Một số phương pháp giải hệ phương trình trong chương trình toán trung học phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN -VŨ THỊ KIM NGẦN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-VŨ THỊ KIM NGẦN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG CHƯƠNG TRÌNH

TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS PHẠM VĂN QUỐC

HÀ NỘI - 2015

Mục lục

1 Một số kiến thức cơ bản 4

1.1 Hệ phương trình cơ bản 4

1.1.1 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 4

1.1.2 Hệ phương trình đối xứng 4

1.1.3 Hệ phương trình đẳng cấp 6

1.1.4 Hệ phương trình dạng hoán vị vòng quanh 7

1.2 Phương pháp cơ bản 9

1.2.1 Phương pháp cộng đại số 9

1.2.2 Phương pháp thế 10

2 Một số phương pháp giải hệ phương trình 13 2.1 Phương pháp đặt ẩn phụ 13

2.2 Phương pháp phân tích thành nhân tử 20

2.3 Phương pháp sử dụng hằng đẳng thức 28

2.4 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số 34

2.5 Phương pháp khác 43

2.5.1 Phương pháp đánh giá 43

2.5.2 Phương pháp lượng giác hóa 47

2.5.3 Phương pháp sử dụng số phức 49

3 Một số phương pháp xây dựng hệ phương trình 54 3.1 Xây dựng hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ 54

3.2 Xây dựng hệ phương trình từ các đẳng thức 58

3.3 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để xây dựng hệ phương trình 64 3.4 Xây dựng hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá 67

3.5 Sử dụng số phức để xây dựng hệ phương trình 71

Lời cảm ơn

Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới TS Phạm Văn Quốc - người thầy đã truyền cho tôi niềm say mê nghiên cứu Toán học Thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập

và hoàn thiện luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo Sau đại học, Khoa Toán - Cơ - Tin học, các thầy cô giáo đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành bản luận văn này

Mặc dù có nhiều cố gắng, nhưng do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy tác giả rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Mở đầu

Hệ phương trình là một nội dung cổ điển và quan trọng của Toán học Ngay

từ đầu, sự ra đời và phát triển của hệ phương trình đã đặt dấu ấn quan trọng trong Toán học Chúng có sức hút mạnh mẽ đối với những người yêu Toán, luôn thôi thúc người làm Toán phải tìm tòi, sáng tạo Bài toán về hệ phương trình thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi, Olympic cũng như kỳ thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng Hệ phương trình được đánh giá là bài toán phân loại học sinh khá giỏi, nó đòi hỏi kỹ thuật xử lý nhanh và chính xác nhất Là một giáo viên Trung học phổ thông, tôi muốn nghiên cứu sâu hơn về hệ phương trình nhằm nâng cao chuyên môn, phục vụ cho quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi của mình

Với những lý do trên, tôi lựa chọn nghiên cứu đề tài "Một số phương pháp giải hệ phương trình trong chương trình toán Trung học phổ thông" làm luận văn thạc sĩ của mình

Luận văn được chia làm ba chương:

Chương 1 Một số kiến thức cơ bản

Chương 2 Một số phương pháp giải hệ phương trình

Chương 3 Một số phương pháp xây dựng hệ phương trình

Hà Nội, ngày 01 tháng 8 năm 2015

Tác giả luận văn

Vũ Thị Kim Ngần

Chương 1

Một số kiến thức cơ bản

1.1 Hệ phương trình cơ bản

1.1.1 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ có dạng



a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2.

Phương pháp giải:

Để giải hệ phương trình này, ta thường sử dụng các phương pháp sau:

- Phương pháp thế,

- Phương pháp cộng đại số,

- Phương pháp dùng định thức

Ký hiệu: D =

a1 b1

a 2 b 2

; D x =

c1 b1

c 2 b 2

; D y =

a1 c1

a 2 c 2

.

Trường hợp 1 : D 6= 0.

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất











x = Dx D

y = Dy

D .

