Sự tương giao của parabol và đường thẳng Bài 9.. Chứng minh rằng với mọi m đồ thị Pm luôn cắt đường thẳng y = x tại hai điểm phân biệt và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng hằng số.. Phươ
Trang 1Hàm số bậc hai - một số dạng toán liên quan
Dạng 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
Bài 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a)y= x2- 6x+ 3 b)y= x2- 4x+ 3 c)y= -x2 + 5x- 4 d) y= 3x2+ 7x+ 2 e) y= -x2- 2x+ 4
Bài 2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) y x 2 4x 3 b) yx 2 4x 3 c) y x 2 4 x 3 d) yx 2 4 x 3 e) y x 2 4x 3
Bài 3 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
a) y = x2 -5x + 7 trên đoạn [-2;5] b) y = - Hàm số bậc hai - một số
dạng toỏn liờn quan
Dạng 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
Bài 1 Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a)y= x2- 6x+ 3 b)y= x2- 4x+ 3 c)y= -x2 + 5x- 4 d) y= 3x2+ 7x+ 2 e) y= -x2- 2x+ 4
Bài 2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) y x 2 4x 3 b) yx 2 4x 3 c) y x 2 4 x 3 d) yx 2 4 x 3 e) y x 2 4x 3
Bài 3 Tỡm giỏ trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
a) y = x2 -5x + 7 trên đoạn [-2;5] b) y = -2x2 + x -3 trên đoạn [1;3]
c) y = -3x2 - x + 4 trên đoạn [-2;3] d) y = x2 + 3x -5 trên đoạn [-4; -1]
Bài 4 Tỡm m để các bất phương trỡnh sau đúng với mọi giá trị của m:
a) x2 - 3x + 1 > m b) -x2 +2x - 1 > 4m c) 2x 2 x 1 2m 1
d) 3x 2 x 3 3m e) x 1 x 2 x 3 x 4 m f) x 2 2x 1 m 2 m
g) x 3 x 5 x 2 x 4 3m 1
Dạng 2 Lập phương trỡnh của parabol khi biết cỏc yếu tố của nú
Bài 5 Xác định phương trỡnh cỏc parabol:
a) y= x2+ ax+ b đi qua S(0; 1)
b) y= ax2+ x+ b đi qua S(1; -1)
c) y= ax2+ bx- 2 đi qua S(1; 2)
d) y= ax2+ bx+ c đi qua ba điểm A(1; -1), B(2; 3), C(-1; -3)
e) y= ax2+ bx+ c cắt trục hoành tại x1= 2và x2= 3, cắt trục tung tại: y= 6
f) y= ax2+ bx+ c đi qua hai điểm m(2; -7), N(-5; 0) và có trục đối xứng x= -2
g) y= ax2+ bx+ c đạt cực tiểu bằng –6 tại x= -3 và qua điểm E(1; -2)
h) y= ax2+ bx+ c đạt cực đại bằng 7 tại x= 2 và qua điểm F(-1; -2)
i) y= ax2+ bx+ c qua S(-2; 4) và A(0; 6)
Bài 6 Tỡm parabol y=ax2+ bx+ 2 biết rằng parabol đó:
a) Đi qua hai điểm A(1; 5) và B(-2; 8) b)Cắt trục hoành tại x1= 1 và x2= 2
c) Đi qua điểm C(1; -1) và có trục đối xứng x= 2 d)Đạt cực tiểu bằng 3/2 tại x= -1
e) Đạt cực đại bằng 3 tại x= 1
Bài 7 Tỡm parabol y= ax2+ 6x+ c biết rằng parabol đó
a) Đi qua hai điểm A(1; -2) và B(-1; -10) b)Cắt trục hoành tại x1= -2 và x2= -4
c) Đi qua điểm C(2; 5) và có trục đối xứng x= 1 d)Đạt cực tiểu bằng -1 tại x= -1
e) Đạt cực đại bằng 2 tại x= 3
Bài 8 Lập phương trỡnh của (P) y = ax2 + bx + c biết (P) đi qua A(-1;0) và tiếp xúc với đường thẳng (d)
y = 5x +1 tại điểm M có hoành độ x = 1
Dạng 3 Sự tương giao của parabol và đường thẳng
Bài 9 Tỡm toạ độ giao điểm của các hàm số sau:
a) y= x- 1 và y= x2- 2x- 1 b) y=-x+ 3 và y= -x2- 4x +1
c) y= 2x- 5 và y=x2- 4x+ 4 d) y= 2x+ 1 và y=x2- x- 2
e) y= 3x- 2 và y= -x2- 3x+ 1 f) y=
-4
1 x+ 3 và y=
2
1
x2+ 4x+ 3
Bài 10 Tỡm toạ độ giao điểm của các hàm số sau:
Trang 2a) y= 2x2+3x+ 2 và y= -x2+ x- 1 b) y= 4x2- 8x+ 4 và y= -2x2+ 4x- 2
c) y= 3x2+ 10x+ 7 và y= -4x2+ 3x+ 1 d)y= x2- 6x+ 8 và y= 4x2- 5x+ 3
e)y= -x2+ 6x- 9 và y= -x2+ 2x+ 3 f) y= x2- 4 và y= -x2+ 4
Bài 11 Biện luận số giao điểm của đường thẳng (d) với parabol (P)
