chuyên đề HSG

DÙNG BÀI TOÁN MAX, MIN ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN CHUYÊN ĐỀ... Nhưng trong thực tế có những bài toán mà áp dụng các phương pháp giải đó thật là khó khăn cho

DÙNG BÀI TOÁN MAX, MIN ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI

TOÁN CHUYÊN ĐỀ

Môn toán trong trường THCS là bộ môn cơ bản để vận dụng cho kiến thức ở các lớp học tiếp theo Trong

chương trình này việc giải phương trình là hết sức quan trọng, nó xuyên suốt hầu hết các bài học

Đối với SGK đã trình bày đầy đủ các bước giải cơ bản

của dạng toán này Nhưng trong thực tế có những bài

toán mà áp dụng các phương pháp giải đó thật là khó

khăn cho học sinh hoặc không giải được

Trong 6 năm được trường phân công ôn thi HSG môn toán tôi nhận thấy rằng khi dạy học sinh phần giải phương

trình, ngoài cách giải thông thường và một số cách giải

khác trong một số sách dành cho học sinh giỏi có phần

I Lí do chọn chuyên đề.

Đối với học sinh ôn thi HSG thì đây là một phương pháp hoàn toàn mới, đòi hỏi một tư duy cao để nhận dạng

toán, nó dựa trên cơ sở chính của bài toán cực trị (Max, Min ) mà các em đã biết Việc vận dụng phương pháp này trong giải một số phương trình là rất hiệu quả Cách giải củng rất dễ hiểu và áp dụng cho một số dạng

phương trình khác nhau như: phương trình một ẩn không chứa căn bậc hai, phương trình hai ẩn, phương trình vô

tỉ, ……

Với những suy nghĩ và thực tế đã qua trong một số năm ôn thi HSG tôi đã tóm tắt được sơ lược về nội dung khi dạy dạng

toán giải phương trình này cho học sinh và rút ra được những bài học kinh nghiệm cho bản thân Tôi thực hiện chuyên đề

này giới thiệu đến các đồng chí để góp phần vào công tác

giảng dạy ôn thi HSG

II Biện pháp - Phương pháp thực hiện

Để học sinh thực hiện được thành thạo cách giải này tôi đã thông qua quá trình dạy như sau:

+ Dạy cho học sinh bài toán cực trị ở dạng toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( đa thức, phân thức đại số, căn thức đại số ….) Với yêu cầu giải tốt các dạng bài tập liên quan

+ Bắt đầu nối những bài toán trên lại với nhau cho phù hợp thành bài toán giải phương trình ( dạng tìm giá trị

nhỏ nhất – dạng tìm giá trị lớn nhất ) Với yêu cầu tìm ra được giá trị bằng nhau của hai vế phương trình

+ Nhận dạng và đưa những bài toán về dạng trên để giải

PHẦN NỘI DUNG

x



giá trị lớn nhất.

Bài toán Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x)

Giải Ta biến đổi f x( ) g( )2x n  a a

Với và Vậy Khi g(x) =0 n N M in f x( ) a

2 Bài toán tìm giá trị lớn nhất (Max)

Bài toán Tìm giá trị lớn nhất của f(x)

Giải Ta biến đổi

n N  x

Với và Vậy Khi g(x) =0

2 ( )

( ) n

x

f x  g  a a

( )

f x

Max a

* Lưu ý: với f(x) là phân thức hoặc biểu thức chứa căn thức bậc hai còn có điều kiện có nghĩa

3 Một số ví dụ minh hoạ

2

4x  4x  10

Ví dụ1 Tìm giá trị nhỏ nhất của:

Giải Ta có: f x( ) x2  2x  3 x2  2x   1 4

2

(x 1) 4 4

Với  x

Vậy: Min f x( )  4 Khi x + 1 = 0 <=> x = -1

Ví dụ 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của A =

Giải Ta có A = 4x2  4x  10  4x2  4x  1 9

2 (2x 1) 9

9 3

  Vì:  2x  12  0 ; x 

Vậy Min A = 3 Khi 2x – 1 = 0 <=> x = 12

2

Ví dụ 3 Tìm giá trị lớn nhất của h(x) =  13 6 y y  2

Giải Ta có: h(y) =

 (y(2  63)y 2 9) 44

4

y

  

Vậy Max h(y) = -4 khi y -3 = 0 <=> y = 3

Ví dụ 4 Tìm giá trị lớn nhất của B =  16 x2  16 x  1

Giải Ta có: B =  16 x2  16 x  1  16 x2  16 x  4 3 

2



= -4(2x – 1)2 + 3

2

II Một số bài toán giải phương trình dùng giá trị lớn

nhất (Max), giá trị nhỏ nhất (Min)

1 Dạng phương trình một ẩn

a Học sinh có thể giải theo cách sau:

2 2

2 3 6 13

( 4) 4.2.11 72

    

Vậy: Phương trình vô nghiệm b.Dùng bài toán Max, Min

Giải Ta có vế trái:

= -(x + 1)2 -4

x  x   x  x

Bài toán 1 Giải phương trình sau:

2 2 3 2 2 1 4

x  x  x  x  

Vế phải: 6x  13 x2  (x2  6x 9) 4

=-(x – 3 )2 – 4 -4 với

Vậy dấu bằng xãy ra khi cả hai vế bằng -4

hay x – 1 = 0 <=> x = 1 và x – 3 = 0 <=> x = 3

Vậy: Phương trình vô nghiệm

a Học sinh có thể giải

36 7 36 4 4 3

36 7 36 4 4 3 0

40 40 10 0 10(4 4 1) 0

4 4 1 0 (2 1) 0

1 2

x

     

       

         

      

 

Bài tập 2 Giải phương trình:  36x2  7 36 x 4x2  4x 3

b.Dùng bài toán Max, Min

2 Dạng phương trình nhiều hơn một ẩn.