Giải phương trình và hệ phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Nhưng lựa chọn phương phỏp nào trong từng bài cụ thể để cú thể giải được hoặc giải nhanh cỏc phương trỡnh, hệ phương trỡnh này thỡ quả thật khụng đơn giản mà chỳng ta phải biết vận dụng

số hoặc phương phỏp đỏnh giỏ hai vế Nhưng lựa chọn phương phỏp nào trong từng bài cụ thể để cú thể giải được (hoặc giải nhanh) cỏc phương trỡnh, hệ

phương trỡnh này thỡ quả thật khụng đơn giản mà chỳng ta phải biết vận dụng linh hoạt trong từng trường hợp cụ thể

Đặc biệt đối với phương phỏp đặt ẩn phụ, việc lựa chọn đặt ẩn như thế nào, đặt ẩn hết hay khụng hết, đặt một hay nhiều ẩn là cả một vấn đề nan giải

2 Cơ sở thực tiễn.

Đối với học sinh THPT, việc hiểu cặn kẽ cõu hỏi “Tại sao lại đặt ẩn phụnhư thế?”, “Khi nào thỡ đặt ẩn phụ như vậy?” để ứng dụng vào làm toỏn khụng

hề đơn giản Túm lại, việc giải bài toỏn này đũi hỏi học sinh cú kỹ năng tốt ,cú

tư duy linh hoạt sỏng tạo và vận dụng thành thạo cỏc kiến thức toỏn học khỏcnhau vào bài tập

II Thực trạng của vấn đề nghiên cứu.

1.Thực trạng

Bài tập về giải phương trỡnh vụ tỉ và hệ phương trỡnh rất nhiều, phươngphỏp giải cũng đó được nhiều người xõy dựng vụ cựng phong phỳ Với phươngdiện là một người thầy trờn bục giảng, việc giải cỏc bài toỏn giải phương trỡnhcho học sinh hiểu đó khú nhưng việc dẫn dắt học sinh để đưa ra một cỏch giảimới mà như khụng mới, lạ mà như rất quen thuộc dễ hiểu cũn khú hơn rất nhiều

2 Kết quả, hiệu quả của thực trạng

Chớnh vỡ vậy, qua cỏc bài giảng trờn lớp, qua cỏc buổi họp nhúm và

sinh hoạt ngoại khúa, tụi đó hệ thống kiến thức lại vấn đề: “ Giải phương trỡnh

và hệ phương trỡnh vụ tỉ bằng phương phỏp đặt ẩn phụ” sao cho phự hợp

với chương trỡnh, sỏch giỏo khoa và chuẩn kiến thức kĩ năng và với đối tượng học sinh từng lớp, với cỏc đối tượng học sinh giỏi nhằm giỳp học sinh học tốt hơn và dựng làm tài liệu ụn thi đại học hoặc bồi dưỡng học sinh giỏi với gúc độ viết dẫn dắt học sinh như thế nào để cỏc em thấy học một phương phỏp mới mà như khụng mới

III nhiệm vụ của đề tài.

1.Chọn và ra hệ thống bài tập “ Giải phương trỡnh và hệ phương trỡnh vụ tỉ bằng phương phỏp đặt ẩn phụ ” sử dụng cho cỏc lớp bồi dưỡng học sinh giỏi

lớp 10,11,12 và ụn thi đại học cho học sinh khỏ, giỏi

2.Trờn cơ sở:

- Xỏc định hệ thống kiến thức cơ bản càn thiết để dạy giải cỏc bài tập

- Đưa ra một số bài tập phự hợp với nội dung kiến thức

- Hướng dẫn giải cỏc bài tập đú

IV phơng pháp nghiên cứu.

1 Nghiờn cứu lớ thuyết về dạy giải bài tập toỏn học phổ thụng

2 Trao đổi đồng nghiệp và thực tế bản thõn

3 Đọc một số tài liệu tham khảo

V Nội dung.

I Cỏc căn cứ lựa chọn hệ thống bài tập

II Nội dung kiến thức cơ bản và hệ thống bài tập

4 Phương pháp đặt nhiều ẩn phụ đưa về phương trình tích.

5 Phương pháp đặt nhiều ẩn phụ đưa phương trình thành hệ phương trình.III.Bài tập tự luyện

IV.Kết luận và kiến nghị

V Tài liệu tham khảo

B Giải quyết vấn đề.

