Phương trình bậc hai 1 ẩn

Giải Đượcưgọiưlàưphươngưtrìnhưbậcưhaiưmộtưẩnư Muốn giải bài toán bằng cách lập ph ơng trình lớp 8 ta làm thế nào?. Để giải bài toán bằng cách lập ph ơng trình ta có thể làm theo ba b ớ

TIẾT51 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

GV: Lương Thị Ngọc

N¨m häc 2008-2009

Nªu c¸ch gi¶i ph ¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn?

ax + b = 0 (a  0)

¸p dông gi¶i ph ¬ng tr×nh sau :

a/ x – 1 = 0 b/ 3x + 4 = 0

Trên một thửa đất hình chữ nhật có chiều dài là 32m, chiều rộng là 24m, ng ời ta định làm một v ờn cây cảnh có con đ ờng đi xung quanh Hỏi bề rộng của mặt đ ờng là bao nhiêu để diện tích phần đất còn lại bằng 560m².

560m²

32m

24m

x

x

x

x

1 Bài toán mở đầu.

Gọi bề rộng của mặt đ ờng là x (m) ,

(0 < 2x < 24).

Khi đó phần đất còn lại là hình chữ nhật có :

Chiều dài là :

Chiều rộng là :

Diện tích là :

Theo đầu bài ta có ph ơng trình :

hay x - 28x + 52 = 0 ² - 28x + 52 = 0.

Giải

Đượcưgọiưlàưphươngưtrìnhưbậcưhaiưmộtưẩnư

Muốn giải bài toán bằng cách lập ph

ơng trình (lớp 8) ta làm thế nào ?

Để giải bài toán bằng cách lập ph ơng trình ta có thể

làm theo ba b ớc sau :

B ớc 1 : Lập ph ơng trình.

- Chọn ẩn, đặt điều kiện thích hợp cho ẩn.

- Biểu diễn các đại l ợng ch a biết theo ẩn và các

đại l ợng đã biết.

- Lập ph ơng trình biểu thị sự t ơng quan giữa các

đại l ợng.

B ớc 2 : Giải ph ơng trình vừa thu đ ợc.

B ớc 3 : So sánh nghiệm của ph ơng trình với

điều kiện của ẩn và trả lời.

32 – 2x (m),

24 – 2x (m), (32 – 2x)(24 – 2x) (m ) ² - 28x + 52 = 0.

(32 – 2x)(24 – 2x) = 560

2 Định nghĩa.

1 Bài toán mở đầu.

• Ph ơng trình bậc hai một ẩn (nói gọn là ph ơng

trình bậc hai) là ph ơng trình có dạng :

ax² + bx + c = 0

trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho tr ớc gọi

là các hệ số và a 0.≠ 0.

a/ x + 50x - 15000 = 0 là một ph ơng trình bậc hai ² + 50x - 15000 = 0 là một phương trình bậc hai

b/ -2y + 5y = 0 là một ph ơng trình bậc hai ² + 50x - 15000 = 0 là một phương trình bậc hai

c/ 2t - 8 = 0 là một ph ơng trình bậc hai ² + 50x - 15000 = 0 là một phương trình bậc hai

với các hệ số a = 1, b = 50, c = -15000

với các hệ số a = -2, b = 5, c = 0

với các hệ số a = 2, b = 0, c = -8

Ví dụ :

Trong các ph ơng trình sau, ph ơng trình nào

là ph ơng trình bậc hai ? Chỉ rõ các hệ số a, b,

c của mỗi ph ơng trình

?1

a/ x² - 4 = 0 c/ 2x² + 5x = 0

b/ x³ + 4x² - 2 = 0 e/ -3x² = 0

a/ x² - 4 = 0 b/ x³ + 4x² - 2 = 0 c/ 2x² + 5x = 0

e/ -3x² = 0

Các PT bậc hai đó là : Các PT không là

PT bậc hai là :

a = 1; b = 0; c = - 4

a = 2; b = 5; c = 0

a = -3; b = 0; c = 0

d/ 4x - 5 = 0

2 Định nghĩa.

