a Tìm quĩ tích đỉnh của Pm khi m biến thiên.. c Chứng minh rằng : Với mọi giá trị của m Parabol Pm luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định.. Viết phương trình đường tròn đó.. Cán bộ c
Trang 1TRƯỜNG THPT ĐÔNG SƠN I
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI : MÔN TOÁN KHỐI 10
NĂM HỌC 2012 - 2013
( Thời gian : 180 phút không kể thời gian giao đề )
Bài 1: (2 điểm)
Tìm cặp số (x , y) nghiệm đúng phương trình : y.x2 – 4x + y – 3 = 0 sao cho.
a) y đạt giá trị lớn nhất có thể
b) y đạt giá trị nhỏ nhất có thể
Bài 2: (4 điểm)
Cho Parabol (Pm) : y = x2 + (2m + 1)x + m2 - 1 trong đó m là tham số
a) Tìm quĩ tích đỉnh của (Pm) khi m biến thiên
b) Chứng minh rằng khoảng cách giữa các giao điểm của đường thẳng y = x với
(Pm) không phụ thuộc vào m.
c) Chứng minh rằng : Với mọi giá trị của m Parabol ( Pm) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định
Bài 3: (6 điểm)
1 Giải hệ phương trình :
2 2
2 1 2
2 2
2
y x y y
y x x
2 Giải bất phương trình : x2 91 x 2 x2
Bài 4: (6 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm I 1; 1 là tâm của một hình vuông, một
trong các cạnh của nó có phương trình x – 2y + 12 = 0.Viết phương trình các cạnh
còn lại của hình vuông
2 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho Parabol (P) : y = x2 – 2x và elip
9
2 2
y x
Chứng minh rằng ( P) giao (E) tại bốn điểm phân biệt nằm trên một
đường tròn Viết phương trình đường tròn đó
B à i 5 : (2 điểm)
Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn abc = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
3 2
1 3
2
1 3
2
1
2 2 2
2 2
2
a c c
b b
a P
================= Hết ==================
Họ và tên thí sinh Số báo danh
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
TRƯỜNG THPT ĐÔNG SƠN I
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI : MÔN TOÁN KHỐI 10
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2NĂM HỌC 2012 - 2013
1
2đ
a)
b)
Coi phương trình : y.x 2 – 4x + y – 3 = 0 (*)
là phương trình bậc hai, ẩn là x, y là tham số
' 4 – y(y – 3) = 4 – y2 + 3y = - y2 + 3y + 4 = - y2 + 4y – y + 4 = ( 4 – y)( y +
1)
Tồn tại cặp số ( x , y) phương trình (*) có nghiệm ' 0
( 4 – y)( y + 1) 0 -1 y 4
GTLN : của y = 4 khi đó ' 0 nên x = 2 42 21
y
GTNN : của y = - 1 khi đó ' 0 nên x 2
1
2
Kết luận : Max y = 4 khi x = 12
Min y = - 2 khi x = - 2
0,5đ
0,25đ
0,5đ 0,5đ
0, 25đ
2
4đ
a)
1đ
Tìm quỹ tích đỉnh S của Parabol P(m) : y = x2 + (2m + 1)x + m2 – 1
Tọa độ đỉnh S :
) 2 ( 1 )
1 2 (
) 1 ( 2
) 1 2 (
2
x y
m x
S S
S S
Khử m giữa (1) và (2) ta được : y S = x S - 43
Không có giới hạn
Vậy quỹ tích của đỉnh S là đường thẳng : y = x - 43
0,25đ
0,5đ
0,25đ
b)
1,5đ
CMR: khoảng cách giữa các giao điểm của đường thẳng y = x với (P m )
không phụ thuộc vào m.