PHẦN I

NHỮNG CĂN CỨ LỰA CHỌN HỆ THỐNG BÀI TẬP

1.Mục đớch , ý nghĩa của phương phỏp “ Giải phương trỡnh và hệ phương trỡnh vụ tỉ bằng phương phỏp đặt ẩn phụ”

Phương phỏp đặt ẩn phụ cú thể giải quyết được nhiều bài tập giải

phương trỡnh Nú giỳp chỳng ta cú thể nhỡn nhận một phương trỡnh dưới nhiều gúc độ khỏc nhau và mỗi gúc độ đú lại nảy sinh một cỏch giải đối với bài toỏn làm học sinh cảm thấy hứng thỳ học toỏn và sỏng tạo hơn

2 Cỏc yờu cầu của việc lựa chọn bài tập

a Hệ thống bài tập đầy đủ , hợp lý

Hệ thống bài tập phải đầy đủ , hợp lý , làm học sinh nắm được bản chất của phương phỏp , rốn luyện cho học sinh khả năng độc lập suy nghĩ sỏng tạo và

cú kinh nghiệm suy luận

b Hệ thống bài tập đảm bảo tớnh mục đớch của việc dạy học

Bài tập được chọn phải nhằm củng cố , khắc sõu kiến thức cơ bản vỡ nền học vấn cơ bản là cơ sơ của mọi vấn đề Cú nắm vững kiến thức cơ bản mới tạo điều kiện cho học sinh cú khả năng ỏp dụng kiến thức đó học vào việc giải quyếtcỏc vấn đề thực tế

Cỏc bài tập trang bị cho học sinh cỏc kiến thức hệ thống chớnh xỏc gúp phần rốn luyện kỹ năng , kỹ xảo

c Yờu cầu vừa sức

- Hệ thống bài tập được chọn phự hợp đối tượng học sinh được bồi dưỡng

- Bài tập đũi hỏi cú sự vận động tư duy từ đơn giản đến phức tạp

- Cỏc bài tập đơn giản nhằm làm cho học sinh nắm rừ bản chất của phương phỏp.Cỏc bài tập phức tạp hơn đũi hỏi học sinh phải biết vận dụng cỏc thao tỏc tư duykhộo lộo , sử dụng cỏc tớnh chất lý thuyết phức tạp hơn , vận dụng nhiều dạng kiến thức khỏc nhau giỳp học sinh cú điều kiện phỏt triển trớ thụng minh và nănglực sỏng tạo

d Yêu cầu cân đối Các bài tập lựa chọn phải cân đối với thời gian quy định

của chương trình và thời gian học ở nhà của học sinh

e Yêu cầu gắn với thực tế

Giao cho học sinh những bài toán có thể dùng lý thuyết giải các bài tập thực tế , làm cho học sinh thấy được toán học là một môn khoa học bắt nguồn từthực tế và phục vụ cuộc sống một cách tích cực, từ đó biến toán học thành một môn học hấp dẫn học sinh

3 Các căn cứ lựa chọn hệ thống bài tập

a Căn cứ vào mục đích dạy học

Mục đích môn toán trong trường học phổ thông :

- Dạy cho học sinh những kiến thức cơ bản, có hệ thống về số học, đại số, hình học,lượng giác

- Bồi dưỡng cho học sinh những kỹ năng thành thạo để áp dụng kiến thức ấy vào thực tiễn

- Giúp phát triển suy luận khoa học và tư duy trừu tượng , năng lực phân tích , tổng hợp

- Bồi dưỡng cho học sinh giỏi khả năng tư duy , sáng tạo toán học

b Căn cứ vào tình hình dạy học

c Căn cứ vào sách giáo khoa và chương trình

d Căn cứ vào tình huống dạy học

4 Các phương hướng lựa chọn bài tập

Các bài tập giải phương trình mà các nhóm chứa ẩn có mối quan hệ đặc biệt hoặc không có quan hệ nhưng sau khi biến đổi có thể giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ

5 Các yêu cầu đối với lời giải.

a Lời giải không có sai lầm.

b Lập luận có căn cứ chính xác.

c Lời giải đầy đủ

Ngoài các yêu cầu trên yêu cầu lời giải ngắn gọn, đầy đủ, đơn giản, trình

bày rõ ràng, hợp lý

g g

• Nếu bài toán chứa f(x) và f(x) có thể:

Đặt t= f(x) , điều kiện tối thiểu t 0≥ , khi đó f(x)=t 2

• Nếu bài toán chứa f(x) , g(x) và f(x) g(x) = k (k=const)

− ≤ ≤ hoặc x= a cost với 0 tπ≤ ≤

• Nếu bài toán chứa x - a có thể:2 2Đặt x= a

 hoặc đặt x= a cotgt với t∈( )0,π

• Nếu bài toán chứa a + x

a - x hoặc

a - x

a + x có thể đặt x=acos2t

• Nếu bài toán chứa ( x a b x− ) ( − ) có thể đặt ( ) 2

x=a+ b-a sin t

II HỆ THỐNG BÀI TẬP.

