Bài giảng cơ học ứng dụng chương 3

Chương III Ứng suất và Biến dạng HCM 08/2014 Applied Mechanic Hochiminh city University of Technology 3.1.. Ứng suất – Biến dạng HCM 08/2014 Applied Mechanic Hochiminh city University

Trang 1

Chương III

Ứng suất và Biến dạng

HCM 08/2014 Applied Mechanic Hochiminh city University of Technology

3.1 Ứng suất

3.2 Trạng thái ứng suất

3.3 Trạng thái ứng suất phẳng 3.4 TTƯS trong bài toán phẳng – P.P đồ thị 3.5 Biến dạng

3.6 Liên hệ giữa ứng suất và Biến dạng

Chương III Ứng suất – Biến dạng

3.1.1 Khái niệm

3.1 Ứng suất

Chia vật bằng một mặt cắt và khảo sát tính chất của các lực tiếp xúc

truyền qua mặt này do phần tách ra tác động lên Các lực tiếp xúc

phân bố khắp mặt cắt với chiếu và giá trị thay đổi, chúng được gọi là

ứng suất (hay ứng lực, sức căng) tại một điểm

(I)

B

p

B

p



(II) Ứng suất

Ứng suất: nội lực tại điểm

Xét một điểm M trên mặt cắt và một phân tố điện tích chung quanh M: dF Nếu gọi ứng lực trên dF là thì ứng suất ⃗tại M trên mặt phẳng vuông góc Oz là:

dP p dF





Khi dF  0

3.1.1 Khái niệm

3.1 Ứng suất

Ứng suất ⃗ được phân thành 2 thành phần:

: Ứng suất pháp hướng theo pháp tuyến mặt cắt



: Ứng suất tiếp nằm trong mặt cắt



1

P

2

P

3

P

dP

x M

y z dF

p



O

j

 k

i



* Ứng suất pháp: gây ra biến dạng dài

* Ứng suất tiếp: gây ra biến dạng góc

Trang 2

p   k   j   i

Trong hệ trục Cartesian

như hình vẽ:

* Ứng suất pháp: hướng theo phương z

z



zx



zy



3.1.1 Khái niệm

3.1 Ứng suất

1

P

2

P

3

P

x M

y z

p



O

j

 k

i

zx



Qui ước dấu của các thành phần ứng suất:

- Ứng suất pháp xem là dương khi vector biểu diễn nó cùng

chiều với pháp tuyến ngoài của mặt cắt

- Ứng suất tiếp là dương khi vector biểu diễn nó cùng chiều

Ox, Oy

F



















z

M

z N C

z

x

y

x

M

y

M y Q

x Q

p



( )A zy



z



O

zx



z

.

F

R   p dF

dF

3.1.2 Quan hệ Nội lực - Ứng suất

3.1 Ứng suất

F









 







F

M   m p dF

 

z

M

z N C

z

x

y

x

M

y

M y Q

x

Q

p



( )A zy



z



O

zx



z

dF

3.1.2 Quan hệ Nội lực - Ứng suất

3.1 Ứng suất

z

p



y

p



x

p



3.1.3 Các thành phần ứng suất

Tổng quát: Tách một phân tố tại C bằng 6 mặt vi phân trực giao với các trục tọa độ

Trên 3 mặt vi phân dương có các vector ứng suất:

Mỗi vector trong chúng có ba thành phần song song với ba trục tọa độ:

, ,

  

 

, , , , , ,

x x xy xz

y y yx yz

z z zx zy

p p p



3.1 Ứng suất

Trang 3

Ứng suất tại một điểm được đặc trưng bởi chín thành phần ứng

suất và chúng được viết dưới dạng Tensor:

T

3.1 Ứng suất

* Nguyên lý tương hỗ ứng suất tiếp

Trên hai mặt vi phân trực giao, các thành phần ứng suất vuông góc với cạnh chung thì bằng nhau và có chiều cùng hướng vào hoặc hướng ra cạnh chung đó

xy yx xz zx yz zy

        

y yz

z

T Sym



Khi đó tensor ứng suất là một tensor đối xứng, do đó trạng thái ứng suất chỉ còn phụ thuộc 6 thông số:

