SKKN Giúp học sinh tự tin giải bài tập về căn thức bậc hai có liên quan đến hằng đẳng thức

SKKN Giúp học sinh tự tin giải bài tập về căn thức bậc hai có liên quan đến hằng đẳng thứcSKKN Giúp học sinh tự tin giải bài tập về căn thức bậc hai có liên quan đến hằng đẳng thứcSKKN Giúp học sinh tự tin giải bài tập về căn thức bậc hai có liên quan đến hằng đẳng thứcSKKN Giúp học sinh tự tin giải bài tập về căn thức bậc hai có liên quan đến hằng đẳng thứcSKKN Giúp học sinh tự tin giải bài tập về căn thức bậc hai có liên quan đến hằng đẳng thứcSKKN Giúp học sinh tự tin giải bài tập về căn thức bậc hai có liên quan đến hằng đẳng thứcSKKN Giúp học sinh tự tin giải bài tập về căn thức bậc hai có liên quan đến hằng đẳng thứcSKKN Giúp học sinh tự tin giải bài tập về căn thức bậc hai có liên quan đến hằng đẳng thứcSKKN Giúp học sinh tự tin giải bài tập về căn thức bậc hai có liên quan đến hằng đẳng thứcSKKN Giúp học sinh tự tin giải bài tập về căn thức bậc hai có liên quan đến hằng đẳng thức

A Đặt vấn đề

I Mở đầu

Chương trình Toán ở trường THCS được xây dựng theo nguyên tắc đảm bảo tính hệ thống giữa các lớp trong toàn cấp học THCS và làm nền tảng cho chương trình Toán THPT Tính mới của chương trình là tăng tính thực tiễn và tính sư phạm, tạo điều kiện để học sinh được tăng cường luyện tập, rèn luyện kỹ năng tính toán vận dụng các kiến thức toán học vào đời sống và các môn học khác

Trên cơ sở nhân đa thức với đa thức, hằng đẳng thức đáng nhớ ( trong chương trình toán 8) đóng một vai trò rất quan trọng, làm nền tảng để giải các bài toán có liên quan đến các biểu thức chứa căn thức bậc hai, các phương trình, hệ phương trình, Hằng đẳng thức đáng nhớ giúp học sinh biến đổi đơn giản, rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai tốt hơn

Làm thế nào để giúp học sinh tự tin giải bài tập về căn thức bậc hai có liên quan đến hằng đẳng thức là vấn đề cần giải quyết khi người giáo viên dạy chương I: “ Căn bậc hai – Căn bậc ba ”

Vì vậy tôi lựa chọn chủ đề “ Giúp học sinh tự tin giải bài tập về căn thức bậc hai có liên quan đến hằng đẳng thức”, nhằm giúp học sinh tự tin giải được các bài tập ở chương I, giúp các em học tốt các chương tiếp theo trong chương trình Toán 9

II thực trạng của vấn đề nghiên cứu

1 Thực trạng

 Vì nhiều nguyên nhân, tình hình học Toán của nhiều học sinh THCS hiện nay chưa được tốt lắm Kết quả bài kiểm tra chất lượng đầu năm môn Toán lớp 9 ở nhiều trường khá thấp so với yêu cầu thực tế giáo dục, trong đó có trường THCS Bình Minh

Kết quả khảo sát chất lượng đầu năm của trường THCS Bình Minh phần các bài tập liên quan đến hằng đẳng thức đáng nhớ được thống kê dưới bảng số liệu sau:

Lớp Sĩ

số

bình

trở lên

Cộng 53 6 11,3 25 47,2 14 26,4 7 13,2 1 1,9 22 41,5

Từ kết quả cho thấy những sơ suất mà học sinh thường vấp phải khi giải bài tập liên quan đến bảy hằng đẳng thức đáng nhớ tập trung ở các mức độ sau:

* Mức độ 1: Không thuộc hằng đẳng thức đáng nhớ

Học thuộc máy móc và không nắm được quy tắc nhân đa thức với đa thức nên nhiều học sinh có sai lầm tai hại:

(A + B)2 = A2 + B2

(A - B)2 = A2 - B2

Một số học sinh: lẫn lộn hằng đẳng thức 2: (A - B)2 với hằng đẳng thức 3:

A2 - B2; lẫn lộn hằng đẳng thức 4: (A + B)3 với hằng đẳng thức 6: A3 + B3 ; lẫn lộn hằng đẳng thức 5: (A - B)3 với hằng đẳng thức 7: A3 - B3 ;

* Mức độ 2: Thuộc hằng đẳng thức nhưng chưa vận dụng được:

• Nguyên nhân:

- Không xác định đúng các biểu thức A và B trong từng hằng đẳng thức

Ví dụ: (2x – 3y)2 = (2x)2 – 2.2x.(-3y) + (-3y)2

hoặc (2x – 3y)2 = 2x2 – 2.2x.3y + 3y2

- Không thuộc các công thức có liên quan khi tính toán

Ví dụ: (2x)2 = 2x2

x2 + 4x = 4x3

* Mức độ 3: Vận dụng được hằng đẳng thức để giải toán nhưng chưa thành thạo, thiếu tự tin khi gặp dạng toán mới, toán nâng cao

- Nhờ kinh nghiệm giảng dạy, nhiều giáo viên dự đoán trước được những khó khăn, sai lầm của học sinh khi giải toán ở từng mức độ như đã nêu

Trong năm học 2010-2011, tôi được phân công dạy Toán khối 9

* Thuận lợi:

- Cơ sở vật chất của nhà trường tương đối đầy đủ

- Thời gian luyện tập được tăng cường ( trường dạy 2 buổi/ngày)

- Ban giám hiệu, các đoàn thể, phụ huynh học sinh và giáo viên phối hợp giáo dục bước đầu có hiệu quả

* Khó khăn:

- Nhiều học sinh chưa thuộc về bảy hằng đẳng thức đáng nhớ

- Nhiều học sinh còn nhận thức sai lầm về bảy hằng đẳng thức đáng nhớ thể hiện ở các mức độ như đã trình bày ở trên, dẫn đến vận dụng bảy hằng đẳng thức đáng nhớ vào giải bài tập còn khó khăn

- Việc vận dụng hằng đẳng thức vào giải bài tập chưa thành kỹ năng

- Nhiều học sinh lớp 9 không giải được các bài toán cơ bản ở các lớp 6,7,8

- Một số phụ huynh chưa thực sự quan tâm đến việc học của con em mình

- Thói lười học, lười suy nghĩ tư duy của học sinh còn tồn tại

Trong một thời gian ngắn, tôi phải giúp các em lấy lại căn bản và phải dạy cho kịp chương trình lớp 9

2 Từ thực trạng trên việc “ Giúp học sinh tự tin giải bài tập về căn thức bậc hai có liên quan đến hằng đẳng thức ” là rất thiết thực : Nhằm

giúp học sinh học tốt hơn về môn Toán , yêu thích môn Toán, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học

B Giải quyết vấn đề

I Các giải pháp thực hiện

1 Đối với học sinh

Nắm bắt được đặc điểm tình hình của từng học sinh về hoàn cảnh gia đình, mức độ tiếp thu, lỗ hổng kiến thức, điểm trung bình môn toán của năm học

trước

Nắm bắt được các mức độ nhận thức của học sinh về bảy hằng đẳng thức đáng nhớ, mức độ vận dụng hằng đẳng thức đáng nhớ vào giải bài tập

Phân loại đối tượng học sinh trong lớp, tổ chức thành tổ nhóm học sinh cùng giúp đỡ nhau trong học tập

2 Đối với giáo viên :

Lập kế hoạch chi tiết cho từng công việc cụ thể: công việc phải làm, cách thức thực hiện, thời gian thực hiện, chỉ tiêu cần đạt,

Lập kế hoạch cho từng tiết dạy, mục tiêu của từng tiết dạy

Phân dạng bài tập về căn thức bậc hai có liên quan đến hằng đẳng thức, giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích để tìm ra cách giải cho từng dạng bài tập

và tiến hành giải mẫu các bài cơ bản

Cho học sinh tự làm các bài tập tương tự theo hình thức làm việc cá nhân, làm việc hợp tác theo nhóm nhỏ ( 2 học sinh đến 3 học sinh ) theo dạng kèm cặp , khuyến khích các em xung phong lên bảng trình bày

