Tìm cặp điểm ở trên có khoảng cách nhỏ nhất.. Một ngân hàng đề thi gồm 20 câu hỏi.. Mỗi đề thi gồm 4 câu được lấy ngẫu nhiên từ 20 câu hỏi trên.. Thí sinh A đã học thuộc được 10 câu tron
Trang 1SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH I ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC: 2016 -2017
Môn: Toán lớp 12 THPT Thời gian làm bài: 150 phút
Câu I ( 5.0 điểm).
1 Cho đồ thị ( C) : y = x3 – 3x +2 Tìm toạ độ M thuộc (C) để tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M cắt trục Ox tại một điểm A duy nhất và OA = 14
9
2 Cho hàm số 2
1 2
x y
x
có đồ thị (C); Chứng minh rằng có vô số cặp điểm thuộc các nhánh của đồ thị (C) đối xứng nhau qua đường thẳng y = - x Tìm cặp điểm ở trên có khoảng cách nhỏ nhất
Câu II ( 4.0 điểm)
1 Giải phương trình sinx + cosx + sin4x + cos2x = cos3x
2 Giải hệ phương trình
Câu III ( 4.0 điểm)
1 Một ngân hàng đề thi gồm 20 câu hỏi Mỗi đề thi gồm 4 câu được lấy ngẫu nhiên từ 20 câu hỏi trên Thí sinh A đã học thuộc được 10 câu trong ngân hàng đề thi Tìm xác suất để thí sinh A rút được
1 đề thi có ít nhất 2 câu đã thuộc
2 Tìm m để phương trình: x2 4x m x 2 4x có hai nghiệm phân biệt.3 5 0
Câu IV (5.0 điểm).
1 Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng có phương trình lần lượt là
d x y d x y và tam giác ABC đều có diện tích bằng 3 và trực tâm I thuộc d1 Đường thẳng d2 tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ giao điểm
1
d và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết điểm I có hoành độ dương
2 Cho hình chóp S.ABCD, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh SB,BC
a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SN
b Tính thể tích khối SMND
Câu V ( 2.0 điểm).
Cho các số thực dương a, b thỏa mãn a2 2b 12
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
8
P
- HẾT -Thí sinh không được sử dụng tài liệu
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Trang 2TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH I ĐÁP ÁN ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN NĂM HỌC 2016-2017
Câu I (5,0 điểm)
1 ( 3 điểm)
Gọi x0 là hoành độ của điểm M Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là
y = (3x0 -3)(x – x0) + x0 – 3x0 + 2 ( d)
Phương trình hoành độ giao điểm : (x0- 1)(3x0+ 3)(x – x0) + (x0-1)(x02 +x0- 2) = 0 (1)
(d) cắt Ox tại 1 điểm duy nhất khi và chỉ khi : x0 1 (*)
Toạ độ điểm A
2
0
;0
x
Theo bài ra ta có :
2
0
1
x
Tìm được 0 0
2 2;
3
Đáp số : M (2 ; 4) hoặc M 2 100;
3 27
1,0 0,5
1,5
2 (2,0 điểm)
Gọi (d) là đường thẳng vuông góc với đường thẳng y = - x nên (d) có phương trình
dạng: y = x + m
Phương trình hoành độ giao điểm của ( C) và (d): 2 3
1 2
x
x m x
+)(d) cắt (C ) tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi (2) có 2 nghiệm phân biệt x khác 1
2
1
2 0
2
m m
đúng với mọi m
Gọi x1,x2 là các nghiệm của (3) và M,N là các giao điểm của (d) và (C)
M(x1;x1 + m), N(x2; x2 + m), I là trung điểm của MN thì tọa độ của điểm I ;
m m
0
I I
Do đó có vô số cặp điểm thuộc mỗi nhánh của (C ) đối xứng nhau qua đường thẳng y =