3.1 Ứng suất

3.2.1 Trạng thái ứng suất tại một điểm

Nếu cho qua M những mặt cắt π khác nhau, thì tương ứng với

mỗi vị trí của π ta được 1 vector ứng suất Tập hợp tất cả các

vector ứng suất này được gọi là trạng thái ứng suất tại M Tập

hợp này không phải là một tập hợp vector độc lập

M

3.2.2 Phương chính và ứng suất chính Mặt chính: mặt cắt mà trên đó phương của trùng với phương của p

n

n Khi đó: - Phương của được gọi là phương chính

- Ứng suất được gọi là ứng suất chính n

Tại mỗi điểm của vật thể đàn hồi ta luôn tìm được ba phương chính vuông góc nhau từng đôi một Ứng với ba phương chính

ta có ba ứng suất chính:

Các ứng suất chính này không phụ thuộc việc chọn hệ trục tọa

độ 3.2 Trạng thái ứng suất

Trang 4

3.2.3 Các trạng thái ứng suất

Nếu ta chọn hệ trục tọa độ sao cho ba trục trùng với ba phương

2 3

T



Trạng thái ứng suất khối: ba ứng suất chính đều khác không

Trạng thái ứng suất phẳng: có một ứng suất chính bằng không

Trạng thái ứng suất

đơn: có hai ứng suất

chính bằng không

3.3 Trạng thái ứng suất phẳng

Là trạng thái của điểm có vector ứng suất tổng luôn nằm trong một mặt phẳng, với mọi mặt vi phân khảo sát

3.3.1 Ứng suất trên mặt cắt nghiêng bất kỳ (//z)

3.3 Trạng thái ứng suất phẳng

x y

z

x



xy



y



yx



u v

y



y

x



xy



u v

x



u



uv



cos 2 s in2

s in2 cos 2 2

Tại mặt vuông góc với mặt có pháp tuyến u ( 0 )

90 

2

Nhận xét: u v x y

const

       

uv vu

Ứng suất pháp và tiếp trên mặt nghiêng:

(3.10)

Trang 5

3.3.2 Ứng suất chính – Phương chính

Mặt chính là mặt có ứng suất tiếp bằng không Để tìm mặt chính: uv0

s in2 cos 2 0

2



 



 Hai trị số 0 khác biệt nhau 90 0Hai phương chính

Thay vào , ta thu được các u ứng suất chính

max

min

1 ( ) 4 (**)

1

0

2

xy



 



** Hai trường hợp đặc biệt

a Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt

; 0;

max min

1 4

2 2



Thay vào (**) ta được:

b Trạng thái ứng suất trượt thuần túy

0;

min

hay

Thay vào (**) ta được:





 1

4



4



3.3.3 Ứng suất tiếp cực trị

0

uv

d



2 cos 2 2 sin 2 2

xy

xy tg



So sánh với (*), ta được:

0

1 2

2

tg



 

0

4



    Mặt có ưs tiếp cực trị tạo với

mặt chính một góc 45 0

s in2 cos 2 2

Thay vào ta được: uv

max

min

1

3.4 TTƯS trong bài toán phẳng – P.P đồ thị

x y x y

s in2 cos 2 2

x y

2 2

2

x y

  

Chuyển vế qua trái, bình phương 2 vế, cộng 2 vế cho uv2

Ta thu được phương trình vòng tròn Mohr ứng suất

3.4.1 Cơ sở của phương pháp

Bán kính:

2 2 2

xy

Tọa độ các điểm trên vòng tròn Mohr

ứng suất cho ta giá trị các ưs pháp và

ưs tiếp nằm trên những mặt khác nhau

đi qua điểm có trạng thái ưs ta đang xét

Trang 6

3.4.2 Cách vẽ vòng tròn Mohr

-Dựng hệ trục tọa độ:

-Xác định tâm C vòng tròn:

-Xác định bán kính R của vòng tròn:

2 2

2

x y

xy





;0 2

C  

-Xác định điểm cực P: P y;xy

O

 

Cho một phân tố ứng suất Biết:   x, y, xy

mặt nghiêng bất kì

max, min, max, min

   

M I

J

max



uv



u



min



max



min



max

 min





O

P

y



xy





max



u



uv



min



2



C

v



vu



3.4.2 Cách vẽ vòng tròn Mohr

1 1

max

y





Ví dụ:

60 0 u

v

10

18

6

y

x

10

y

18

x

6

xy

0

30

max min

1

k

1 1

max

y





 



max



1

 

cos 2 s in2

s in2 cos 2 2

0

18 10 6 30

x

y

xy















 





Ví dụ:

Trang 7

I

J

uv



u

  max min



max



min





O

P

10



max



u



uv



min



0

30

1



2



18

C 6

4

15.2

16.2

9.1



19.2 11.2



v



8.2



9.1

v



vu



v

u

3.5 Biến dạng

3.5.1 Khái niệm

Khi chịu tác dụng của ngoại lực hay sự biến thiên nhiệt độ thì

khoảng cách giữa các điểm thuộc vật thể thay đổi, gây ra sự

thay đổi về hình dạng và kích thước của vật Sự thay đổi này

gọi là sự biến dạng

Có hai khái niệm biến dạng: Biến dạng của toàn vật và biến

dạng tại một điểm

Biến dạng tại một điểm: biến dạng của một phân tố VCB

quanh điểm khảo sát bao gồm biến dạng dài và biến dạng góc

3.5 Biến dạng

3.5.1 Khái niệm

Biến dạng dài:  s '   s Biến dạng góc 

Trang 8

3.5.2 Trạng thái biến dạng của điểm

Là tập hợp các biến dạng dài và biến dạng góc của điểm

Trạng thái biến dạng của điểm sẽ hoàn toàn xác định nếu được

cho trước biến dạng dài theo ba phương vuông góc nhau bất kỳ

và ba biến dạng góc trên ba mặt vuông góc nhau tạo bởi ba

phương đó

Các thành phần biến dạng: x, y, z, xy,  yz, xz

3.5 Biến dạng

Trạng thái biến dạng tại mỗi điểm được xác định bởi Tensor biến

dạng:

z

T Sym



3.5.2 Trạng thái biến dạng của điểm

3.5 Biến dạng Trạng thái ứng suất và biến dạng tại mỗi điểm được xác định bởi các Tensor:

y yz

z

T Sym



z

T Sym



Quan hệ giữa các thành phần ứng suất và các thành phần biến dạng:

- Ứng suất pháp gây ra biến dạng dài

- Ứng suất tiếp gây ra biến dạng góc

Định luật Hooke tổng quát

x x

E



 

cũng gây ra biến dạng dài theo các phương còn

lại(phương y, z) x



x

E



        

Trong đó: E là module đàn hồi , là

hằng số vật liệu

Trong đó:  là hệ số possion, là hằng số vật liệu

Quan hệ giữa ứng suất pháp và biến

dạng dài:

Đối với trạng thái ứng suất khối tổng quát, biến dạng dài theo phương x:

1

E

- Biến dạng dài theo phương x do gây ra :

x



/

  

- Biến dạng dài theo phương x do gây ra :

,

y z

 

       

Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng: Biến dạng dài theo phương x:

Trang 9

- Biến dạng dài theo phương y do

gây ra :

y



/

  

- Biến dạng dài theo phương y do

gây ra :

,

x z

 

       

Biến dạng dài theo phương y:

1

E

Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng: Biến dạng dài theo

phương y:

- Biến dạng dài theo phương z do gây ra :

z



/

zz z E

  

- Biến dạng dài theo phương z do gây ra :

,

x y

 

       

Biến dạng dài theo phương z:

1

E

Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng: Biến dạng dài theo phương z:

Biến dạng dài theo phương các phương chính:

1

E

Cũng dựa trên nguyên lý cộng tác dụng ta có:

1

E

1

E

3.6 Liên hệ giữa ứng suất và Biến dạng Khi phân tố bị trượt thuần túy, chỉ

có , biến dạng góc quan hệ với theo định luật Hooke về trượt

xy



xy



xy



/

Trong đó: G là module đàn hồi trượt, là hằng số vật liệu

E G







Vậy biến dạng góc trong mặt xy là:

xy

E

Trang 10

yz

Vậy biến dạng góc trong các mặt

yz, xz là:

xz



Vậy:

1

E

1

E

           

1

E

           

xy

E

2 1

yz

2 xz 1

xz xz



Một số ví dụ

Cho phân tố ứng suất như hình vẽ

12

4

6

u

2 2 2 0

12 /

6 /

4 / 150

x

y

xy







 



 





 



 



x

y

Định dạng
Số trang	10
Dung lượng	904,52 KB