Ứng dụng của phép quay trong giải toán hình học

Phép biến hình là một phương pháp giải toán hình học bằng cách làm thay đổi nội tại một hình hoặc thay đổi vị trí của hình để tìm ra lời giải.. Tuy nhiên vì phải tập trung cho hình học k

Phép biến hình là một phương pháp giải toán hình học bằng cách làm thay đổi nội tại một hình hoặc thay đổi vị trí của hình để tìm ra lời giải Như vậy, phép biến hình

là một công cụ đắc lực trong giải toán hình học Nó giúp lời giải trở nên gọn gàng, thẩm mỹ và giảm bớt việc phụ thuộc vào hình vẽ

Tuy nhiên vì phải tập trung cho hình học không gian mà nội dung này ở các trường phổ thông vẫn còn bị bỏ ngỏ, hoặc chỉ được tiếp cận một cách sơ sài bằng phương pháp toạ độ trong mặt phẳng Điều này khiến cho người học mất dần hứng thú và sáng tạo trong hình học

Chính vì lẽ đó, bài tiểu luận này – mặc dù chỉ được thực hiện trong 2 tuần lễ – cũng cố gắng truyền tải đến người đọc cái hay, cái đẹp thực sự của phép dời hình, mà

ở đây cụ thể là phép quay, khi được vận dụng vào các bài toán hình học thuần tuý, chứ không chỉ đơn thuần là tính toán một cách máy móc

Vì thời gian gấp rút và khuôn khổ có giới hạn nên chắc hẳn việc nghiên cứu vẫn chưa có chiều sâu Do đó, chúng tôi tạm chia tài liệu thành 3 phần với nội dung như sau:

 Phần I: Nhắc lại định nghĩa và những tính chất căn bản của phép quay

 Phần II: Cung cấp cho người đọc biểu thức toạ độ của phép quay trong mặt

phẳng

 Phần III: Ứng dụng của phép quay trong giải toán hình học

1 Đưa ra một số bài toán “kinh điển” để làm quen với việc ứng dụng phép quay

2 Nêu các định lý hình học nổi tiếng (Pompeiu; Thébault I, II; Van Aubel…) cùng với cách chứng minh chuẩn mực bằng phép quay

Cuối cùng nhóm thực hiện xin được chân thành cảm ơn TS Trần Nam Dũng đã đầu tư tâm sức cho những giờ giảng môn HÌNH HỌC SƠ CẤP thêm phần sinh động, thú vị cũng như đã truyền cho nhóm cảm hứng để hoàn thành đề tài này

“Không có bài toán nào không giải được Chúng ta phải biết và sẽ biết.” – David Hilbert

TP.HCM, tháng 5 năm 2014

Nhóm thực hiện

PHÉP QUAY VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG ĐIỂN HÌNH

I ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP QUAY

1 ĐỊNH NGHĨA

Trong mặt phẳng cho một điểm O cố định và góc lượng giác  khổng đổi Phép quay tâm O với góc quay  là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ được xác định bởi:

 Nếu M O thì M'O

 Nếu M O thì OM'OM và OM OM, '

o Phép quay tâm O với góc quay  được ký hiệu là RO, hoặc R O (R là viết tắt

của từ Rotation: sự quay)

2 TÍNH CHẤT

 Phép quay là một phép dời hình nên nó có đầy đủ các tính chất của phép dời hình:

 Là phép biến đổi 1 – 1 (song ánh)

 Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bào toàn thứ tự của chúng

 Biến góc thành góc có cùng số đo

 Biến một hình (đoạn thẳng, đa giác, đường tròn,…) thành hình bằng nó

 Ngoài ra, phép quay còn có tính chất đặc trưng:

 Nếu phép quay tâm O, góc quay  biến hai điểm M, N lần lượt thành hai điểm M’, N’ thì theo định nghĩa ta có MN M N, ' ' nên hai đường thẳng MN, M’N’ tạo thành một góc bằng và một góc bằng  

 Đảo lại, nếu có hai đoạn thẳng MN và M’N’ bằng nhau nhưng không song song với nhau thì tồn tại duy nhất một phép quay biến M, N tương ứng thành M’, N’ Trong đó, tâm O của phép quay trên là giao điểm của hai

đường trung trực của MM’ và NN’, góc quay bằng góc giữa hai vector MN

và M N ' '

II BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA PHÉP QUAY

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Descartes Oxy, cho điểm M x y Gọi , M 'x y ', '

là ảnh của M qua phép quay tâm O, góc quay  Thế thì:

' cos sin ' sin cos



sin cos '





III ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC

1 VÀI BÀI TOÁN MỞ ĐẦU

Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A, các điểm D, E lần lượt thay đổi trên các cạnh AB,

AC sao cho BD = AE Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE luôn qua một điểm cố định

Giải

Gọi O là giao điểm hai đường trung trực của AB và DE

Do BD = AE và BD không song song AE nên tồn tại phép quay tâm O biến B 

A, D  E Khi đó, OAB và ODE là hai tam giác cân đồng dạng nên

giác của góc A (và cũng là trung trực của BC)

Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE luôn qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài 2: Cho tam giác ABC Dựng ra phía ngoài của tam giác các hình vuông ABXY,

ACZT Gọi K, J lần lượt là tâm của hai hình vuông trên và I, H lần lượt là trung điểm của BC và YT Chứng minh rẳng IJHK là cũng hình vuông

Giải

Dễ thấy ABY và ACT là hai tam giác vuông cân tại A Do đó, phép quay R A90

biến Y  B, C  T nên CY = BT và CY  BT

Mặt khác, IK và IJ lần lượt là đường trung bình của tam giác CBY và tam giác BCX nên IK = IJ và IK  IJ hay tam giác IJK vuông cân tại I (1)

Tương tự đối với tam giác AYT, ta cũng có HJK là tam giác vuông cân tại H (2)

Từ (1) và (2) ta có ngay IJHK là hình vuông (ĐPCM)

Bài 3: Cho tam giác ABC Dựng ra phía ngoài của tam giác các tam giác đều ABC’

và ACB’ Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, M là trung điểm cạnh BC Chứng minh tam giác MGB’ là tam giác vuông và hơn thế nữa, MB’ = MG 3

Giải

Thực hiện phép quay R B60' biến A  C, G  G’ Khi đó, AG = CG’ và

AG CG, ' 60

   Mặt khác, ta cũng có AG = GB vàAG GB,  60 nên suy ra

GB = CG’ và GB // CG’ hay tứ giác GBG’C là hình bình hành, dẫn tới M cũng là trung điểm GG’

Tam giác đều B’GG’ có M là trung điểm GG’ nên MB’  MG và

'

tan 60 3

MB

MG    , tức là MGB’ là tam giác vuông và MB’ = MG 3 (ĐPCM)

Bài 4: Cho hình vuông ABCD Trên hai cạnh BC, DC lần lượt lấy M, N sao cho

45

MAN

   Chứng minh rằng CM + MN + NC không phụ thuộc vào vị trí M, N

Giải

Gọi a là cạnh của hình vuông ABCD, thế thì ta có nhận xét sau:

Nếu cho M  C thì N  D và khi đó, CM + MN + NC = 2a = BC + CD, tức là

MN = BM + DN

Vậy ta thực hiện phép quay R A90 biến B  D, M M’ thì BM = DM’ và M’, C,

D thẳng hàng

Hơn nữa, AM = AM’ và NAM' 90     45 45 nên hai tam giác MAN và

M’AN bằng nhau (c.g.c)  MN = M’N Mà M’N = DM’ + DN nên MN = BM + DN (ĐPCM)

Bài 5: Cho phép quay R O và điểm S cố định khác O Với mỗi điểm A, phép quay trên biến A thành A’ sao cho AA’ đi qua S Tìm tập hợp điểm A

Giải

 Phần thuận:

Gọi S’ là ảnh của S qua phép quay R O Ta cũng có A’ là ảnh của A qua R O nên theo tính chất của phép quay thì SA S A, ' '   OS OS, '

Hơn nữa vì A, A’, S thẳng hàng nên A’ thuộc đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác OSS’ Mà R O biến A’ thành A nên A thuộc đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép quay tâm O, góc quay 

 Phần đảo:

Giả sử A  (C’), ta chứng minh A, A’, S thẳng hàng

Trước hết, vì A  (C’) nên A’ (C) Khi đó, theo tính chất của tứ giác nội tiếp thì

SA S A', ' ' SOS' 