1 Bài toán mở đầu.

• Ph ơng trình bậc hai một ẩn (nói gọn là ph ơng

trình bậc hai) là ph ơng trình có dạng :

ax² + bx + c = 0

trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho tr ớc gọi

là các hệ số và a 0.≠ 0.

3 Một số ví dụ về giải ph ơng trình bậc hai.

Ví dụ 1

Giải : Ta có 3x - 6x = 0 ² - 28x + 52 = 0  3x(x – 2) = 0  3x = 0 hoặc x – 2 = 0  x = 0 hoặc x = 2

Vậy ph ơng trình có hai nghiệm : x1 = 0 ; x2 = 2

 x = 0 hoặc 2x + 5 = 0  x = 0 hoặc x =

Vậy ph ơng trình có hai nghiệm : x1 = 0 , x2 2 =

5

-2

5

-Giải ph ơng trình 3x - 6x = 0 ² - 28x + 52 = 0.

phân tích vế trái thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung Rồi áp dụng cách giải ph ơng trình tích để giải.

a

b



- Ph ơng trình bậc hai khuyết hệ số

c luôn có hai nghiệm, trong đó có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm bằng ( )

Cách giải ph ơng trình bậc hai khuyết c

ax + bx = 0 (a 0) ² - 28x + 52 = 0 ≠ 0.

 x(ax + b) = 0  x = 0 hoặc ax + b = 0  x = 0 hoặc x =

Vậy ph ơng trình có hai nghiệm : x 1 = 0 , x 2 = a

b

b



a/ x + 50x - 15000 = 0 là một ph ơng trình bậc hai ² + 50x - 15000 = 0 là một phương trình bậc hai

b/ -2y + 5y = 0 là một ph ơng trình bậc hai ² + 50x - 15000 = 0 là một phương trình bậc hai

c/ 2t - 8 = 0 là một ph ơng trình bậc hai ² + 50x - 15000 = 0 là một phương trình bậc hai

với các hệ số a = 1, b = 50, c = -15000

với các hệ số a = -2, b = 5, c = 0

với các hệ số a = 2, b = 0, c = -8

Ví dụ :

Nhận xét 1.

2 Định nghĩa.

1 Bài toán mở đầu.

• Ph ơng trình bậc hai một ẩn (nói gọn là ph ơng

trình bậc hai) là ph ơng trình có dạng :

ax² + bx + c = 0

trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho tr ớc gọi

là các hệ số và a 0.≠ 0.

3 Một số ví dụ về giải ph ơng trình bậc hai.

Cách giải ph ơng trình bậc hai khuyết c

ax + bx = 0 (a 0) ² - 28x + 52 = 0 ≠ 0.

 x(ax + b) = 0  x = 0 hoặc ax + b = 0  x = 0 hoặc x =

Vậy ph ơng trình có hai nghiệm : x 1 = 0 , x 2 =

a

b

b



a/ x + 50x - 15000 = 0 là một ph ơng trình bậc hai ² + 50x - 15000 = 0 là một phương trình bậc hai

b/ -2y + 5y = 0 là một ph ơng trình bậc hai ² + 50x - 15000 = 0 là một phương trình bậc hai

c/ 2t - 8 = 0 là một ph ơng trình bậc hai ² + 50x - 15000 = 0 là một phương trình bậc hai

với các hệ số a = 1, b = 50, c = -15000

với các hệ số a = -2, b = 5, c = 0

với các hệ số a = 2, b = 0, c = -8

Ví dụ :

Giải ph ơng trình x - 3 = 0 ² - 28x + 52 = 0.

Ví dụ 2

Giải : Ta có x - 3 = 0 ² - 28x + 52 = 0  x2 = 3 tức là x =  3

Vậy ph ơng trình có hai nghiệm :

x1 = , x2 =

?3 Giải các ph ơng trình sau :

3x - 2 = 0 ² - 28x + 52 = 0.

Giải :

Ta có 3x - 2 = 0 ² - 28x + 52 = 0  3x 2 = 2 tức là x =

3

2



3

2

3

2



Vậy ph ơng trình có hai nghiệm :

x1 = ; x2 =

 Giải ph ơng trình x + 3 = 0 ² - 28x + 52 = 0.

