Một số phương pháp giải hệ phương trình trong kì thi tuyển sinh đại học

Việc vận dụng thành thạo và phát hiện các phương pháp giải toán hệ phương trình, nâng cao chất lượng học và kiểm tra trong các kì thi Đại học được xem như là một trong những sáng tạo của

hướng dẫn đọc toàn văn báo cáo KQNC

những thông tin cần thiết ?

! H∙y đọc qua Mục lục bên tay trái bạn trước khi

đọc báo cáo ( với Acrobat 4.0 trở lên, cho trỏ chuột vào

mỗi đề mục để đọc toàn bộ dòng bị che khuất )

!Chọn đề mục muốn đọc và nháy chuột vào đó

trang báo cáo trên màn hình ?

! Chọn, nháy chuột vào 1 trong 3 kích th Chọn, nháy chuột vào 1 trong 3 kích thưưưước ớc

có sẵn trên thanh Menu

, hoặc

! Mở View trên thanh Menu, Mở View trên thanh Menu, Chọn Zoom to Mở View trên thanh Menu, Mở View trên thanh Menu, Chọn Zoom to Chọn Zoom to

! Chọn tỷ lệ có sẵn trong hộp kích th Chọn tỷ lệ có sẵn trong hộp kích thưưưước ớc hoặc tự điền tỷ lệ theo ý muốn,

hoặc tự điền tỷ lệ theo ý muốn hoặc tự điền tỷ lệ theo ý muốn, Nhấn OK , , Nhấn OK Nhấn OK

Chúc bạn hài lòng với những thông tin đ với những thông tin đưưưược cung cấp ợc cung cấp

LỜI CẢM ƠN

Trong suốt thời gian từ khi bắt đầu học tập ở giảng đường Đại học đến nay,

em nhận được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ của quý thầy cô, gia đình và bạn

bè Với lòng biết ơn sâu sắc nhất em xin được gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô ở khoa Khoa học tự nhiên - Trường Đại học Quảng Bình

Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo TS Nguyễn Thành Chung đã tận tâm hướng dẫn em qua từng buổi học trên lớp, cũng như những buổi nói chuyện, thảo luận về lĩnh vực sáng tạo trong nghiên cứu khoa học Nếu không có những lời hướng dẫn, dạy bảo của thầy thì em nghĩ khóa luận này của em rất khó có thể hoàn thiện được

Bước đầu đi vào thực tế, tìm hiểu về lĩnh vực sáng tạo trong nghiên cứu khoa học, kiến thức em còn hạn chế và còn nhiều bỡ ngỡ, do vậy không tránh khỏi những thiếu sót là điều chắc chắn Em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của quý thầy cô và các bạn

Lời cuối xin chúc sức khỏe tất cả các thầy cô, chúc thầy cô luôn hoàn thành tốt nhiệm vụ được giao

Chân thành cảm ơn!