    Mặt khác, ta cũng có SA S A, ' ' Do đó A, A’, S thẳng hàng

 Kết luận: Vậy tập hợp điểm A là đường tròn (C’)

Bài 6: Cho góc aOb và điểm M nằm trong góc đó Tìm trên các cạnh Oa, Ob các điểm

A, B sao cho OA = OB và MA + MB đạt GTNN

Giải

Đặt   a bO

Với phép quay R O biến M  N, B  A thì ta luôn có N cố định và MB = NA

Do đó MA + MB = AM + AN  MN không đổi

Vậy MA + MB đạt GTNN bằng MN khi A trùng với A0 là giao điểm của MN và

Oa, còn B0 là ảnh của A0 qua phép quay R O

2 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ TIÊU BIỂU VỀ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP QUAY

Bài 7: (Định lý Pompeiu) Trong mặt phẳng, cho tam giác đều ABC và một điểm M

bất kỳ khác A, B, C Chứng minh rẳng tồn tại một tam giác với độ dài các cạnh là

MA, MB, MC Ngoài ra, tam giác này suy biến thành đoạn thẳng nếu M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Giải

Giả sử tam giác đều ABC có thứ tự vòng tròn các đỉnh ngược chiều kim đồng hồ

Dễ thấy, với phép quay R B60 biến C  A, M  N thì MC = NA Hơn nữa, do BMN là tam giác đều nên MB = MN Vậy MA, MB, MC là độ dài ba cạnh của tam giác AMN

Không mất tính tổng quát, giả sử M nằm trên BC Khi đó, vì AB = BC = CA nên theo định lý Ptolemy thì MA = MB + MC hay MA = MN + NA, tức là tam giác AMN

suy biến thành đoạn MA

Bài 8: (Định lý Thébault II) Cho hình bình hành ABCD Dựng ra phía ngoài các tam

giác đều BCM, CDN Chứng minh rằng AMN là tam giác đều

Giải

Dựng hình bình hành CDNP Dễ thấy NP // AB và NP = AB nên ANPB là hình bình hành  AN // BP và AN = BP

Vì CBM và CNP là hai tam giác đều nên phép quay R C60 biến: B  M, P  N

 BP = MN và BP MN,  60

Suy ra AN = MN và AN MN,    60 AMN

Vậy AMN là tam giác đều (ĐPCM)

Bài 9: (Điểm Vecten) Cho tam giác ABC Dựng ra phía ngoài các tam giác BCD,

CAE, ABF lần lượt vuông cân tại D, E, F Chứng minh rằng AD, BE, CF đồng quy

(tại điểm Vecten)

Giải

Theo kết quả ở bài 2, ta có IEF là tam giác vuông cân tại I  phép quay R I90 biến

E  F, D  C nên DE  CF

Tương tự, ta cũng có: EF  AD, FD  BE

AD, BE, CF chứa ba đường cao của tam giác DEF nên đồng quy (ĐPCM)

Như vậy điểm Vecten (V) chính là trực tâm tam giác DEF

Bài 10: Cho tứ giác lồi ABCD Gọi E, F, G, H lần lượt là tâm của các hình vuông có

cạnh là AB, BC, CD, DA được dựng ra phía ngoài của tứ giác Chứng minh rằng: a) Trung điểm các đường chéo của các tứ giác ABCD và EFGH là bốn đỉnh của

một hình vuông (định lý Van Aubel)

b) Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì EFGH là hình vuông (định lý

Thébault I)

Giải

a) Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đường chéo BD, AC, EG, HF Ta cần chứng minh MPNQ là hình vuông

Sử dụng kết quả ở bài 2, ta được MHE và MFG là hai tam giác cùng vuông cân tại

M Do đó, phép quay 90

M

R  biến H  E, F  G, tức là biến HF thành EG nên nó cũng biến Q thành P  tam giác MPQ vuông cân tại M (1)

Tương tự, tam giác NPQ cũng vuông cân tại M (2)

Từ (1) và (2) ta có ngay MPNQ là hình vuông (ĐPCM)

b) Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì EFGH là hình vuông

Thật vậy, gọi O là tâm của hình bình hành, dễ thấy bốn tam giác: OEF, OFG, OGH, OHE cùng vuông cân tại O nên HF  EG tại O và OE = OF = OG = OH, tức EFGH là hình vuông (ĐPCM)