Giải : Ta có x + 3 = 0 ² - 28x + 52 = 0  x = -3 ( vô lý) ² - 28x + 52 = 0.

 Ph ơng trình vô nghiêm.

hệ số c sang vế phải, rồi tìm căn bậc hai của hệ số c

Ph ơng trình bậc hai khuyết hệ số b có thể có hai nghiệm hoặc có thể vô nghiệm.

Nhận xét 2.

Cách giải ph ơng trình bậc hai khuyết b

ax + c = 0 (a 0) ² - 28x + 52 = 0 ≠ 0.

 ax 2 = -c Nếu ac > 0  x 2 < 0  pt vô nghiệm

Nếu ac < 0  x 2 > 0  pt có hai nghiệm x1,2 = ±

a c



  x 2 x

2

7 2

x  2      

Vậyưphươngưtrìnhưcóưhaiưnghiệmưlà:

x , .

Giải ph ơng trình bằng cách điền vào chỗ trống ( …) trong các đẳng thức sau : ) trong các đẳng thức sau :

2 Định nghĩa.

1 Bài toán mở đầu.

• Ph ơng trình bậc hai một ẩn (nói gọn là ph ơng trình

bậc hai) là ph ơng trình có dạng :

ax² + bx + c = 0

trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho tr ớc gọi là

3 Một số ví dụ về giải ph ơng trình bậc hai.

Cách giải ph ơng trình bậc hai khuyết c

ax + bx = 0 (a 0) ² - 28x + 52 = 0 ≠ 0.

 x(ax + b) = 0  x = 0 hoặc ax + b = 0  x = 0 hoặc x =

Vậy ph ơng trình có hai nghiệm : x 1 = 0 , x 2 = a

b

b



a/ x + 50x - 15000 = 0 là một ph ơng trình bậc hai ² + 50x - 15000 = 0 là một phương trình bậc hai

b/ -2y + 5y = 0 là một ph ơng trình bậc hai ² + 50x - 15000 = 0 là một phương trình bậc hai

c/ 2t - 8 = 0 là một ph ơng trình bậc hai ² + 50x - 15000 = 0 là một phương trình bậc hai

với các hệ số a = 1, b = 50, c = -15000

với các hệ số a = -2, b = 5, c = 0

với các hệ số a = 2, b = 0, c = -8

Ví dụ :

Cách giải ph ơng trình bậc hai khuyết b

ax + c = 0 (a 0) ² - 28x + 52 = 0 ≠ 0.

 ax 2 = -c Nếu ac > 0  x 2 < 0  pt vô nghiệm

Nếu ac < 0  x 2 > 0  pt có hai nghiệm x1,2 = ±

a

c



2

14

2 

2

7



2

14

4 

2

14

4 

 

2

7 2

x  2 

?4

2 Định nghĩa.

1 Bài toán mở đầu.

• Ph ơng trình bậc hai một ẩn (nói gọn là ph ơng trình

bậc hai) là ph ơng trình có dạng :

ax² + bx + c = 0

trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho tr ớc gọi là

2

14 4

x

; 2

14 4

3 Một số ví dụ về giải ph ơng trình bậc hai.

Cách giải ph ơng trình bậc hai khuyết c

ax + bx = 0 (a 0) ² - 28x + 52 = 0 ≠ 0.

 x(ax + b) = 0  x = 0 hoặc ax + b = 0  x = 0 hoặc x =

Vậy ph ơng trình có hai nghiệm : x 1 = 0 , x 2 = a

b

b



a/ x + 50x - 15000 = 0 là một ph ơng trình bậc hai ² + 50x - 15000 = 0 là một phương trình bậc hai

b/ -2y + 5y = 0 là một ph ơng trình bậc hai ² + 50x - 15000 = 0 là một phương trình bậc hai

c/ 2t - 8 = 0 là một ph ơng trình bậc hai ² + 50x - 15000 = 0 là một phương trình bậc hai

với các hệ số a = 1, b = 50, c = -15000

với các hệ số a = -2, b = 5, c = 0

với các hệ số a = 2, b = 0, c = -8

Ví dụ :

Cách giải ph ơng trình bậc hai khuyết b

ax + c = 0 (a 0) ² - 28x + 52 = 0 ≠ 0.

 ax 2 = -c Nếu ac > 0  x 2 < 0  pt vô nghiệm

Nếu ac < 0  x 2 > 0  pt có hai nghiệm x1,2 = ±

a

c



?7 2x2  8x   1

Giải ph ơng trình:

2x - 8x + 1 = 0 ² - 28x + 52 = 0.