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 3

CHƯƠNG I: MỘT SỐ PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 4

1.1 PHƯƠNG PHÁP THẾ 4

1.1.1 Nội dung phương pháp 4

1.1.2 Bài tập minh họa: 4

1.2 PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ 9

1.2.1 Nội dung phương pháp 9

1.2.2 Bài tập minh họa: 9

1.3 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 13

1.3.1 Nội dung phương pháp 13

1.3.2 Bài tập minh họa: 13

1.4 PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA 22

1.4.1 Nội dung phương pháp 22

1.4.2 Bài tập minh họa: 23

1.5 PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG HÀM SỐ 27

1.5.1 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số 27

a Nội dung phương pháp 27

b Bài tập minh họa 27

1.5.2 Sử dụng GTLN, GTNN của hàm số để tìm giá trị tham số để hệ phương trình có nghiệm 28

a Nội dung phương pháp 28

b Bài tập minh họa 29

1.5.3 Sử dụng đạo hàm 30

a Nội dung phương pháp 30

b Bài tập minh họa 30

1.6 PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC 33

1.6.1 Nội dung phương pháp 33

1.6.2 Bài tập minh họa: 33

1.7 PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC 35

1.7.1 Nội dung phương pháp: 35

1.7.2 Bài tập minh họa: 37

1.8 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC 44

1.8.1 Nội dung phương pháp 44

1.8.2 Bài tập minh họa: 44

CHƯƠNG II: BÀI TOÁN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

QUA CÁC KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC 47

2.1 Hệ phương trình đại số 47

2.2 Hệ phương trình vô tỉ 60

2.3 Hệ phương trình mũ, lôgarit 68

KẾT LUẬN 72

TÀI LIỆU THAM KHẢO 73

Nó rất phong phú đa dạng và thường xuyên xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi, Cao đẳng và Đại học Để giải tốt hệ phương trình hai ẩn không phải đơn giản, cần phải vận dụng tốt các phương pháp, hình thành các kĩ năng trong quá trình làm bài

Việc vận dụng thành thạo và phát hiện các phương pháp giải toán hệ phương trình, nâng cao chất lượng học và kiểm tra trong các kì thi Đại học được xem như là một trong những sáng tạo của giải toán hệ phương trình và làm phong phú thêm kho tàng các phương pháp giải toán hệ phương trình

Xuất phát từ lí do trên tôi chọn đề tài: “Một số phương pháp giải hệ

phương trình trong kì thi tuyển sinh Đại học”với mục tiêu xây dựng các bài

toán hệ phương trình theo từng phương pháp giải, nâng cao khả năng tự học của học sinh, phát huy năng lực tư duy của học sinh Tôi đã phân tích, tổng hợp, khai thác để tổng quan các công trình khoa học về các vấn đề thuộc phạm vi nghiên cứu của đề tài, xây dựng hệ thống các bài toán hệ phương trình theo từng phương pháp giải, giúp người học phát hiện và vận dụng sáng tạo các phương pháp giải trong việc học tập và nghiên cứu, nâng cao thành tích trong các kì thi Đại học

Cấu trúc đề tài bao gồm:

Phần mở đầu

Phần nội dung:

- Chương 1: Một số phương pháp giải hệ phương trình

- Chương 2: Bài toán giải hệ phương trình qua các kì thi tuyển sinh đại học Kết luận

Tài liệu tham khảo

CHƯƠNG I: MỘT SỐ PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

1.1 PHƯƠNG PHÁP THẾ

1.1.1 Nội dung phương pháp

Từ một phương trình hoặc kết hợp hai phương trình của hệ ta biểu diễn ẩn này qua ẩn kia hoặc một biểu thức này qua biểu thức khác và thế vào phương trình còn lại chuyển về phương trình một ẩn (Có thể là ẩn phụ) Mục đích của việc làm này là giảm số ẩn Tùy thuộc vào đặc điểm của bài toán mà ta có những cách biến đổi phù hợp Trong phương pháp này ta cần lưu ý một số dấu hiệu sau + Nếu trong hệ phương trình có một phương trình bậc nhất đối với một ẩn thì ta rút ẩn đó qua ẩn kia thế vào phương trình còn lại và chuyển về giải phương trình một ẩn

+ Với hai số thực bất kì x 0; y ta luôn có ytx (t là số thực cần tìm) Với cách làm này ta sẽ được hệ phương trình một ẩn t

+ Phương trình f x y ;  f y x ; luôn có một cặp nghiệm x  y, do đó ta luôn phân tích phương trình đã cho về dạng: xy g x y  ;  0

thì ta có thể đặt t  u x 

1.1.2 Bài tập minh họa:

Bài 1: Giải hệ phương trình:  

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: x   3,y 1 và x    1,y 2

4

Bài 3: (Đề thi đại học khối A, năm 2003)

 3

Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm là:

Vậy hệ phương trình đã cho có ba nghiệm là:

Nhận xét: Ta thấy đối với hệ này dùng phương pháp rút thế trực tiếp sẽ rất khó

khăn Do đó, tùy theo trường hợp để ta có cách biến đổi phù hợp

Bài 4: (Đề tuyển sinh đại học khối B, năm 2005)

Vậy hệ có hai nghiệm là:    x y;  1;1 và    x y;  2; 2

Bài 5: (Đề thi đại học khối D, năm 2002)

Vậy hệ có hai nghiệm là:    x y;  0;1 và    x y;  2; 4

Thế 3 từ trên xuống dưới ta có:

2x  9y  xy x xyy x  8y  x 2y

  2

1  3y     3 y 1, x  2.