Kiểm tra chặt chẽ lý thuyết và phần bài tập cho về nhà

Giáo viên theo dõi giúp đỡ kịp thời khi các em khó khăn

3 Đối với phụ huynh và các tổ chức trong nhà trường:

Thông báo tình hình học tập của học sinh cho phụ huynh, tuyên truyền vận động gia đình học sinh quan tâm đến việc học của con em mình

Phối hợp chặt chẽ với giáo viên chủ nhiệm lớp, các tổ chức đoàn thể trong nhà trường theo dõi giúp đỡ học sinh cố gắng tích cực trong học tập

II Các biện pháp để tổ chức thực hiện

1 Thu thập thông tin:

Để giảng dạy tốt chương trình mới, tiết dạy đầu tiên tôi cho học sinh làm phiếu cá nhân gồm những nội dung:

- Hoàn cảnh gia đình: thuận lợi, khó khăn

- Mức độ tiếp thu cá nhân ( nhanh, bình thường, chậm)

- Điểm trung bình môn Toán của năm học trước

- Những lỗ hổng kiến thức cần bổ sung

- Làm một số bài tập ngắn về hằng đẳng thức để kiểm tra đánh giá

Bài tập 1: Phân tích thành nhân tử:

a) x2 + 6x + 9

b) 16x2 – 8x + 1

c) 8x3 + y3

d) x3 – 125y3

Bài tập 2: Tính

a) (2x2 + y2)3

b) (3x – 2y)3

c) 252 - 242

2 Các bước tiến hành:

a) Bước 1: Kiểm tra lý thuyết và các công thức có liên quan, kiểm tra việc

học thuộc lòng hằng đẳng thức đáng nhớ của học sinh: Trước hết giáo viên cho học sinh nhắc lại cách chứng minh một vài hằng đẳng thức, phân tích tầm quan trọng của hằng đẳng thức, cách nhớ bản chất, cách nhớ hình thức

• Hình thức:

- Học sinh kiểm tra lẫn nhau trong nhóm

- Giáo viên kiểm tra đột xuất học sinh trong giờ luyện tập ( kiểm tra miệng, kiểm tra viết trên bảng, trên giấy làm bài tập trắc nghiệm,

- Mỗi tiết dạy để dành thời gian kiểm tra từ 3-5 phút ở cuối tiết

• Yêu cầu:

- Thuộc bảy hằng đẳng thức đáng nhớ.

- Phân biệt được sự khác nhau của các hằng đẳng thức

•Thời hạn: Quy định tuỳ mỗi đối tượng ( 1-2 tuần)

- Song song đó, giáo viên nhắc lại các công thức áp dụng có liên quan (ab)n =

n

a

b

 

 

  =

 a m n=

 a 2=

b) Bước 2: Thực hành

Giáo viên giúp học sinh cách tự học và học nhóm để nâng dần kiến thức

* Chia nhóm ( từ 4- 6 học sinh ) theo sở thích, trong nhóm có ít nhất một học sinh giỏi hoặc khá

* Xác định phân tích những sai lầm chung của học sinh khi làm bài tập kiểm tra trình độ

* Tổ chức cho học sinh luyện tập giải các dạng toán về căn thức bậc hai có liên quan đến hằng đẳng thức vào các tiết Luyện tập trong chương I: “Căn bậc hai – Căn bậc ba” theo phân phối chương trình và các tiết phụ đạo học sinh buổi chiều

Nội dung ôn tập các dạng toán về căn thức bậc hai liên quan đến các hằng

đẳng thức:

Hằng đẳng thức 1: (A + B) 2 = A 2 + 2AB +B 2 Hằng đẳng thức 2: (A – B) 2 = A 2 - 2AB +B 2

* Phương pháp tiến hành:

- Giáo viên phân dạng bài tập, đưa ra những bài tập cơ bản vừa sức với học sinh

- Giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích để tìm ra lời giải và thực hiện giải mẫu cho học sinh một số dạng bài tập

- Học sinh thực hiện giải bài tập tương tự theo hình thức làm việc cá nhân

và làm việc theo nhóm, không yêu cầu làm hết

* Một số dạng bài tập thực hành:

Bài tập 1: Tính ( 3 + 1)2

- Thuộc dạng hằng đẳng thức nào ? ( hằng đẳng thức 1)

- Cho học sinh xác định A = 3 ; B = 1

A2 = ( 3)2 = 3 ; B2 = 12 = 1 ; 2AB = 2 3.1

Ta có: ( 3 + 1)2 = ( 3)2 + 2 3.1 + 12 = 3 + 2 3 + 1 = 4 + 2 3

Bài tập 2: Chứng minh: ( 3 - 1)2 = 4 - 2 3 ( bài 10 tr 11 SGK toán 9)

- Biến đổi vế nào ? (biến đổi vế trái)

- Vế trái thuộc dạng hằng đẳng thức nào ? ( hằng đẳng thức 2)

- Cho học sinh xác định A = 3 ; B = 1 và sử dụng hằng đẳng thức 2 ( không được lẫn lộn B = - 1)

Các bài tập tương tự có hướng dẫn đáp số

Bài tập 3: Tính

a) ( 2+1)2 ĐS: 3 + 2 2

b) ( 2-1)2 ĐS: 3 - 2 2

c) ( 2+ 3)2 ĐS: 5 + 2 6

d) ( 7-2)2 ĐS: 11 - 4 7

e) (2 3+ 3 2)2 ĐS: 30 +12 6

Hướng dẫn: A = 2 3 ; B = 3 2

2AB =2.2 3.3 2; A2 = (2 3)2 = 4.3 = 12 ; B2 = (3 2)2 = 9.2 = 18

Bài tập 4: Tính

a) ( x+ y )2 ĐS: x + 2 xy + y ( với x,y  0 )

b) ( 2+1)2 + ( 2-1)2 ĐS: 6

c) (1 - 3)2 + ( 3-1)2 ĐS: 8

Bài tập 5: Phân tích thành nhân tử

a) x2 + 2 3x + 3 ( BT 14 c tr11 SGK)

= x2 + 2 3x + ( 3)2

= (x + 3)2 Xác định:

3

A x B









 b) x2 - 2 5x + 5 ( BT 14 d tr11 SGK)

= x2 - 2 5x + ( 5)2

= (x + 5)2 Xác định:

5

A x B











Sau đây là một số bài tập để học sinh làm quen với dạng toán nâng cao dần lên

Bài tập 6: Phân tích thành nhân tử:

a) a + b + 2 ab với a,b  0 ĐS: ( a+ b )2

b) y + 2 y  1 với y  1 ĐS: ( y 1+ 1)2

c) a + 1 - 2 a với a  0 ĐS: ( a- 1)2

Bài tập 7: Tính

a) 4 2 3 

Giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích:

2 3= 2 3.1

2.A.B = 2 3.1

Ta chọn A = 3 và B = 1

 A2 = ( 3)2 = 3 ; B2 = 12 = 1

 A2 + B2 = 3 + 1 = 4

Từ đó suy ra

4 2 3  = 3 2 3 1  

=  2 2

3  2 3.1 1 

=  3 1  2

= 3 1  = 3 1 

b) 7 4 3  ĐS: 2  3

c) 6 2 5  ĐS: 5 1 

d) 2009 2 2008  ĐS: 2008 1 

e) 29 12 5  ĐS: 2 5 3 

f) 15 6 6   33 12 6  ( bài 100 tr 19 SBT) ĐS: 6

Giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích để tính 15 6 6 

6 6= 2.3 2 3

2.A.B = 2.3 2 3

* Nếu chọn A = 3 thì B = 2 3 = 6

 A2 = 32 = 9 ; B2 = ( 6)2 = 6 ; A2 + B2 = 15

* Nếu chọn A = 3 2 thì B = 3

 A2 = (3 2)2 = 18 ; B2 = ( 3)2 = 3 ; A2 + B2 = 21

* Nếu chọn A = 2 thì B = 3 3

 A2 = ( 2)2 = 2 ; B2 = (3 3)2 = 27 ; A2 + B2 = 29

* Nếu chọn A = 3 6 thì B = 1

 A2 = (3 6)2 = 54 ; B2 = 12 = 1 ; A2 + B2 = 55

Trong các cách chọn trên, chỉ có cách chọn: A = 3 ; B = 6 là phù hợp với yêu cầu của đề bài