1 SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT MỘT ẨN PHỤ HẾT.

PHƯƠNG PHÁP

Phương pháp dùng một ẩn phụ hết là việc sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển

phương trình ban đầu thành một phương trình với một ẩn phụ

Nhận xét : Nếu bình phương hai vế ta có phương trình bậc cao quá ( bậc 6) rất

khó giải Để ý thấy biểu thức trong căn có dạng a - x nên ta liên tưởng đến 2 2đặt ẩn phụ dạnh lượng giác và biểu thức ngoài căn thức có dạng khai triển của cos 3x Từ đó đặt x=cost

Bài giải:

Điều kiện: 1− ≤ ≤x 1

Với điều kiện ( )* , đặt x= cost,t∈[ ]0, π ( )**

Khi đó phương trình được chuyển về dạng:

− ≥ ⇔ ≤

⇒ < ≤Đặt 3x = cost (t 0;

2

π

 

∈  ÷(**)(4) trở thành:

4cos3t – 3cost = 1 cos t− 2

⇔cos3t =sint do(**)

Nên 3 cos 2 2 log3 2 2

1+ −1 sin t=sin (1 2 1 sin )t + − t

1 cost sin (1 2 cos )t t

ận xét: Nhu cầu ta muốn đặt ẩn phụ sao cho biểu thức trong căn thức trở

thành một bình phương nên ta liên tưởng đặt x= tan t, khi đó ta nhận xét thấy hai biểu thức 2 1

2

x x

+ và 2

2

( 1) (1 )

x x

+

− trở nên rất gọn Vậy cách đặt trên là phù hợp.Lời giải:

Đk:

1 1 0

x x x

2

2 2

4 (1 ) sin 4

( 1)

t x

Nhận xét: Không phải lúc nào chúng ta cũng phát hiện ra cách đặt ẩn phụ

ngay mà phải biến đổi phương trình rồi mới nhìn thấy cách đặt ẩn phụ

Ví dụ 7: Giải phương trình : 2

x + 3 x4 −x2 =2x + 1

Nhận xét: Phương trình tương đương: x2 −2x− +1 3 x4 −x2 =0

Để ý hệ số của biểu thức bậc hai và bậc nhất ở ngoài căn bằng hệ số của biểu thức bậc 4 và bậc hai trong căn, vậy biến đổi thế nào để phần chứa ẩn này giống nhau và phần 2x không còn chứ ẩn nữa? Từ đó ta liên tưởng đến việc chia hai vếcho x

Giải: x = 0 không phải là nghiệm , Chia hai vế cho x ta được:

− = 2 Đặt t = 3 1

x x

− , Ta có : t + t - 2 = 0 3 ⇔ t = 1 ⇔ x = 1 5

2

±

Nhận xét : Đối với cách đặt ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải được một lớp bài

đơn giản, đôi khi phương trình đối với t lại quá khó giải

Ví dụ 8 :Giải hệ phương trình :

Nhận xét: để ý biểu thức trong căn

và từ điều kiện của x,y:

π α

x ngh y

Phương pháp dùng một ẩn phụ không hết là việc sử dụng 1 ẩn phụ để

chuyển phương trình ban đầu thành một phương trình chứa ẩn phụ t mới nhưngvẫn còn biến x ( phương trình đối với một trong hai biến là phương trình bậchai) Phương pháp này thường được sử dụng đối với những PT khi lựa chon ẩnphụ cho một biểu thức thì các biểu thức còn lại không biểu diễn được theo ẩnphụ hoặc biểu thức biểu diễn quá cồng kềnh

Khi này ta coi đây là PT bậc hai đối với một biến (biến còn lại là tham số),

PT này phải có biệt số ∆ là bình phương của một biểu thức

Như vậy công việc giải phương trình trở nên rất phức tạp

Nhưng trong phương trình này rõ ràng biểu thức x3+1 làm phương trình khógiải, vậy ta đặt ẩn phụ như thế nào để không phải nhìn thấy biểu thức đó nữa?