Vậy hệ đã cho có nghiệm là:     x y;  2;1 ,   2; 1

Bài 7: Giải hệ phương trình sau:

Ta thấy mỗi phương trình của hệ là phương trình một ẩn xy và xy, khi đó ta

có được hệ phương trình mới đơn giản hơn nhiều

Để đơn giản về mặt hình thức ta đặt a x y, b x ya b,  0 ta có hệ:

3 2 3

2 3

3

4 12

1.2 PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ

1.2.1 Nội dung phương pháp

theo x (hoặc x theo y) rồi sử dụng phương pháp rút thế để giải hệ phương trình

đã cho

1.2.2 Bài tập minh họa:

Bài 1: Giải hệ phương trình:  

y x y x

y x

Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm:    x y;  1;1 và   x y;    1; 1

Bài 2: (Đề thi thử đại học trên báo TH & TT - Số 400, tháng 10 năm 2010)

   

2

2 2

2

2

* 2

y y x x x y

là hệ đối xứng loại II Để giải hệ này ta lấy  1 trừ  2 vế theo vế

Bài 3: (Đề thi thử đại học trên báo TH & TT - Số 400, tháng 10 năm 2010)

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là:   x y;  2; 1   và   x y;   1; 2

Nhận xét: Hệ này áp dụng phương pháp cộng đại số ngắn gọn nhưng không tự

Phương pháp này rất mạnh và tốt để giải quyết nhanh gọn các hệ phương

trình hữu tỉ Tuy nhiên nhược điểm trong quá trình làm là khá nhiều Thứ nhất: Tính toán quá nhiều Thứ hai: Sử dụng nó một cách thái quá sẽ khiến bản thân trở nên thực dụng, máy móc Phương pháp này áp dụng cho các dạng cơ bản thì rất tốt, nhưng dạng nâng cao thì tốt nhất không nên

1.3 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

1.3.1 Nội dung phương pháp

Đặt a f x y ; và bg x y ; rồi tìm điều kiện của a và b (Nếu có) Sau đó đưa hệ đã cho về hệ phương trình hai ẩn a và b mà có thể giải được bằng phương pháp thế

Các kĩ thuật hay dùng:

Sử dụng hằng đẳng thức để nhóm các số hạng

Chia hai vế cho một biểu thức khác 0

Chú ý: Muốn đặt được ẩn phụ ta phải quan sát, phân tích, tìm mối liên hệ

giữa các biểu thức, số hạng trong mỗi phương trình Do đó, chúng ta phải làm nhiều bài tập, từ đó mới tích lũy được các kinh nghiệm, sự linh hoạt trong các phép đặt ẩn phụ

1.3.2 Bài tập minh họa:

Bài 1: Giải hệ phương trình:

5 1 1

2 2 2 2

y x y x

y x y x

Giải:

Đặt:

x x

a 1,

y y

b a

b a b a

2 1

y y x

1

y x

3 1

y y x

5 3

y x

Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm x y;  là:

từng phương trình không đổi Hệ này được gọi là hệ đối xứng loại 1

Cách giải: Đặt S  x y, Pxy và tìm S, P để suy ra nghiệm x, y bằng

x y y x

30

3

SP S

Từ đây suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho là:

   x y;  4 ;9 và    x y;  9 ; 4

Bài 3: Giải hệ phương trình: 2 2 3

1 2

P S

P S

Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm là:   x y;   1; 1 và   x y;   3;3.