a) (d): y= mx- 1 và (P): y= x2- 3x+ 2 b)(d): y= x- 3m+ 2 và (P): y= x2- x c) (d): y= (m- 1)x+ 3 và (P): y= -x2+ 2x+ 3 d)(d): y= 5x+ 2m+ 5 và (P): y= 5x2+ 3x- 7
Bài 12 Cho họ (Pm) y = mx2 + 2(m-1)x + 3(m-1) với m0 Hóy viết phương trỡnh của parabol thuộc
họ (Pm) tiếp xỳc với Ox
Bài 13Cho họ (Pm) y = x2 + (2m+1)x + m2 – 1 Chứng minh rằng với mọi m đồ thị (Pm) luôn cắt đường thẳng y = x tại hai điểm phân biệt và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng hằng số
Dạng 4 Phương trỡnh tiếp tuyến của Parabol
Bài 14 Viết phương trỡnh tiếp tuyến của (P) y = x2 - 2x +4 biết tiếp tuyến:
a) Tiếp điểm là M(2;4) b) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d1) y = -2x + 1
c) Tiếp tuyến đi qua điểm A(1:2) d) Tiếp tuyến vuông góc với (d2) y = 3x + 2
Bài 15 Viết phương trỡnh tiếp tuyến của (P) y = -2x2 + 3x -1 biết tiếp tuyến:
a) Tiếp điểm là M(-1;3) b) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d1) y = 3x -2
c) Tiếp tuyến đi qua điểm A(-3:2) d) Tiếp tuyến vuông góc với (d2) y = -3x -1
Dạng 5 Điểm đặc biệt của Parabol
Bài 16 Tỡm điểm cố định của (Pm): y = mx2 + 2(m-2)x - 3m +1
Bài 17 Tỡm điểm cố định của (Pm): y = (m+1)x2 - 3(m+1)x - 2m -1
Bài 18 Tỡm điểm cố định của (Pm): y = (m2 - 1)x2 - 3(m+1)x - m2 -3m + 2
Dạng 6 Quĩ tích điểm
Bài 19 Tỡm quĩ tớch đỉnh của (Pm) y = x2 - mx + m
Bài 20 Tỡm quĩ tớch đỉnh của (Pm) y = x2 - (2m+1)x + m-1
Bài 21 Cho (P) y = x2
a) Tỡm quỹ tớch cỏc điểm mà từ đó có thể kẻ được đúng hai tiếp tuyến tới (P)
b) Tỡm quỹ tớch tất cả cỏc điểm mà từ đó ta có thể kẻ được hai tiếp tuyến tới (P) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau
Dạng 7 Khoảng cách giữa hai điểm liên quan đến parabol
Bài 22 Cho (P) y x 2
4
và điểm M(0;-2) Gọi (d) là đường thẳng qua M có hệ số góc k a) Chứng tỏ với mọi m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B
b) Tỡm k để AB ngắn nhất
Bài 23 Cho (P) y = x2, lấy hai điểm thuộc (P) là A(-1;1) và B(3;9) và M là một điểm thuộc cung AB Tỡm toạ độ của M để diện tích tam giác AMB là lớn nhất
Bài 24 Cho hàm số y = x2 +(2m+1)x + m2 - 1 có đồ thị (P)
a) Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị (P) luôn cắt đường thẳng y = x tại hai điểm phân biệt và khoảng cách giữa hai điểm này không đổi
b) Chứng minh rằng với mọi m, (P) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định Tỡm phương trỡnh đường thẳng đó
Bài 25 Cho (P) y 2x 2 x 3 Gọi A và B là hai điểm di động trên (P) sao cho AB=4 Tỡm quĩ tớch trung điểm I của AB
Dạng 8 ứng dụng của đồ thị trong giải phương trỡnh, bpt
Bài 26 Biện luận theo m số nghiệm của phương trỡnh:
a) x2 + 2x + 1 = m b) x2 -3x + 2 + 5m = 0 c) - x2 + 5x -6 - 3m = 0
Bài 27 Biện luận theo m số nghiệm của phương trỡnh:
a) x 2 5x 6 3m 1 b) x 2 4 x 3 2m 3 c) 2x 2 x 4m 3 0
Bài 28 Tỡm m để phương trỡnh sau cú nghiệm duy nhất:x 22x2 4 x 22x 5 m
Bài 29 Tỡm m để phương trỡnh sau cú 4 nghiệm phõn biệt: x 2 x 2 4m 3
Bài 30 Tỡm m để phương trỡnh sau cú 3 nghiệm phõn biệt: x 2 x 2 5 2m
Bài 31 Tỡm giỏ trị lớn nhất, nhỏ nhất của yf x( )x 4 4x 3 x 210x 3 trên đoạn [-1;4]
Trang 3Bài 32 Cho x, y, z thay đổi thoả món x2 + y2 + z2 = 1 Tỡm giỏ trị lớn nhất và nhỏ nhất của P= x + y + z + xy+ yz + zx
Bài 33 Tỡm m để bất đẳng thức x 2 2x 1 m 2 thoả món với mọi x thuộc đoạn [1;2].0
Tương lai đang chờ đón các em ở phía trước!