Trường hợp 2 : D = Dx = Dy = 0.

Hệ phương trình có vô số nghiệm dạng {(x0; y0) |a1x0+ b1y0 = c1}

Trường hợp 3 : D = 0; Dx6= 0 hoặc D = 0; Dy 6= 0 hoặc D = 0; Dx6= 0; Dy 6= 0.

Hệ phương trình vô nghiệm

1.1.2 Hệ phương trình đối xứng

1 Hệ phương trình đối xứng loại I

Hệ phương trình đối xứng loại I đối với hai biến x và y là hệ phương trình

mà nếu ta thay x bởi y, thay y bởi x thì hệ không thay đổi

Phương pháp giải:

- Đặt



x + y = S

xy = P , điều kiện S2 ≥ 4P.

- Tìm S, P,

- Khi đó, x, y là nghiệm của phương trình u2− Su + P = 0.

Ví dụ 1.1 (Trích đề thi Học viện An ninh năm 2001)

Giải hệ phương trình



x + y = 1 − 2xy

x2+ y2 = 1 (x, y ∈R).

Giải Đặt



x + y = S

xy = P , điều kiện S2 ≥ 4P.

Ta được hệ phương trình



S = 1 − 2P

S2− 2P = 1

⇔



S = 1 − 2P (1 − 2P )2− 2P = 1 ⇔



S = 1 − 2P 4P2− 6P = 0

⇔







S = 1 − 2P

"

P = 0

P = 3 2

⇒

"

S = 1; P = 0

S = −2; P = 3

2.

Với S = 1; P = 0 ⇒



x + y = 1

xy = 0.

Khi đó (x, y) là nghiệm của phương trình:

u2− u = 0 ⇔



u = 0

u = 1 ⇒



x = 0; y = 1

x = 1; y = 0.

Với S = −2; P = 3

2 ta loại trường hợp này vì không thỏa mãn điều kiện S2≥ 4P.

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (x; y) = (0; 1) ; (1; 0)

2 Hệ phương trình đối xứng loại II

Hệ phương trình đối xứng loại II đối với x và y là hệ phương trình mà nếu

ta thay x bởi y, thay y bởi x thì phương trình này biến thành phương trình kia

và ngược lại

Phương pháp giải:

- Trừ theo vế hai phương trình của hệ, ta được một phương trình tích dạng:

(x − y) f (x; y) = 0.

- Sau đó lần lượt thay x = y; f (x, y) = 0, vào một trong hai phương trình của hệ,

ta được một phương trình đã biết cách giải và giải tiếp tìm nghiệm của hệ

Ví dụ 1.2 (Trích đề thi đại học khối B năm 2003)

Giải hệ phương trình











3y = y

2 + 2

x 2

3x = x

2 + 2

y 2

(x, y ∈R).

Giải Điều kiện: x > 0; y > 0.

Hệ phương trình tương đương với



3x2y = y2+ 2 3y2x = x2+ 2

⇔



3xy (x − y) = (y − x) (y + x) 3y2x = x2+ 2

⇔



(x − y) (x + y + 3xy) = 0 3y2x = x2+ 2

⇔









x = y

x + y + 3xy = 0 3y2x = x2+ 2.

Với



x = y

3y2x = x2+ 2 ⇔



x = y 3x3− x 2 − 2 = 0 ⇔ x = y = 1.

Với



x + y + 3xy = 0

3y2x = x2+ 2.

Vì x + y + 3xy > 0; ∀x > 0; y > 0 nên trường hợp này vô nghiệm

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (1; 1).

1.1.3 Hệ phương trình đẳng cấp

Hệ phương trình



f (x, y) = a

g (x, y) = b được gọi là hệ đẳng cấp bậcknếuf (x, y); g(x, y)

là các biểu thức đẳng cấp bậc k

Chú ý : Biểu thứcf (x, y) được gọi là đẳng cấp bậck nếuf (mx, my) = mkf (x, y)

Phương pháp giải:

- Xét y = 0 (hoặc x = 0) thay vào hệ phương trình tìm nghiệm

- Xét y 6= 0 Đặt x = ty, khi đó ta có



f (ty, y) = ykf (t, 1)

g (ty, y) = ykg (t, 1) ⇒



ykf (t, 1) = a

ykg (t, 1) = b.

