Đề thi HSG 12-Trường THPT Ngọc Lặc-Năm học 2016-2017

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số C khi m=1.. Trong mp với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau và AD=3BC.. Gọi M, N lần lượt là trung điể

SỞ GD-ĐT THANH HÓA ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 12 TRƯỜNG THPT NGỌC LẶC Năm học: 2016- 2017

TỔ: TOÁN- TIN Môn: Toán

Thời gian: 180 phút không kể giao đề

Câu I: (4,0đ)

Cho hàm số y x 4 2m1x2m  C m là tham số

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m=1

2 Tìm m để đồ thị hàm số (C) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA=BC; trong đó

O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, B, C là hai điểm cực trị còn lại

Câu II (4,0đ):

1 Tìm nghiệm thuộc 0;2 của phương trình:

cos3x+sin3x



2 Giải hệ phương trình:

2

;

x y











Câu III (4,0đ):

1 Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

 1 2 1 2 2 2 1 4 1 2 1 2

2 Cho x;y là các số thực thay đổi, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 12 2  12 2 | 2 |

A x y  x y  y

Câu IV (4,0đ):

1 Cho tập A gồm n phần tử n 4biết rằng số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A Tìm k1, 2,3, ,n sao cho số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất

2 Trong mp với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau và AD=3BC Đường thẳng BD có phương trình: x2y 6 0 và tam giác ABD có trực tâm H(-3;2) Tìm tọa độ các đỉnh C; D

Câu V (4,0đ):

1 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a AD a ,  2,SA a

và SA vuông góc với mp (ABCD) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, SC, I

là giao điểm của BM và AC Chứng minh rằng mp (SAC) vuông góc với

mp(SMB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mp (P): x 2y2z1 0 , đường thẳng

1

:

, đường thẳng 2

:



Xác định tọa độ điểm M thuộc  1 sao cho khoảng cách từ M đến  2 bằng khoảng cách từ điểm M đến mp(P)

……… Hết………….

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh:……….Số báo danh:………

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG 12 NĂM HỌC 2016-2017

1

4,0đ

1

2đ Khi m=1 ta có

y x  x 

 TXĐ: D 

 Sự biến thiên y' 4 x3 8 ;x y' 0  x0;x 2

- Hàm số nghịch biến trên các khoảng    ; 2

và 0; 2

Đồng biến trên các khoảng  2;0

và  2; 

- Hàm số đạt cực tiểu tại x 2; y CT 3 , đạt CĐ tại

D

x y 

- BBT

x    2 0 2   y’ - 0 + 0 - 0 +

y  1 

-3 3

 Đồ thị

0,5

0,5

0,5

0,5

2

2đ y' 4  x3  4m 1x 4x x 2  m 1 ; y' 0   x 0v x2  m 1 1 

Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi (1) có 3 nghiệm phân biệt khác 0  m  1 khi đó

Thỏa mãn đk, đó là giá trị m cần tìm

0,5 0,5

0,5 0,5 2

4,0đ

1

2đ ĐK:

1 sin 2

2

x 

Ta có

2sin 2 1 cosx

s inx osx-cos3x+cos3x+sin3x

x x c

x c

x



Vậy ta có

0,5

0,5 1

-3

osx=2

3 cosx=

2

c









5

thỏa mãn đk Vậy ta được nghiệm của pt

0,5

0,5 2

2đ ĐK:

;

Pt (1)  4x2  1 2 x5 2  y 1 5 2  y  3

(3) có dạng f 2xf 5 2 y xét hàm số đặc trưng

   2 1 '  3 2 1 0

nên f đồng biến trên 

Do đó (3)

2

0

2

x

y











 Thế vào pt (2) ta dược

2

2

x   x    x 

Nhận thấy

3 0;

4

không phải là nghiệm của (4) Xét hàm  

2

g x  x   x    x x 

Mặt khác

1 0 2

g    

  do đó (4) có nghiệm duy nhất

1

2 2

Vậy hệ đã cho có nghiệm

1

; 2 2

0,5

0,5

0,5

0,5

3

4,0đ

1

2đ Đk:   1 x 1 đặt

t x   x ta có

Tập giá trị của t là 0; 2 (t liên tục trên đoạn 1;1 )

2

2

t t

t



2

t t

t

 Phương trình đã cho có nghiệm x khi và chỉ khi pt (*) có nghiệm

0; 2

t  

0,5

0,5

0,5

Ta có

 

2 2

4

2

t t

t



Vậy giá trị m cần tìm là 2 1   m 1

0,5

2

2đ

Trong mp tọa độ Oxy xét M(x-1;-y), N(x+1;y)

 

2

 Với

 

2

2

2

2

1

y

y y







 



Ta có BBT

 Với y 2

f y  2 1y2 2 5 2  3 Vậy A  2 3 với mọi số thực x, y Vậy giá trị nhỏ nhất

1

3

A  khi x y

0,5

0,5

0,5 0,5

4

4,0đ

1

2đ Số tập con gồm k phần tử của A bằng

k n

C từ giả thiết suy ra

C  C nên n2 5n 234 0  n18 n4

Do

1

18

18

18

1

k k





 Vậy số tập con gồm k phần tử của A lớn nhất khi k=9

0,5

1 0,5 2

2đ

Gọi I là giao điểm của AC và BD Suy ra IB=IC

Mà IB vuông góc với IC nên t/gIBC vuông tại I dẫn đến góc ICB=450

cân tại B nên I là trung điểm HC

do CH vuông góc BD và trung điểm I của CH thuộc BD nê tọa độ

điểm C thỏa mãn hệ

1;6

C







Ta có

ID IC CD IC ID IC

D  t t CD   t  t   t t Vậy D(4;1) và D(-8;7)

0,5

0,5

0,5

0,5

C B

I

D A

H

4,0đ

1

2đ

Xét tg ABM và tg BCA vuông có

 

1 2

2

1 , 2

ABM BCA ABM BCA

SA ABCD SA MB

MB SAC SMB SAC

Gọi H là trung điểm AC khi đó NH là đường trung bình tg SAC

2

3

1

3

2 36

ABI

ANIB

SA a

a AI

AI AB AM

a V

0,5

0,5

0,5

0,5

2

2đ 2: A1;3; 1  VTCP u2;1; 2 ;  M  1 M 1 ; ; 9 6t t   t



2

2 2

18 53 3

35 35 35

t



 

0,5 0,5 0,5 0,5

S

N

M

D A

I H

C B