Ví dụ 3

?6

2

1 4x

x2   

Chia hai vế của ph ơng trình cho 2 ta đ ợc :

Thêm 4 vào hai vế của ph ơng trình ta đ ợc :

Biến đổi vế trái của ph ơng trình ta đ ợc :

Theo kết quả ?4, ph ơng trình có hai nghiệm là :

4 2

1 4

4x

x2











?5 Giải ph ơng trình x 2  4x47 2

2

7 2)

(x  2 

2

7



 x-2 =

2

14

2 

 x =

Chuyển 1 sang vế phải ta đ ợc

2 Định nghĩa.

1 Bài toán mở đầu.

• Ph ơng trình bậc hai một ẩn (nói gọn là ph ơng trình

bậc hai) là ph ơng trình có dạng :

ax² + bx + c = 0

trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho tr ớc gọi là

4 2

1 4

4x

x2











3 Một số ví dụ về giải ph ơng trình bậc hai.

Cách giải ph ơng trình bậc hai khuyết c

ax + bx = 0 (a 0) ² - 28x + 52 = 0 ≠ 0.

 x(ax + b) = 0  x = 0 hoặc ax + b = 0  x = 0 hoặc x =

Vậy ph ơng trình có hai nghiệm : x 1 = 0 , x 2 = a

b

b



a/ x + 50x - 15000 = 0 là một ph ơng trình bậc hai ² + 50x - 15000 = 0 là một phương trình bậc hai

b/ -2y + 5y = 0 là một ph ơng trình bậc hai ² + 50x - 15000 = 0 là một phương trình bậc hai

c/ 2t - 8 = 0 là một ph ơng trình bậc hai ² + 50x - 15000 = 0 là một phương trình bậc hai

với các hệ số a = 1, b = 50, c = -15000

với các hệ số a = -2, b = 5, c = 0

với các hệ số a = 2, b = 0, c = -8

Ví dụ :

Cách giải ph ơng trình bậc hai khuyết b

ax + c = 0 (a 0) ² - 28x + 52 = 0 ≠ 0.

 ax 2 = -c Nếu ac > 0  x 2 < 0  pt vô nghiệm

Nếu ac < 0  x 2 > 0  pt có hai nghiệm x1,2 = ±

a

c



1 8x

2x

2

7 4

4x

x2







Giải ph ơng trình:

2x - 8x + 1 = 0 ² - 28x + 52 = 0.

Ví dụ 3

2

1 4x

x2   

Chia hai vế của ph ơng trình cho 2 ta đ ợc :

Thêm 4 vào hai vế của ph ơng trình ta đ ợc :

Biến đổi vế trái của ph ơng trình ta đ ợc :

2

14 4

x

; 2

14 4

x1   2  

Vậy PT có hai nghiệm là:

2

7 2)

(x  2 

2

7



 x-2 =

2

14

2 

 x =

Chuyển 1 sang vế phải ta đ ợc

2 Định nghĩa.

1 Bài toán mở đầu.

• Ph ơng trình bậc hai một ẩn (nói gọn là ph ơng trình

bậc hai) là ph ơng trình có dạng :

ax² + bx + c = 0

trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho tr ớc gọi là

3 Một số ví dụ về giải ph ơng trình bậc hai.

Cách giải ph ơng trình bậc hai khuyết c

ax + bx = 0 (a 0) ² - 28x + 52 = 0 ≠ 0.

