ĐỀ THI HSG & ĐÁP ÁN

Xác định m để độ dài AB ngắn nhất.. Giả thiết rằng kích thước và trọng lượng của tất cả các quả cầu nói trên là y hệt như nhau, Lấy hú hoạ 5 quả cầu.. Tìm xác suất của biến cố : Trong 5

Sở GD-ĐT Sơn La CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

Môn: Toán

(Đề đề nghị) (Thời gian 180 phút không kể thời gian phát đề thi)

BÀI 1:( 6 điểm ) Cho hàm số:

1

x m y

x

−

= + Với m là tham số;Gọi đồ thị là:( )c m

1/ Chứng minh rằng: ∀ ≠ −m 2;m≠ −1,đường thẳng: y= − +x m ( )d luôn luôn cắt đồ thị

( )c tại hai điểm phân biệt A và B m

2/ Với m≥0 Xác định m để độ dài AB ngắn nhất.

BÀI 2: ( 3,5 điểm )

1/ Trong một chiếc hộp kín có chứa 10 quả cầu trắng và 8 quả cầu đỏ Giả thiết rằng kích thước và trọng lượng của tất cả các quả cầu nói trên là y hệt như nhau, Lấy

hú hoạ 5 quả cầu Tìm xác suất của biến cố : Trong 5 quả cầu được lấy ra có đúng 3 quả cầu đỏ

2/ Giải phương trình: 3 x 2 14

x x

A +C − = x (1)

BÀI 3: ( 4,50 điểm)

1/Với giá trị nào của k∈¢ phương trình sau có nghiệm:

sin2 1 1 os2 2sin2 2

2/ Giải phương trình:

lg47 lg 1

10

x

x

x

+

+

=

BÀI 4: ( 6 điểm )

1/ Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm hai đường thẳng: ( )d :x y+ − =6 0 và ( )d1 : 2x y+ − =13 0 và chắn trên hai trục toạ độ những đoạ thẳng bằng nhau

2/ Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(2; 4; 1 ;− ) (B 1; 4; 1− );C(2; 4;3 ;) (D 2; 2; 1− )

a/ Chứng minh rằng các đường thẳng AB;AC;AD vuông góc với nhau từng đôi một Tính thể tích khối tứ diện đó

b/ Viết phương trình mặt cầu ( )s đi qua bốn điểm A;B;C;D.

GỢI Ý CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM

(Đề đề nghị )

A/ VẤN ĐỀ CHUNG:

+/ Nếu học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa

+/ Điểm của bài làm bằng: Tổng điểm của các phần và giữ nguyên không làm tròn

+/ Đáp án có thể chưa tối ưu Nếu học sinh làm theo cách khác tối ưu hơn, điểm thưởng tối

đa là 1 điểm

+/ Giám khảo có thể chia thang điểm nhỏ hơn,nhưng phải có sự thống nhất và không được vượt quá khung điểm đã qui định trong phần đó

B/ GỢI Ý CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM :

chú

1

1

Xét phương trình:

1

x m

x m

x− = − + + ; x≠ −1 ( )1 Đường thẳng ( )d cắt đường cong ( )c tại hai điểm phân biệt m

A và B khi và chỉ khi phương trình ( )1 có hai nghiệm phân

biệt x≠ −1

1,00 Nếu

thiếu 1

x≠ −

trừ 0,50đ

1 ⇔x + −2 m x−2m=0 ( )2

có hai nghiệm phân biệt x≠ −1

Ta có: ( )2 ( )2

∆ = − + = + > ∀ ≠ −

0,50

Do đó phương trình ( )2 luôn luôn có hai nghiệm phân biệt:

1 2; 2

x = − x =m vì m≠ −2;m≠ −1 nên x2 = ≠ −m 1 do đó

phương trình ( )1 luôn có hai nghiệm phân biệt Đường thẳng

( )d cắt đường cong ( )c tại hai điểm phân biệt A và B m

1,50

2 Gọi: Toạ độ điểm Alà: x A = = −x1 2⇒ y A = +2 m

Toạ độ điểm B là: x B =x2 = ⇒m y B = ⇒0 B m( ;0)

1,00

AB ngắn nhất khi và chỉ khiAB bé nhất2

⇔ = + + + = + ≥ Dấu “=” xẩy ra

khi m=0 (vì gt cho m≥0)

Vậy với:m=0 thì đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm

phân biệt A và B có độ dài AB=2 2ngắn nhất

2,00

2 1 Số quả cầu trong hộp kín là 10+8=18 Mỗi lần lấy 5 quả 0,50

cầu,số phần tử của không gian mẫu là: 5

18

18!

36.17.14 5!.13!

Số cách lấy 3 quả cầu đỏ trong 8 quả là: 83

8!

8.7 3!.5!

Số cách lấy 2 quả cầu trắng trong 10 quả là: 2

10

10!

5.9 2!.8!

Vậy số biến cố thoả mãn bài toán là: c c83 102 =8.7.5.9

1,00

Vậy xác suất để xẩy ra biến cố này là:

3 2

8 10 5 18

8.7.5.9 5 36.17.14 17

c c

3 !.3! 2 !.2!

5 5 2

x x

=





⇔

 =



So sánh vói ĐK (*) x=5 là nghiệm của phương trình

1,50

3 1 Phương trình đã cho tương đương với phương trình:

π

2 sinx 2k sinx 2 2k

⇔ − = ⇔ = − (*)

1,25

Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*)

có nghiệm: 2 2 1 1 3

Vì: k∈¢ nên k =1

1,00

2 ĐK: 0< ≠x 1

Vì cả hai vế đều dương lấy lôgarit cả hai vế ta được:

lg 7

.lg lg 1 4

x

1,00

2

4

10

lg 1

10

x x

=



=

Thoả mãn ĐK

1,25

4 1 Giao điểm của hai đường thẳng là A là nghiệm của hệ pt:

0,25

Phương trình đườnh thẳng cắt hai trục toạ độ những đoạn bằng nhau có phương trình:x y a± − =0 Đi qua điểm A(7; 1− ) nên

8

a a

a

=



± − − = ⇒  =

1,50

Vậy có hai đường thẳng thoả mãn ĐK bài toán: 0,25

x y+ − =6 0

x y− − =8 0

2 A/ Các đường thẳng: AB;AC;AD vuông góc với nhau từng đôi

một khi và chỉ khi

AB AC

AB AD

AC AD





uuur uuur uuur uuur uuur uuur (*)

0,25

Mà: uuurAB(−1;0;0 ;) uuurAC(0;0;4 ;) uuurAD(0; 2;0− ) nên:

( )

( )

1 0 0.0 0.4 0

1 0 0 2 0.0 0

0.0 0 2 4.0 0

AB AC

AB AD

AC AD





uuur uuur

uuur uuur

AB AC

AB AD

⊥







0,50

1

3

V = Bh Trong đó: B là diện tích đáy khối chóp

h là chiều cao khối chóp

0,25

Do: A

AB AC

B AD

⊥







Nên 1 1.1.4 2

B= uuur uuurAB AC = =

h= uuurAD =2

vậy: 1 1.2.2 4

V = B h= =

1,00

B/ Gọi mặt cầu tâm I x y z bán kính R đi qua bốn điểm ( ; ; )

A;B;C;D

IA IB R

IA IC R

IA ID R





 = =



0,75







0,25

3

x x

 =



=







⇔ = ⇔ =



21

4

R

⇒ =

Vậy mặt cầu cần tìm là: 2 2 ( ) (2 )2 21

1,00