Hóy chuẩn bị thật đầy đủ hành trang để tự tin bước vào tương lai bằng việc học tập và rèn luyện chăm chỉ ngay từ hụm nay!
2x2 + x -3 trên đoạn [1;3]
c) y = -3x2 - x + 4 trên đoạn [-2;3] d) y = x2 + 3x -5 trên đoạn [-4; -1]
Bài 4 Tìm m để các bất phương trình sau đúng với mọi giá trị của m:
a) x2 - 3x + 1 > m b) -x2 +2x - 1 > 4m c) 2x 2 x 1 2m 1
d) 3x 2 x 3 3m e) x 1 x 2 x 3 x 4 m f) x 2 2x 1 m 2 m
g) x 3 x 5 x 2 x 4 3m 1
Dạng 2 Lập phương trình của parabol khi biết các yếu tố của nó
Bài 5 Xác định phương trình các parabol:
j) y= x2+ ax+ b đi qua S(0; 1)
k) y= ax2+ x+ b đi qua S(1; -1)
l) y= ax2+ bx- 2 đi qua S(1; 2)
m) y= ax2+ bx+ c đi qua ba điểm A(1; -1), B(2; 3), C(-1; -3)
n) y= ax2+ bx+ c cắt trục hoành tại x1= 2và x2= 3, cắt trục tung tại: y= 6
o) y= ax2+ bx+ c đi qua hai điểm m(2; -7), N(-5; 0) và có trục đối xứng x= -2
p) y= ax2+ bx+ c đạt cực tiểu bằng –6 tại x= -3 và qua điểm E(1; -2)
q) y= ax2+ bx+ c đạt cực đại bằng 7 tại x= 2 và qua điểm F(-1; -2)
r) y= ax2+ bx+ c qua S(-2; 4) và A(0; 6)
Bài 6 Tìm parabol y=ax2+ bx+ 2 biết rằng parabol đó:
a) Đi qua hai điểm A(1; 5) và B(-2; 8) b)Cắt trục hoành tại x1= 1 và x2= 2
c) Đi qua điểm C(1; -1) và có trục đối xứng x= 2 d)Đạt cực tiểu bằng 3/2 tại x= -1
e) Đạt cực đại bằng 3 tại x= 1
Bài 7 Tìm parabol y= ax2+ 6x+ c biết rằng parabol đó
a) Đi qua hai điểm A(1; -2) và B(-1; -10) b)Cắt trục hoành tại x1= -2 và x2= -4
c) Đi qua điểm C(2; 5) và có trục đối xứng x= 1 d)Đạt cực tiểu bằng -1 tại x= -1
e) Đạt cực đại bằng 2 tại x= 3
Bài 8 Lập phương trình của (P) y = ax2 + bx + c biết (P) đi qua A(-1;0) và tiếp xúc với đường thẳng (d)
y = 5x +1 tại điểm M có hoành độ x = 1
Dạng 3 Sự tương giao của parabol và đường thẳng
Bài 9 Tìm toạ độ giao điểm của các hàm số sau:
a) y= x- 1 và y= x2- 2x- 1 b) y=-x+ 3 và y= -x2- 4x +1
c) y= 2x- 5 và y=x2- 4x+ 4 d) y= 2x+ 1 và y=x2- x- 2
e) y= 3x- 2 và y= -x2- 3x+ 1 f) y=
-4
1 x+ 3 và y=
2
1
x2+ 4x+ 3
Bài 10 Tìm toạ độ giao điểm của các hàm số sau:
a) y= 2x2+3x+ 2 và y= -x2+ x- 1 b) y= 4x2- 8x+ 4 và y= -2x2+ 4x- 2
c) y= 3x2+ 10x+ 7 và y= -4x2+ 3x+ 1 d)y= x2- 6x+ 8 và y= 4x2- 5x+ 3
e)y= -x2+ 6x- 9 và y= -x2+ 2x+ 3 f) y= x2- 4 và y= -x2+ 4
Bài 11 Biện luận số giao điểm của đường thẳng (d) với parabol (P)
a) (d): y= mx- 1 và (P): y= x2- 3x+ 2 b)(d): y= x- 3m+ 2 và (P): y= x2- x d) (d): y= (m- 1)x+ 3 và (P): y= -x2+ 2x+ 3 d)(d): y= 5x+ 2m+ 5 và (P): y= 5x2+ 3x- 7
Bài 12 Cho họ (Pm) y = mx2 + 2(m-1)x + 3(m-1) với m0 Hãy viết phương trình của parabol thuộc họ (Pm) tiếp xúc với Ox
Bài 13Cho họ (Pm) y = x2 + (2m+1)x + m2 – 1 Chứng minh rằng với mọi m đồ thị (Pm) luôn cắt đường thẳng y = x tại hai điểm phân biệt và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng hằng số
Dạng 4 Phương trình tiếp tuyến của Parabol
Bài 14 Viết phương trình tiếp tuyến của (P) y = x2 - 2x +4 biết tiếp tuyến:
Trang 4a) Tiếp điểm là M(2;4) b) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d1) y = -2x + 1
c) Tiếp tuyến đi qua điểm A(1:2) d) Tiếp tuyến vuông góc với (d2) y = 3x + 2
Bài 15 Viết phương trình tiếp tuyến của (P) y = -2x2 + 3x -1 biết tiếp tuyến:
a) Tiếp điểm là M(-1;3) b) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d1) y = 3x -2
c) Tiếp tuyến đi qua điểm A(-3:2) d) Tiếp tuyến vuông góc với (d2) y = -3x -1
Dạng 5 Điểm đặc biệt của Parabol
Bài 16 Tìm điểm cố định của (Pm): y = mx2 + 2(m-2)x - 3m +1
Bài 17 Tìm điểm cố định của (Pm): y = (m+1)x2 - 3(m+1)x - 2m -1
Bài 18 Tìm điểm cố định của (Pm): y = (m2 - 1)x2 - 3(m+1)x - m2 -3m + 2
Dạng 6 Quĩ tích điểm
Bài 19 Tìm quĩ tích đỉnh của (Pm) y = x2 - mx + m
Bài 20 Tìm quĩ tích đỉnh của (Pm) y = x2 - (2m+1)x + m-1
Bài 21 Cho (P) y = x2
a) Tìm quỹ tích các điểm mà từ đó có thể kẻ được đúng hai tiếp tuyến tới (P)
b) Tìm quỹ tích tất cả các điểm mà từ đó ta có thể kẻ được hai tiếp tuyến tới (P) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau
Dạng 7 Khoảng cách giữa hai điểm liên quan đến parabol
Bài 22 Cho (P)
2
x y 4
và điểm M(0;-2) Gọi (d) là đường thẳng qua M có hệ số góc k a) Chứng tỏ với mọi m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B
b) Tìm k để AB ngắn nhất
Bài 23 Cho (P) y = x2, lấy hai điểm thuộc (P) là A(-1;1) và B(3;9) và M là một điểm thuộc cung AB Tìm toạ độ của M để diện tích tam giác AMB là lớn nhất
Bài 24 Cho hàm số y = x2 +(2m+1)x + m2 - 1 có đồ thị (P)
a) Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị (P) luôn cắt đường thẳng y = x tại hai điểm phân biệt và khoảng cách giữa hai điểm này không đổi
b) Chứng minh rằng với mọi m, (P) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định Tìm phương trình đường thẳng đó
Bài 25 Cho (P) y 2x 2 x 3 Gọi A và B là hai điểm di động trên (P) sao cho AB=4 Tìm quĩ tích trung điểm I của AB
Dạng 8 ứng dụng của đồ thị trong giải phương trình, bpt
Bài 26 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
a) x2 + 2x + 1 = m b) x2 -3x + 2 + 5m = 0 c) - x2 + 5x -6 - 3m = 0
Bài 27 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
a) x 2 5x 6 3m 1 b) x 2 4 x 3 2m 3 c) 2x 2 x 4m 3 0
Bài 28 Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:x 22x2 4 x 22x 5 m
Bài 29 Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: x 2 x 2 4m 3
Bài 30 Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: x 2 x 2 5 2m
Bài 31 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của yf x( )x 4 4x 3 x 210x 3 trên đoạn [-1;4]
Bài 32 Cho x, y, z thay đổi thoả mãn x2 + y2 + z2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P= x + y + z + xy+ yz + zx
Bài 33 Tìm m để bất đẳng thức x 2 2x 1 m 2 thoả mãn với mọi x thuộc đoạn [1;2].0
Tương lai đang chờ đón các em ở phía trước!
Hãy chuẩn bị thật đầy đủ hành trang để tự tin bước vào tương lai bằng việc học tập và rèn luyện chăm chỉ ngay từ hôm nay!