ĐỀ HSG KHỐI 12 LẦN 1 - Năm 2016_17_ THPT BÁ THƯỚC

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số 1.. Phong được phép thi 3 lần.. Nếu trượt lần đầu thì xác suất vượt qua kì thi lần hai là 0,7.. Nếu trượt cả hai lần thì xác suất vượt qu

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT BÁ THƯỚC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT

NĂM HỌC 2016-2017 MÔN: TOÁN

(Thời gian làm bài: 180 phút)

Câu I (4,0 điểm) Cho hàm số y=1

2x

4−4 x2+7

2  1 .

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).

2 Gọi A là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ x A=a Tìm các giá trị thực của a để tiếp tuyến

của (C) tại A cắt (C) tại hai điểm phân biệt B, C khác A sao cho AC = 3AB (B nằm giữa A và

C)

Câu II (4,0 điểm).

1 Giải phương trình: sin(2 2 ) (1 2cos )(sinx x x cos ) 0x



2 Giải hệ phương trình:

2 2

2

2 2 13 2 19 2

6 2 ( 1)

x x

x y











Câu III (4,0 điểm)

1 Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn : a+b+c=3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức : Pa2 ab b 2 b2 bc c 2 c2 ac a 2

2 Cho hệ phương trình

2

1

0

m R









Câu IV (4,0 điểm.)

1 Phong tham dự một kì thi Phong được phép thi 3 lần Xác suất lần đầu vượt qua kì thi là

0,9 Nếu trượt lần đầu thì xác suất vượt qua kì thi lần hai là 0,7 Nếu trượt cả hai lần thì xác suất

vượt qua kì thi ở lần thứ ba là 0,3 Tính xác suất để Phong thi đậu

2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I, các

đường thẳng AI, BI, CI lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại các điểm M1; 5 , 

7 5

; ,

2 2

N  

13 5

;

2 2

P 

  (M, N, P không trùng với A, B, C) Tìm tọa độ của A, B, C biết đường thẳng chứa cạnh AB đi qua Q  1;1

và điểm A có hoành độ dương.

Câu V (4,0 điểm)

1 Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC a   đồng thời SA, SB, SC đôi một vuông góc với

nhau tại S Gọi H, I, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, BC Gọi D là điểm đối xứng của

S qua K; E là giao điểm của đường thẳng AD với mặt phẳng (SHI) Chứng minh rằng AD vuông góc với SE và tính thể tích của khối tứ diện SEBH theo a.

2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1;2; 1 ,  B0;4;0

và mặt phẳng

 P :2x y  2z2015 0 Viết phương trình mặt phẳng  Q đi qua hai điểm A B, và tạo với

mặt phẳng  P

một góc nhỏ nhất

-Hết -Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.

ĐÁP ÁN HSG 2016 - 2017

I.2

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A là

 3    1 4 2 7

d y a  a x a  a  a 

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và đồ thị (C) là

2x  x 2  y a  a x a 2a  a 2

x a x ax a

(d) cắt đồ thị hàm số (1) tại 3 điểm phân biệt B, C khác A khi và chỉ khi

Phương trình x2+2 ax+ 3 a2−8=0 có 2 nghiệm phân biệt xB, xC khác a

2

' 0

6a 8 0

 



 



2 3

a a

  















Do AC=3AB ( B nằm giữa A và C) suy ra ⃗ AC=3⃗ AB , ⇒ xC−3xB=−2a

TheoViét ta có

2

2

B C

x x a

 







Do đó

3

x  x  a a    a

Thử lại với a= ±2 √ 2

√ 3 thoả mãn yêu cầu bài toán Vậy a= ±2 √ 2

√ 3 là các giá trị cần tìm

2,0

II.1

cos2 x+(1+2 cos x)(sin x−cos x)=0

(sinx cos )(sinx x cosx 1) 0



sin( ) 0

4 2 sin( )

x

x















4 2 2 2





















 



 (k  )

2,0

ĐK:

2

3

1

1 0

x y

y x

 



Ta có

 