Bài 4: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:

y x x

y x

3 1 1

v u

3 1

v

 u, v là hai nghiệm của phương trình: X2 X m 0 (*)

Hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y)  hệ (I) có nghiệm u 0 ,v 0

+ Với xy thế vào  2 ta được :

5

4 *5

u    v ta có hệ phương trình:

2 3 1 3

3 3

2 2

3; 1 3

12

x y x y

Chú ý: Thao tác chia hai vế của phương trình cho một lượng khác 0 thường

sử dụng cho những hệ phương trình mà trong mỗi phương trình của hệ có một số hạng có hệ số khác biệt so với hệ số của các số hạng còn lại

Bài 8: Giải hệ phương trình:  

Nhận xét vế trái đang có dạng bình phương thiếu, vậy ta thử thêm bớt để

nhìn sang vế phải ta sẽ chọn phương án đầu

2

3 19 7

Vậy hệ đã cho có nghiệm là:       x y;  0;0 , 3;2 ,     2, 3

Bài 9: (Đề thi đại học dự bị khối B, năm 2005)

Chú ý: Hệ  I ở ví dụ trên là một trường hợp đặc biệt của hệ sau đây (hệ đẳng cấp):

Để giải hệ  * ta đặt xty, rồi tìm t Có t thì sẽ tính được

Bài 10: (Đề thi thử đại học lần 1 trường Hà Nội – Asterdam năm 2013-khối A)

* 3

1.4 PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA

1.4.1 Nội dung phương pháp

Phương pháp lượng giác hóa có thể áp dụng để giải hệ phương trình, đây là

một phương pháp khá rộng Với mỗi bài toán lại có một nét riêng biệt, không bài nào giống bài nào nên không thể có cách giải nào là hiệu quả với toàn bộ các bài toán Tuy nhiên ta có thể khái quát nội dung của phương pháp sử dụng hàm số lượng giác để giải bài toán hệ phương trình là cách đổi biến lượng giác phù hợp với các yêu cầu và giả thiết của bài toán Từ đó sử dụng các công thức biến đổi lượng giác quen thuộc để tìm ra lời giải cho bài toán:

Bước 1: Chọn một hoặc nhiều hàm số lượng giác phù hợp để thay biến của

bài toán bằng các giá trị lượng giác đó

Việc chọn biến lượng giác để thay đổi cho biến cũ thông qua các dấu hiệu đặc biệt của các biến trong bài toán và sự nắm bắt các dấu hiệu đó thông qua miền giá trị và hình thức các công thức lượng giác thông dụng

Chẳng hạn:

Đặt x sin hoặc x cos; khi x  1;1

Đặt x tan hoặc x cot; khi x

Khi nhận thấy các biến tạo thành một công thức lượng giác ta có thể chọn hàm số lượng giác tương ứng để có thể áp dụng được những công thức lượng giác đó

Bước 2: Sau khi đã chọn được các hàm số lượng giác phù hợp với bài toán

thì ta thay biến cũ bằng hàm số lượng giác vừa chọn, được một bài toán mới với

ẩn là các hàm số lượng giác Giải bài toán mới bằng cách sử dụng các công thức biến đổi lượng giác đã học

Trước khi thay các hàm số lượng giác vào, chúng ta có thể biến đổi chúng nếu bài toán quá “cồng kềnh”

Bước 3: Cuối cùng, ta thực hiện bước trả lại biến, rồi kết luận bài toán

Khi kết luận chúng ta cần lưu ý đề bài hỏi gì để tránh kết luận nhầm hay sai theo bài toán mới khi thay các hàm số lượng giác

1.4.2 Bài tập minh họa:

Đặc biệt: m 1 đặt x sin  hoặc x cos

Dạng này thường gặp ở những bài toán cho trước điều kiện của biến hoặc sau khi giải những điều kiện xác định của bài toán ta có được điều kiện trên

Nếu bài toán không ràng buộc điều kiện của biến số và có x2 a2 thì đặt:

Đặc biệt a 0 thì đặt x tan hoặc x cot

Bài 1: Giải hệ phương trình:  

                

b a

2 1 sin a 1 sin b 2 1 sin a 1 cosa 2 2

Đặc biệt: m 1 thì đặt x sin  và y cos với 0; 2

Bài 2: Giải hệ phương trình    

Phương trình (1) tương đương với phương trình

4 tan tan 2 3 tan

cos a a cos a a cosa a cosa

Bài 4: Giải hệ phương trình:    

2 1 3

1 3

y x

Theo (1) ta sẽ có 2 tan 32 tan 6

; tan ; tan , tan ; tan , 0;0

1.5 PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG HÀM SỐ 1.5.1 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

a Nội dung phương pháp

Áp dụng các định lí sau:

Định lí 1: Nếu hàm số f x  luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì số nghiệm của phương trình f x k trên D không nhiều hơn một và f x  f y  x y với mọi x y,  D

Chứng minh:

+ Giả sử phương trình f x k có nghiệm xa tức là f a k

Nếu xa thì f x  f a k suy ra phương trình vô nghiệm

Nếu xa thì f x  f a k suy ra phương trình vô nghiệm

+ Nếu xy thì f x  f y  suy ra phương trình f x  f y  vô nghiệm Nếu xy thì f x  f y suy ra phương trình f x  f y  vô nghiệm

Định lí 2: Nếu đồ thị hàm số y f x  lồi (lõm) trên khoảng  a b; thì phương trình f x  0 nếu có nghiệm thì có tối đa hai nghiệm

b Bài tập minh họa

Bài 1: (Đề thi đại học khối A, năm 2010)

Do đó:  *  x ythế vào phương trình  2 ta được:

2 x  12 x x 20x    0 x 0 suy ra y 0

Vậy hệ đã cho có một nghiệm là:    x y;  0;0

1.5.2 Sử dụng GTLN, GTNN của hàm số để tìm giá trị tham số để hệ phương trình có nghiệm

a Nội dung phương pháp

b Bài tập minh họa

Bài 1: (Đề thi đại học khối D, năm 2007)

u v

5 8

f t    t t m

Hệ có nghiệm  f t m có hai nghiệm t t1,2 thỏa mãn t1    2;t2 2

Lập bảng biến thiên hàm số f t  với t1    2;t2 2

b Bài tập minh họa

Bài 1: (Đề thi đại học khối D, năm 2011)

1.6 PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC

1.6.1 Nội dung phương pháp

Sử dụng các bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopxki, bất đẳng

thức vectơ để đánh giá từng vế của phương trình trong hệ

Chú ý: Phương pháp đánh giá thường sử dụng cho các hệ phương trình mà các

phương pháp thế, phương pháp đặt ẩn phụ,…khó có thể giải được

1.6.2 Bài tập minh họa:

Bài 1: (Đề thi đại học dự bị khối B, năm 2007)

Giải hệ phương trình:

2

3 2

2 2

3

2

2 9 2

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là:    x y;  1;1 và    x y;  0;0

Bài 2: Giải hệ phương trình:      

 

1 1 2

1.7 PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC

1.7.1 Nội dung phương pháp:

+ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các vector: ux y1 , 1,  v x y2 , 2 khi đó

+ Với hai vector u v,  bất kì trong không gian thì u v  u v .cos u v, u v.

2 cos

khi đó gọi T là điểm nhìn các cạnh BC CA AB,  ,  dưới cùng một góc 0

đường thẳng d Như vậy, ta cần khảo sát số giao điểm của  C và d

giao điểm của đường thẳng và đường tròn bằng cách so sánh khoảng cách đó với bán kính của  C

Cách 2: Tìm dải mặt phẳng P hoặc miền gốc Q nhỏ nhất chứa  C Biện

thẳng đi qua một điểm trong đường tròn thì hệ phương trình luôn có nghiệm phân biệt

Dạng 2: Biện luận số nghiệm của hệ phương trình:

Dạng 3: Biện luận số nghiệm của hệ phương trình px2 qy2 r p q r, , 0



phép co - dãn biến  E thành đường tròn  C và biến d thành d', ta đưa về khảo sát số điểm chung của d' và  C Ta biết rằng số điểm chung không lớn hơn 2

+ Phương pháp: Đặt u    x k v; y h đưa về bài toán 3

Dạng 5: Biện luận số nghiệm của hệ phương trình với p q r, ,       0;k 1

+ Phương pháp: Coi mỗi nghiệm của hệ là một điểm với tọa độ là cặp số

đó Biến đổi hệ phương trình và điều kiện của hệ thành ý nghĩa hình học Điều kiện bài toán thường liên quan đến một số tính chất như tập hợp điểm thuộc phần chung của các nữa mặt phẳng hoặc miền tròn, miền elip hoặc khoảng cách