Chia theo vế hai phương trình của hệ ta được: f (t, 1) = a

bg (t, 1)

Giải phương trình tìm t rồi thay ngược lại ta tìm được nghiệm (x, y).

Ví dụ 1.3 (Trích đề thi đề nghị Olympic 30/4/2009)

Giải hệ phương trình



x3+ 8y3− 4xy 2 = 1 2x4+ 8y4− 2x − y = 0 (x, y ∈R).

Giải

- Xét y = 0 Thay vào hệ phương trình ta được:



x3 = 1 2x4− 2x = 0 ⇔ x = 1.

Suy ra (1; 0) là một nghiệm của hệ

- Xét y 6= 0 Đặt x = ty, khi đó ta có:



t3y3+ 8y3− 4ty3 = 1 2t4y4+ 8y4− 2ty − y = 0

⇔







y3 t3+ 8 − 4t
= 1

y3 2t4+ 8
= 2t + 1 (Do y 6= 0)

Chia theo vế hai phương trình của hệ ta được:

t3+ 8 − 4t

2t 4 + 8 =

1 2t + 1

⇔ t3− 8t2+ 12t = 0

⇔

" t = 0

t = 2

t = 6.

Với t = 0 ta có (x; y) =



0;1 2



.

Với t = 2 ta có (x; y) =



1;1 2



.

Với t = 6 ta có (x; y) =



3

3

√

25;

1

2 √ 3

25



.

Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm là

(x; y) = (1; 0) ;0;1

2



;1;1 2



;



3

3

√

25;

1

2 √ 3

25



.

1.1.4 Hệ phương trình dạng hoán vị vòng quanh

Hệ phương trình dạng hoán vị vòng quanh là hệ có dạng:











f (x 1 ) = g (x 2 )

f (x2) = g (x3)

f (xn−1) = g (xn)

f (x ) = g (x )

(Khi ta hoán vị vòng quanh các biến thì hệ phương trình không đổi).

Cụ thể, ta xét hệ hoán vị vòng quanh ba ẩn sau đây

( x = f (y)

y = f (z)

z = f (x)

Phương pháp giải:

Giả sử f là hàm số xác định trên tập D và có tập giá trị là T, T ⊆ D và f là hàm số đồng biến trên D

- Cách 1 : Đoán nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất Để chứng minh hệ có nghiệm duy nhất ta thường cộng theo vế ba phương trình của hệ, sau đó suy ra

x = y = z.

- Cách 2 : Từ T ⊆ D ta suy ra f (x), f (f (x))và f (f (f (x)))thuộc D Để (x, y, z) là nghiệm của hệ thì x ∈ T.

Nếu x > f (x) thì do f tăng trên D nên f (x) > f (f (x))

Do đó, f (f (x)) > f (f (f (x))) Suy ra:

x > f (x) > f (f (x)) > f (f (f (x))) = x.

Điều này mâu thuẫn Chứng tỏ không thể có x > f (x)

Tương tự ta cũng chứng minh được rằng không thể có x < f (x)

Do đó, x = f (x)

Việc giải hệ phương trình ban đầu được quy về việc giải phương trình x = f (x) Hơn nữa ta có:

( x = f (y)

y = f (z)

z = f (x)

⇔

( x = f (y)

y = f (z)

z = f (f (y))

⇔

( x = f (y)

y = f (z)

z = f (f (f (z)))

⇔

( x = f (y)

y = f (z)

z = f (z)

⇔

( x = f (y)

z = y

z = f (z)

⇔



x = y = z

z = f (z)

Ví dụ 1.4 (Trích đề thi HSG QG 2006)

Giải hệ phương trình







√

x 2 − 2x + 6log3(6 − y) = x

p

y 2 − 2y + 6log3(6 − z) = y

√

z 2 − 2z + 6log3(6 − x) = z

(x, y, z ∈R).