*/ Giao điểm A , B của P(m) và (d) có hoành độ là nghiệm của phương
trình:
x2 + ( 2m +1)x + m2 – 1 = x x2 + 2mx + m2 – 1 = 0 (3)
*/ PT (3) có ' = 1 nên (3) luôn có 2 nghiệm phân biệt xA , xB
*/ Ta có : AB2 = ( xB – xA)2 + ( yB – yA)2
AB2 = 2.( xB – xA)2 = 2 ( 2 ' )2 = 8
*/ Nên AB = 2 2 không phụ thuộc m
0,5đ 0,5đ
0,25đ 0,25đ c)
1,5đ
CMR : Với mọi giá trị của m Parabol ( P m ) luôn tiếp xúc với một đường
thẳng cố định
*/ (Pm) : y = x2 + ( 2m + 1)x + m2 – 1
y = ( x + m)2 + x – 1
*/ Coi đường thẳng (D) : y = x – 1
Ta có PT hoành độ điểm chung của (Pm) và (D) :
( x + m)2 + x – 1 = x -1
( x + m)2 = 0 luôn có nghiệm kép x = -m
*/ Nên (Pm) luôn tiếp xúc với (D) : y = x -1
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Trang 36đ
3đ
hệ
2
2
1
2 0
y x
đưa hệ về dạng
2
2
2
1
Từ đó ta có nghiệm của hệ ( x ; y) = { (-1 ;-1),(1 ;1), (3 7 2
;
), (3 7 2
;
) }
1,5đ
0,5đ
2)
3đ Giải bất phương trình : x291 x 2 x 2
Điều kiện x 2
Phương trình đã cho tương đương với:
x291 10 x 2 1 x2 9 0
2
2
(x 3)(x 3) 0
x 2 1
x 91 10
x 3
2
(x 3) 0
x 2 1
x 91 10
(*)
Ta có : 2x 3 (x 3) 1 0
x 2 1
x 91 10
Do đó (*) x < 3.
Từ đó suy ra nghiệm của bất phương trình là : 2 x 3
0,5đ
1đ 0,5đ
0,5đ
0,5đ
4
6đ
1)
3đ
Viết phương trình các cạnh còn lại của hình vuông
Lập phương trình các cạnh…
Gọi hình vuông đã cho là ABCD Giả sử pt cạnh AB là x 2y12 0 .
Gọi Hlà hình chiếu của I lên đường thẳng AB Suy ra H 2;5
,
A B thuộc đường tròn tâm H, bán kính IH 45 có pt:
x22y 52 45
Toạ độ hai điểm A B, là nghiệm của hệ:
2 2
Giải hệ tìm được A4;8 , B 8;2 Suy ra C 2; 10
AD x y ; BC: 2x y 14 0 ; CD x: 2y18 0
1đ
1đ
0,5đ 0,5đ
Trang 43đ Viết phương trình đường tròn đi qua giao điểm của(E) và (P) Hoành độ giao điểm của (E) và (P) là nghiệm của phương trình
0 9 x 37 x 36 x 9 1 ) x x ( 9
Xét (x)9x4 36x3 37x2 9, f(x) Có Tập xác định R
Có : f(-1)f(0) < 0 ; f(0)f(1) < 0; f(1)f(2) < 0; f(2)f(3) < 0 suy ra (*) có 4
nghiệm phân biệt,
Do đó (E) cắt (P) tại 4 điểm phân biệt Toạ độ các giao điểm của (E) và (P)
t/m hệ
1 y 9 x
x x y 2 2
2
0 9 y x 16 y 9 x 9 9 y x
y x 16
2 2
2
(**) là phương trình của đường tròn có tâm
9
4
; 9
8
9 161
Do đó 4 giao điểm của (E) và (P) cùng nằm trên đường tròn có phương
trình (**)
0,5đ
1đ
1đ
0,5đ
5
2đ
2đ Tìm giá trị lớn nhất
Ta có : a2+b2 2ab , b2+ 1 2b
1 b ab
1 2
1 2 1 b b a
1 3
b a
1
2 2 2 2
2
Dấu bằng khi a = b = 1
Tương tự
1 a ca
1 2
1 3 a 2 c
1 , 1 c bc
1 2
1 3 c 2 b
1
2 2 2
2
1 b ab 1
b ab
1 b
ab 1
b ab
1 2
1 1 a ca
1 1 c bc
1 1 b ab
1 2
1
2
1
P khi a = b = c = 1
Vậy MaxP =
2
1
khi a = b = c = 1.
0,5đ
1đ
0,5đ
( Nếu thí sinh làm theo cách khác ,lí luận chặt chẻ đúng kết quả - cho điểm tối đa)
Trang 5CẤU TRÚC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN : KHỐI 10
1 Vận dụng sự có nghiệm của phương trình bậc hai để tìm Max , min 2 điểm
3 a)Vận dụng các kiến thức đã học giải hệ phương trình
b)Vận dụng các kiến thức đã học giải bất phương trình
3 điểm
3 điểm
4
a) Bài toán viết phương trình đường thẳng
b) Bài toán liên quan đến đường tròn và ba đường Cônic
3 điểm
3 điểm
5 Sử dụng bát đẳng thức để xác định giá trị Max ,min của biểu thức 2 điểm
Tổng : 20 điểm