 x(ax + b) = 0  x = 0 hoặc ax + b = 0  x = 0 hoặc x =

Vậy ph ơng trình có hai nghiệm : x 1 = 0 , x 2 = a

b

b



a/ x + 50x - 15000 = 0 là một ph ơng trình bậc hai ² + 50x - 15000 = 0 là một phương trình bậc hai

b/ -2y + 5y = 0 là một ph ơng trình bậc hai ² + 50x - 15000 = 0 là một phương trình bậc hai

c/ 2t - 8 = 0 là một ph ơng trình bậc hai ² + 50x - 15000 = 0 là một phương trình bậc hai

với các hệ số a = 1, b = 50, c = -15000

với các hệ số a = -2, b = 5, c = 0

với các hệ số a = 2, b = 0, c = -8

Ví dụ :

Cách giải ph ơng trình bậc hai khuyết b

ax + c = 0 (a 0) ² - 28x + 52 = 0 ≠ 0.

 ax 2 = -c Nếu ac > 0  x 2 < 0  pt vô nghiệm

Nếu ac < 0  x 2 > 0  pt có hai nghiệm x1,2 = ±

a

c



4 Luyện tập:

2

3/ x  x  

2

4 / x  3 x 

2

2

x

3

2

-5

2 1

1 3

2

0 0

0

2 2



Tìm các hệ số a, b, c của các PT bậc hai một ẩn sau?

2 Định nghĩa.

1 Bài toán mở đầu.

• Ph ơng trình bậc hai một ẩn (nói gọn là ph ơng trình

bậc hai) là ph ơng trình có dạng :

ax² + bx + c = 0

trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho tr ớc gọi là

3 Một số ví dụ về giải ph ơng trình bậc hai.

Cách giải ph ơng trình bậc hai khuyết c

ax + bx = 0 (a 0) ² - 28x + 52 = 0 ≠ 0.

 x(ax + b) = 0  x = 0 hoặc ax + b = 0  x = 0 hoặc x =

Vậy ph ơng trình có hai nghiệm : x 1 = 0 , x 2 = a

b

b



a/ x + 50x - 15000 = 0 là một ph ơng trình bậc hai ² + 50x - 15000 = 0 là một phương trình bậc hai

b/ -2y + 5y = 0 là một ph ơng trình bậc hai ² + 50x - 15000 = 0 là một phương trình bậc hai

c/ 2t - 8 = 0 là một ph ơng trình bậc hai ² + 50x - 15000 = 0 là một phương trình bậc hai

với các hệ số a = 1, b = 50, c = -15000

với các hệ số a = -2, b = 5, c = 0

với các hệ số a = 2, b = 0, c = -8

Ví dụ :

Cách giải ph ơng trình bậc hai khuyết b

ax + c = 0 (a 0) ² - 28x + 52 = 0 ≠ 0.

 ax 2 = -c Nếu ac > 0  x 2 < 0  pt vô nghiệm

Nếu ac < 0  x 2 > 0  pt có hai nghiệm x1,2 = ±

a

c



Bài tập 11 (Sgk-42)

2

1 3x 7

2x

x 5

3

1 x 3 3

x 2x









a/ 5x + 2x = 4 x ² - 28x + 52 = 0 – x

 5x + 2x + x – 4 = 0 ² + 2x + x – 4 = 0

 5x + 3x – 4 = 0 ² + 2x + x – 4 = 0 Cóưaư=ư5ư,ưưưbư=ư3ư,ưưưcư=ư-4

2

15 c

, 1

- b , 5

3 a 0

2

15

x -x 5 3

0 2

1 -7 3x -2x x

5 3

2

2























có

1) 3 ( c

, 3 1

b , 2 a

0 1) 3 ( )x 3 (1

2x2

























Có a = 2 , b = - 2(m 1) – x , c = m² - 28x + 52 = 0.

Đ a các ph ơng trình sau về dạng ax ² + 50x - 15000 = 0 là một phương trình bậc hai + bx + c = 0 và chỉ rõ các hệ số a, b, c :

1/ Học kĩ bài theo Sgk và vở ghi.

2/ Nắm chắc định nghĩa và một số cách giải ph ơng trình bậc hai dạng đặc biệt (b = 0 hoặc c = 0) và ph ơng trình đầy đủ.

3/ Làm các bài tập 12, 13 (Sgk-42, 43).

4/ Đọc và nghiên cứu tr ớc bài Công thức nghiệm của ph ơng “Công thức nghiệm của phương

trình bậc hai ”.