Giải

Để (x, y, z) là nghiệm của hệ phương trình thì điều kiện là x, y, z < 6

Hệ phương trình đã cho tương đương với













log3(6 − y) = √ x

x 2 − 2x + 6 log3(6 − z) = p y

y 2 − 2y + 6 log3(6 − x) = √ z

z 2 − 2z + 6

hay

(

log3(6 − y) = f (x) log3(6 − z) = f (y) log3(6 − x) = f (z)

với f (x) = √ x

x 2 − 2x + 6; g (x) = log3(6 − x)

Ta có f0(x) = 6 − x

(x2− 2x + 6)√x2− 2x + 6 > 0; ∀x < 6.

Suy ra f (x) là hàm tăng còn g(x) là hàm giảm với x < 6

Nếu (x, y, z) là một nghiệm của hệ phương trình, ta chứng minh x = y = z.

Không mất tính tổng quát, giả sử x = max(x, y, z) Ta xét hai trường hợp sau: Trường hợp 1 : x ≥ y ≥ z.

Do f (x) là hàm tăng nên f (x) ≥ f (y) ≥ f (z)

Suy ra log3(6 − y) ≥ log3(6 − z) ≥ log3(6 − x)

Do g(x) giảm nên

6 − y ≤ 6 − z ≤ 6 − x ⇔ x ≤ z ≤ y ⇒ x = y = z.

Trường hợp 2 : x ≥ z ≥ y.

Tương tự như trên ta suy ra x = y = z.

Phương trình f (x) = g(x) có nghiệm duy nhất x = 3

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x, y, z) = (3, 3, 3).

1.2 Phương pháp cơ bản

1.2.1 Phương pháp cộng đại số

Để giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số, ta có thể kết hợp hai phương trình trong hệ bằng các phép toán cộng, trừ, nhân, chia để thu được phương trình hệ quả đơn giản hơn, dễ giải hơn

Ví dụ 1.5 (Trích đề thi đại học an ninh nhân dân năm 1999)

Giải hệ phương trình

 p

x 2 + x + y + 1 + x +py 2 + x + y + 1 + y = 18

p

x 2 + x + y + 1 − x +py 2 + x + y + 1 − y = 2 (x, y ∈R).

Giải Điều kiện: x2+ x + y + 1 ≥ 0; y2+ x + y + 1 ≥ 0.

Cộng, trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Tài Chung (2015), Sáng tạo và giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, NXB Tổng hợp TPHCM

[2] Hà Văn Chương (2012), Tuyển chọn và giải hệ phương trình, hệ bất phương trình, phương trình, bất phương trình không mẫu mực, NXB ĐHQGHN

[3] Nguyễn Văn Lộc (2012), Tuyển chọn các bài thi vô địch Toán ở các địa phương, NXB ĐHQGHN

[4] Nguyễn Vũ Lương (Chủ biên)- Phạm Văn Hùng - Nguyễn Ngọc Thắng (2006), Hệ phương trình và phương trình chứa căn thức, NXB ĐHQGHN

[5] Nguyễn Văn Mậu, Phương pháp giải phương trình và bất phương trình, NXB GD

[6] Đặng Thành Nam (2014), Những điều cần biết luyện thi Đại học kỹ thuật giải nhanh hệ phương trình, NXB ĐHQGHN

[7] Lê Xuân Sơn (2014), Phương pháp hàm số trong giải Toán, NXB ĐHQGHN [8] Mai Xuân Vinh (Chủ biên) - Phạm Kim Chung - Phạm Chí Tuân - Đào Văn Chung - Dương Văn Sơn (2015), Tư duy logic tìm tòi lời giải hệ phương trình, NXB ĐHQGHN

[9] Ban tổ chức kỳ thi, Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, NXB GD