2

Do đó,  y3 y 1 12  y132 y 1 12 0  y  1 2 y3

Với y  3ta có  2 ln 1 ln 1

Xét hàm số g a  lna,a 0; 

a

  1 ln2  

a



x    g x g  y   g y g 

 

Từ đó suy ra x  3, y  3

Thử lại x  3, y  3thỏa mãn hệ phương trình

1,0

III.1

Không mất tính tổng quát giả sử : 0 ≤ a ≤ b≤ c ≤3

⇒{a (a−b)≤ 0

a(a−c)≤≤ 0 ⇔{a2−ab+b2≤ b2

a2−ac+c2≤ c2

⇒ P ≤ b2

c2(b2−bc+c2)=b2c2¿

Từ giả thiết {0 ≤ a≤ b ≤ c ≤ 3 a+b+c=3 ⇒b+c ≤ a+b+c=3 ⇒2√bc ≤ b+c ≤3

⇒0 ≤ bc ≤9

4 Đặt bc=t t ∈[0 ;9

4]

f (t )=9t2−3 t3 lập BBT của hàm số trên [0 ;9

4] ta được

Maxf (t )=12

[0 ;9

4] khi t=2

Vậy MaxP=12 khi (a,b,c)=(0,1,2) và các hoán vị của chúng

2,0

III.2 Đk: x  0, y > 0

1

 

 

2

2

1

2

0 0

, 1 , 2 0

x y ay

y x

y x

y y ay







 

 

Hệ có nghiệm khi (2) có nghiệm y > 0

Ta có : f(y) =y2 >0 ,y y > 0

Do đó pt f(y) = a có nghiệm dương khi a>0

Vậy hệ có nghiệm khi a > 0

0.5

0.5

IV.1

Gọi Ai là biến cố Phong thi đậu lần thứ i (i = 1;2;3) Gọi B là biến cố để Phong thi

đậu

Ta có: B A 1(A A ) (A A A )1 2  1 2 3

Suy ra: P(B) P(A ) P(A A ) P(A A A ) 1  1 2  1 2 3

Trong đó:

1

P(A ) 0,9 P(A A ) P(A ).P(A / A ) 0,1.0,7 P(A A A ) P(A ).P(A / A ).P(A / A A ) 0,1.0,3.0,3











 Vậy: P(B) 0,9 0,1.0, 7 0,1.0,3.0,3 0,979   

2,0

IV.2

Đường tròn ngoại tiếp ABC chính là đường tròn ngoại tiếp MNP có phương trình là

x y  x  có tâm là

3

;0 2

K 

Vì P là điểm chính giữa cung AB nên đường thẳng chứa AB đi qua Q  1;1

vuông góc với KP

PT của AB: 2x y  3 0

Tọa độ A, B là thỏa mãn hệ

 2

1

4

x y

x

x







Từ đó, tìm được A1;3 , B   4; 5

Ta lại có AC đi qua A, vuông góc với KN có phương trình 2x y  7 0

Nên tọa độ điểm C thỏa mãn

7 2

7 2

4; 1 1

4

x y

C x

x

 



 







2,0

Mà

EAH

DAB

1

SHBE HBE

a

(đvtt)

V.2

Mặt phẳng  Q đi qua điểm B nên có phương trình dạng

 4 0    , , , 2 2 2 0

ax b y  cz Q a b c a b c 

Mà điểm A cũng thuộc  Q

nên a.1b2 4 c1  0 a2b c  1

0,5

Một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng  P n : P 2; 1; 2  

Một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng  Q n: Q a b c; ; 

⃗

Gọi  là góc tạo bởi hai mặt phẳng    P , Q

Khi đó ta có

 

P Q

P Q

 

⃗ ⃗

0,50

Thế a2b c  1 vào  2 ta được

3 cos

+) Nếu b 0 cos =0  =900

+) Nếu

0 cos

3

b



0,50

Vậy góc  nhỏ nhất khi

1

3

c

c b a b b

Do đó phương trình

Biên soạn: Nguyễn Bá Hiệp – THPT Bá Thước

ĐT: 0903460791