Tương tự: 33 12 6 

12 6 = 2.3.2 3 2

2AB = 2.3.2 3 2

Chọn A = 3 thì B = 2 6

Chọn A = 2 thì B = 3 6

Chọn A = 6 3 thì B = 2

Trong các cách chọn trên, chỉ có cách chọn: A = 3 ; B = 2 6 là phù hợp vì

A2 + B2 = 32 + (2 6)2 = 9 + 24 = 33

Từ đó suy ra 33 12 6  = 9 2.3.2 6 24  

= 2 2

3  2.3.2 6 (2 6) 

= 3 2 6  2

= 3 2 6  = 2 6 3 

Vấn đề nảy sinh bài tập: Rút gọn y = 2  3  2  3 ( BT 98 tr 18 SBT Toán 9) giải quyết thế nào ?

- Giáo viên hướng dẫn học sinh biến đổi

2  3 =  

 

2 2

3 1



và 2  3 =  

 

2

2

3 1



Từ đó suy ra: y = 2  3  2  3 = 3 1

2

 + 3 1 2

 = 3 1 3 1

2

  

= 6

hoặc tính y2 = 6 với y > 0 để được y = 6

Nội dung ôn tập các dạng toán về căn thức bậc hai liên quan đến các hằng

đẳng thức:

Hằng đẳng thức 3: A 2 – B 2 = (A + B)(A - B) Hằng đẳng thức 6: A 3 + B 3 = (A + B)(A 2 - AB+ B 2 ) Hằng đẳng thức 7: A 3 – B 3 = (A – B)(A 2 + AB+ B 2 )

* Phương pháp tiến hành:

- Giáo viên phân dạng bài tập, đưa ra những bài tập cơ bản vừa sức với học sinh

- Giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích để tìm ra lời giải và thực hiện giải mẫu cho học sinh một số dạng bài tập

- Học sinh thực hiện giải bài tập tương tự theo hình thức làm việc cá nhân

và làm việc theo nhóm, không yêu cầu làm hết

* Một số dạng bài tập thực hành:

Bài tập 1: ( Bài 22 SGK tr 15) Tính

a) 13 12 2  2

- Biểu thức dưới dấu căn thuộc dạng hằng đẳng thức nào ? ( hằng đẳng thức 3)

- Cho học sinh xác định A = 13 ; B = 12

Ta có: 13 12 2  2 = 13 12 13 12       1.25 = 25 5 

b) 17 2  8 2 ĐS: 15

c) 117 2  108 2 ĐS: 45

Bài tập 2: ( Bài 23 SGK tr 15) Chứng minh

a) (2 - 3)(2 + 3) = 1

- Biến đổi vế nào ? ( biến đổi vế trái )

- Vế trái thuộc dạng hằng đẳng thức nào ? ( hằng đẳng thức 2)

- Cho học sinh xác định A = 2 ; B = 3

Ta có VT = (2 - 3)(2 + 3) = 22 – ( 3)2 = 4 – 3 = 1

Suy ra VT = VP ( đpcm)

b)  2006  2005 và  2006  2005 là hai số nghịch đảo của nhau

Bài tập 3: Phân tích thành nhân tử

a) x – 4 với x  0

- Giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích:

x= ( x)2 ; 4 = 2 2

Từ đó suy ra: x – 4 = ( x)2 - 2 2 = ( x + 2)( x – 2)

b) 3 + 2x với x < 0 ĐS: ( 3 + 2x)( 3 - 2x)