- x( Đpcm)
Trong đó
2 2
2
m
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi m = - 1
Vậy các điểm 1 3; 3 1 , 1 3; 3 1
thuộc mỗi nhánh của ( C) đối xứng
0,5
0,5
0,5 0,5
Trang 3nhau qua đương y = - x và có khoảng cách nhỏ nhất bằng 6
Câu II ( 4,0 điểm)
1 ( 2 điểm) Txđ D = R
sinx + cosx + sin4x + cos2x = cos3x (sinx + cos2x) + ( cosx – cos3x) + sin4x = 0
(sinx + cos2x) + (2sin2xsinx + 2sin2xcos2x) = 0 (sinx + cos2x)(1 + 2sin2x) = 0
Đáp số: Các họ nghiệm
x m x l x l x k x k m l k
0,5 1,0
0,5 2.( 2 điểm)
Đkxđ: x2;y3 (*);
2 8 0
x y
x y x y
x y
+) x + 2y – 8 = 0
Theo (*) có x2y8, do đó (x ; y) = ( 2 ; 3) thay vào hệ không thỏa mãn
+) x + y = 0 thì y = - x thay vào (2) được :
2
2
2
Đáp số : (x ; y) = (1 ; -1), ( -2 ; 2)
0,5 0,5
1,0
Câu III ( 4 điểm)
1 ( 2 điểm)
+) Lấy 4 câu trong 20 câu hỏi có số cách là : 4
C
+) Thí sinh A rút đề có 2 câu đã thuộc : 2 2
10 10 2025
C C
+) Thí sinh A rút đề có 3 câu đã thuộc : 3 1
10 10 1200
C C
+) Thí sinh A rút đề có 4 câu đã thuộc : 4
10
C = 210 Đáp số : Xác suất 3435 229
0,5
1,5 2.(2 điểm)
Điều kiện: x x13
Đặt x2 4x 3 t t 0
Mỗi giá trị t > 0 xác định tương ứng 2 giá trị x ;1 3;
Phương trình đã cho trở thành: t2 + 2 = mt (1)
t = 0 không thỏa mãn (1)
t > 0 1 m 2 t
t
Xét hàm số
0,5
Trang 4 '
2
Ta có bảng biến thiên sau:
t 0 2 +
f'(t) - 0 +
f(t)
+
2 2
Phương trình đã cho có 2 nghiệm x phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có 1
nghiệm t > 0
Theo bảng biến thiên thì (1) có 1 nghiệm t > 0 khi và chỉ khi
m = 2 2
Đáp số: m = 2 2 thì yêu cầu bài toán thỏa mãn
0,5
1,0 Câu IV (5 điểm)
1 ( 2 điểm)
Gọi M AIBC Giả sử ABx x( 0), ,R r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC
-Do tam giác ABC đều nên 2 3 3 2 3 2
ABC
Do tam giác ABC đều nên trực tâm I là tâm đường tròn ngoại tiếp , nội tiếp tam giác
Giả sử I a(2 2; )a d a1( 1)
0,5
Do d2 tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên
2
6 2 6
3
9 9
2
a
Suy ra I(2;2)
Trang 5Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I và bán kính 2 2 3
R AM
phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC
là : 2 2 4
( 2) ( 2)
3
Giao điểm của đường thẳng ( )d1 và (C ) là nghiệm của hệ phương trình:
2 2 0
4 ( 2) ( 2)
3
x y
Vậy giao điểm của ( )d1 và ( )d2 là (2 2 ; 2 4 ), (2 2 ; 2 4 )
0,5 2.( 3 điểm)
a (1 điểm)
Gọi H là trung điểm của AD Theo giả thiết có
AD, SAD
Kẻ HK vuông góc với SN tại K => HK là đoạn vuông góc chung của AD và SN
a HK
M
H
C
S
N K
1,0
b ( 2 điểm)
VS.MND = VC.MND ( Vì SC //( MND))
= VM.NCD
Trong đó
2
3
,
NCD
M NCD S NCD NCD
a
0,5
1,5 Câu V (2 điểm)
thức:
8
P
Trang 6Từ giả thiết và bất đẳng thức CôSi ta có:
2
P
a b
b a
Đặt t a b (t 2)
b a
, ta có 1 2 5 1 1
.
16 64 2 8
t
Xét hàm số 1 2 5 1 1
16 64 2 8
t
'( ) ; '( ) 0
t
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có
2;
5 27 min ( )
2 64
f t f
Suy ra 27
64
P , dấu bằng xảy ra khi a 2,b 4.
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 27
64 khi a 2,b 4.
0,5
0,5
1,0
HẾT
-Chú ý : Câu IV ý 2 học sinh vẽ đúng hình mới chấm điểm