích nhỏ nhất

12 Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình elip

2 2

2 2 1,

a b  khi nó xung quanh trục Ox.

CáC Đề THI ĐạI HọC CAO ĐẳNG

1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng có PT:

2 2; ; 1; 0

2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P): yx24x và đờng thẳng d: y = x

Trang 4

(CĐ khối A, B, D năm 2008)

3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đờng cong (C): 3 1

1

x y x

 



 và hai trục toạ độ.

(ĐH, CĐ - D – 2002)

2 4

4

x

2

4 2

x

2 4 3 , 3

yx  x y x  (ĐH, CĐ - A – 2002)

6 Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đờng: y x ln ,x y0,x e Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox (ĐH, CĐ - B – 2007)

( 1) , (1 x)

y e x y e x (ĐH, CĐ - A – 2007)

Định dạng
Số trang	4
Dung lượng	164,5 KB