Vì vậy ta nghĩ đến việc đặt t= x3 +1 nhưng nếu thay hết x theo t thì phươngtrình lại xuất hiện căn bậc ba nên không thay hết các biến x theo t Vật ta chỉthay những vị trí x mà không làm xuất hiện căn thức mới

Đặt t = x3+1

Khi đó ta có hai cách thay ẩn phụ như sau:

342

x x

1 ) ( 4

Nhận xét: những PT giải được bằng phương pháp trên thì sẽ luôn phân tích

được thành tích các nhóm

Chính vì vậy ,trên phương diện giáo viên, nếu chúng ta muốn sáng tạo ra các

PT dạng này thì nên xuất phát từ PT dạng tích hai biểu thức chứa cùng một cănkhai triển lên và rút gọn đi ta sẽ có một đề bài không đơn giản giải được bằngphương pháp này

3.PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ LÀ HẰNG SỐ.

Đứng trước những PT sau khi đặt ẩn phụ thay hết vào PT thì PT trở thành

PT bậc cao rất khó giải ta cần phân tích PT thành PT dạng tích ,vậy làm như thếnào để phân tích nhanh được ?

Từ ý nghĩa của phương pháp 2 và mục đích của các bài này làm ta muốntạo ra phương trình bậc hai với ∆ là một bình phương, chính vì vậy ta thử đặthằng số làm ẩn

Từ mục đích hiện thời và kết hợp với ý nghĩa của phương pháp 2 ta muốn tạo ra

PT bậc hai một ẩn, nhưng ẩn t lại là bậc 4? Thấy rằng 16=42 và 8=2.4, vậy ta

có thể coi 4 là ẩn được không? Kiểm tra thấy ∆là một bình phương nên cách suy luận này là phù hợp

Bài giải:

Đặt t= 4 x+1

Phương trình trở thành: t4 +2t3+ − =8t 16 0

⇔42 −2.4.t t− −4 2t3 =0

Chú ý: Đôi lúc phương pháp xuất phát từ phương trình tích để tạo ra PT vô tỷ

còn dựa trên những đẳng thức đã biết để tạo ra các phương trình phức tạp hơn và

từ đó dẫn đến một phương pháp nữa để giải PT vô tỉ: phương pháp đặt ẩn phụ đưa về PT tích

Ví dụ 4: Giải phương trình sau : 3 2 ( )3

x − x + x+ - 6x = 0 Giải:

Nhận xét : Đặt y = x+2 ,không nên thay hết phương trình thành PT với một biến y( vì bậc của PT quá cao ) ta thử biến phương trình trên thành phương trình thuần nhất bậc 3 đối với x và y :

Đến đây bài toán được giải quyết

Nhận xét: Chúng ta có thể tự sáng tạo cho mình những phương trình vô

tỉ"đẹp" theo cách trên

5 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA PHƯƠNG TRÌNH THÀNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Dạng 1:Phương trình có dạng x n + a= bn bx a−

Nhận xét: nếu ta lũy thừa hai vế để mất căn thì được phương trình bậc cao, rất

khó giải Vì vậy ta nên đặt ẩn phụ cho phương trình này Hiển nhiên ta nghĩ đến

việc đặt y=n bx a− , nếu thay hết ẩn x theo y thì lại được PT ẩn y rất khó giải ,vậy ta không thay hết ẩn Nhưng khi này ta lại được một phương trinh hai ẩn nên cần một mối quan hệ nữa giữa x ,y Mỗi quan hệ đó từ đâu? Ta thấy có một mối quan hệ từ cách đặt ẩn phụ Vậy là ta có một hệ PT , để ý rằng hệ này rất dễ giải vì nó là hệ đối xứng loại 2

Cách giải: Đặt y=n bx a− khi đó ta có hệ đối xứng loại II

0

0

n n

x x

Nhận thấy hệ PT dạng trên dễ giải nhất thì nên chọn ,α β sao cho ta có hệ PTđối xứng loại 2 Vậy chọn α =1 khi đó ta có hệ sau

2 2

2 2

Giải ra ta tìm được nghiệm của PT là:

x= +Muốn tạo ra các phương trình dạng này ta nên xuất phát từ dạng hệ PT bậc hai

2 2

nhưng nếu trừ vế với vế hai PT thì cũng giải được bằng cách tương tự Vậy ta đặt :αy+ =β 3x+1 , chọn ,α β sao cho hệ chúng ta có thể giải được , (đối xứng hoặc gần đối xứng )