Bài 11: Cho tam giác nhọn ABC Dựng ra phía ngoài các tam giác đều BCM, CAN,

ABP Gọi I, J, K lần lượt là trọng tâm của ba tam giác đều vừa dựng Chứng minh rằng:

a) AM, BN, CP đồng quy (tại điểm Fermat)

b) IJK là tam giác đều (Định lý Napoléon)

Giải

a)

Gọi F là giao điểm của BN và CP, E là điểm nằm trên CP sao cho FBE 60

Phép quay R A 60 biến B  P, N  C  BFE   60 FBE FBE là tam giác đều

Phép quay R B 60 biến P  A, E  F, C  M Mà P, T, C thẳng hàng nên A, S,

M thẳng hàng

Vậy AM, BN, CP đồng quy tại F (ĐPCM)

 Tính chất của F: Điểm Fermat F nhìn các cạnh AB, BC, CA dưới góc 120o hay F

là điểm chung của ba đường tròn ngoại tiếp ba tam giác đều BCM, CAN, ABP Ngoài ra, F còn là vị trí của X để cho XA + XB + XC đạt GTNN F có tên khác là

điểm Torricelli

b)

Trên các cạnh AB, AC, MC, MB lần lượt lấy các điểm X, Y, Z, T sao cho BX =

BK, CY = CJ, CZ = CI, BT = BI

Phép quay R B 30 biến: K  X , I  T nên KI = XT và KI XT,  30

Tương tự, phép quay 30

C

R  biến J  Y, I  Z nên JI = YZ và JI YZ,  30

Ta sẽ chứng minh XT // YZ và XT = YZ Thật vậy:

Xét tam giác ABM, dễ thấy:BX BK BA

BT  BI BC  XT // AM Từ đó, 3

3

XT BX BK

AM  BA  BA  Tương tự, YZ // AM và 3

3

YZ

AM  Suy ra: XT // YZ và XT

= YZ

Từ XT = YZ  KI = JI Từ XT // YZ  KI JI,        30 30 60 KIJ Vậy IJK là tam giác đều (ĐPCM)

 Từ bài 9 và bài 11, ta đề xuất định lý tổng quát sau đây, có tên là định lý Kiepert:

Dựng ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác BCD, CAE, DAF cân đồng dạng tại D, E, F Khi đó, AD, BE, CF đồng quy (tại X)

Chứng minh

Ta có:           A1 A2 B1 B2 C1 C2 Sử dụng định lý Céva dạng lượng giác:

Tam giác ABC có AD, BD, CD đồng quy tại D nên:

1

2

Tương tự, ta có: sin sin

ACF A BCF  B (2), sin sin

CBE C ABE  A (3)

Nhân (1), (2), (3) theo vế: sin sin sin 1

BAD ACF CBE CAD BCF ABE   AD, BE, CF đồng quy (ĐPCM)

 Nhận xét:

 Nếu đặt  là góc ở các đỉnh cân D, E, F thì hai bài toán trên chính là hai trường hợp đặc biệt của định lý Kiepert ứng với  60 và   90 Với

120

   thì X còn có tên là điểm Napoléon

 Nền tảng của chứng minh không hề có sự xuất hiện của phép quay, nhưng nếu nhìn nhận trên quan điểm quy nạp thì rõ ràng không thể phủ nhận đóng góp

“thầm lặng” của nó trong việc giúp ta phát hiện và gợi mở cho ta tổng quát hoá hai trường hợp đặc biệt trên

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Hoàng Quốc Khánh (cb), Một số kiến thức về hình học phẳng trong các cuộc thi Olympic Toán, e-book, Mathscope.org

[2] Lê Bá Khánh Trình, Hình học tĩnh và động, diendantoanhoc.net

[3] Phan Huy Khải, Toán nâng cao cho học sinh THPT – Hình học, Tập 1, NXB Hà

Nội, 2003

[4] Đỗ Thanh Sơn, Phép biến hình trong mặt phẳng, NXB Giáo dục, 2006

[5] Nguyễn Văn Nho, Những định lý chọn lọc trong hình học phẳng qua các kỳ thi Olympic, NXB Giáo dục, 2007

[6] Nguyễn Mộng Hy, Các phép biến hình trong mặt phẳng, NXB Giáo dục, 2008