Bài tập 4: ( Bài 63 SBT tr 12) Chứng minh

a) x y y x  x y

x y xy

  với x > 0 và y > 0

- Giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích tìm ra lời giải:

Biến đổi vế trái ta có:

VT= x y y x  x y xy x y  x y



=  x y  x y= x-y

Suy ra VT = VP (đpcm)

1

x

x



  

 với x > 0 và x 1

- Giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích tìm ra lời giải:

Biến đổi vế trái ta có:

VT = 3 1  3 1

x x







= 3 1  1  1

x

  





= x x 1

Suy ra VT = VP ( đpcm)

Bài tập 5: ( Bài 75 SBT tr 14) Rút gọn

a) x x y y



 với x  0 ; y  0; x  y

- Giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích:

x x= ( x)2 x = ( x)3 ; y y = ( y )2 y = ( y)3

 x x - y y = ( x)3 - ( y )3 = ( x - y )(x + xy+ y)

Từ đó suy ra: x x y y



 =    x -3 y 3

x y

=  x y x  xy y

 = (x + xy+ y)

b) 3 3

3 3

x x

 

 với x  0 ĐS: 1

3

x 

Các hằng đẳng thức 4 và 5: (A + B)3 lập phương của 1 tổng; (A - B)3 lập phương của 1 hiệu ở chương này ít sử dụng Có thể cho các bài tập đơn giản như: Tính: (x + y)3 ; (x - y)3 ; ( 2+ 3)3 ; ( 5+ 1)3 ;

c) Bước 3: Tiến hành Kiểm tra 1 tiết cách vận dụng kiến thức để giải các

dạng toán về căn thức bậc hai liên quan đến hằng đẳng thức như sau:

Bài 1: Phân tích thành nhân tử:

a) x2 – 3

b) x2 + 2 11.x + 11

c) y -1 - 2 y  2 với y  2

Bài 2: Tính

a) 313 2  312 2

b) (3 - 2)(3 + 2)

c) 4 2 3   4 2 3 

Bài 3: Rút gọn biểu thức

a) 2 2

2 2

x x





 

A với x  0

b)

2

1 1

x

x x

     

    

     

C Kết luận :

I Kết quả nghiên cứu.

Bằng biện pháp khảo sát thực tế chất lượng học sinh, qua bài kiểm tra tôi đã thống kê được kết quả theo bảng số liệu dưới đây:

số

bình

trở lên

Với kết quả trên 90 % học sinh đạt từ trung bình trở lên cho thấy đây là kết quả khả quan khi áp dụng các phương pháp mới Học sinh đã biết vận dụng hằng đẳng thức để giải các bài toán về căn thức bậc hai có liên quan đến hằng đẳng thức

Như vậy việc áp dụng đề tài nghiên cứu “ Giúp học sinh tự tin giải bài tập

về căn thức bậc hai có liên quan đến hằng đẳng thức” dựa vào phương châm lấy học sinh làm trung tâm, giáo viên là người hướng dẫn, hỗ trợ, yêu cầu và kiểm tra

đã phát huy tối đa tính tích cực tự giác, tự thực hành luyện tập Giáo viên là người

tổ chức giúp đỡ học sinh có nhiều cơ hội được làm việc theo nhóm hoặc tập thể

Đã bước đầu nâng cao được chất lượng dạy và học

II Bài học kinh nhiệm.

Từ thực tiễn giảng dạy và qua quá trình nghiên cứu bản thân tôi đã rút ra được một số kinh nghiệm về cách dạy học sinh học tốt môn toán đặc biệt là cách giải các dạng toán về căn thức bậc hai có liên quan đến hằng đẳng thức như sau:

- Giáo viên phải dự đoán trước những mức độ khó khăn của học sinh khi

giải bài tập về căn thức bậc hai có liên quan đến hằng đẳng thức Có nhiều bài tập

tưởng chừng như đơn giản đối với giáo viên nhưng không dễ dàng đối với học sinh, nhất là học sinh yếu - kém môn toán

- Động viên, khuyến khích, khen kịp thời học sinh là điều không thể thiếu của giáo viên đứng lớp