Để giải hệ trên thì ta lấy (1) nhân với k cộng với (2) và mong muốn của chúng

ta là có nghiệm x=y Nên ta phải có :

Muốn tạo ra các phương trình dạng này ta nên xuất phát từ dạng hệ PT ( )

 với x=f(y) có hàm ngược y =g(x) thay vào PT đầu ta

sẽ có một đề bài mới (không nên chọn hệ có phương pháp giải quá phức tạp)

Chú ý: Ngoài cách tìm tòi để đặt ẩn phụ như trên ,ta còn có thể tìm biểu

thức đặt ẩn phụ để đưa phương trình về hệ PT gần đối xứng bằng cách dựa vào đạo hàm như sau:

8 2

7 1

x x

Từ đó có hệ

2 2

2 2

2 2

2sin 2 (l)

Tóm lại muốn tạo ra bài toán giải phương trình vô tỷ giải bằng phương

pháp dặt ẩn phụ thì ta nên xuất phát từ một hệ PT giải được ,sau đó thay các biến trong hệ bằng các căn thức ẩn x để tạo ra phương trình vô tỷ.

PHẦN III MỘT SỐ BÀI TẬP SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TRÊN

Giải các phương trình sau :

Dạng 1 Đặt ẩn phụ hoàn toàn bằng đại số:

Bài 1 Giải các phương trình:

1) 5x2+10x+1=7−x2 −2x 2) 4 x+ x2 + 1 + x+ x2 + 1 = 23) x+1+ 3−x− (x+1)(3−x) =2 4) x+1− 12−x = −x2 +11x−23Bài 2 Giải các phương trình

x

x

5 ) 3

Bài 4 Giải các phương trình:

1 2 2

5

x

x x

x

2) x2 + 4−x2 =4+3x2. 4−x2Bài 5 Giải các phương trình:

2 2

2

1

= +

(HD: Chia cả hai vế cho x )

Dạng 2 Đặt ẩn phụ hoàn toàn bằng lượng giác:

* Có thể áp dụng cho các phương trình mà ĐK của biến số thuộc một đoạn [a; b]Bài 1: Giải các phương trình:

1) 4x3−3x= 1−x2 2) 2 2 2

4 3 − x =x x − 1 (Chia 2 vế cho x3)3) 4x3−12x2+9x− =1 2x x− 2 (Đặt (x-1) = sint)

4) 1 + 1 −x2 =x(1 2 1 + −x2)

5) 36x+ =1 2x (lập phương 2 vế)6) 5 + 3 1 −x2 = 8[x6 + ( 1 −x2 ) 3]

7)

2

2

51

x x

x

−Bài 2: Giải các phương trình:

2

2

3 3

Dạng 4: Giai hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Bài 1:Giải các hệ phương trình sau:

2 4

C KÕt luËn.

I KÕt qu¶ nghiªn cøu.

-Phương pháp đặt ẩn phụ không những giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn bài toángiải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ mà còn giúp các em biết cách lựa chọn cách giải phù hợp trước mỗi phương trình

-Phương pháp còn giúp các em tránh được một số sai lầm thường gặp trong

bài toán giải phương trình

-Phương pháp tạo cho học sinh hứng thú học tập , kiên trì sáng tạo, đồng thời giúp học sinh rèn luyện các thao tác tư duy độc lập , linh hoạt , sáng tạo và cảm nhận được niềm vui chiến thắng

-Hệ thống bài tập giúp học sinh tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức , rèn luyện kĩ năng , kĩ xảo và là tài liệu bổ ích để học sinh ôn tập nhằm đạt kết quả cao trong kì thi Cao đẳng ,Đại học, Thi học sinh giỏi

Tôi đã áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào dạy cho hai loại đối tượng

học sinh:

+ Ôn luyện thi đại học cho học sinh trung bình, khá

+Dạy bồi dưỡng học sinh giỏi

Với mọi đối tượng là học sinh, 100% các em đều hào hứng, hiểu bài và tư duy của các em phát triển rất tốt, không chỉ ở phần phương trình mà các em còn áp dụng được phương pháp tư duy này sang các phần toán khác

Sau đây là kết quả của số học sinh đạt điểm trên trung bình của việc dạy

từng phần đối với từng đối tượng:

Học sinh giỏi Học sinh trung bình,khá