Bồi dưỡng HSG Dap an Toan Bang A tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh...
Trang 1SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12
NĂM HỌC 2010 – 2011
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN LỚP 12 THPT - BẢNG A
(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang )
Câu 1
a,
(3,0đ)
Khi đó phương trình ⇔ x2−x− x+ 1 − 2 −x = − 1 − 2 (1) 0,25 Xét : f(x) = x2 −x− x+ 1 − 2 −x với x∈[-1;2]
x x
x x f
−
+ +
−
−
=
2 2
1 1
2
1 1 2 ) (
) 2 1 ( 2 1 2
1 1
)[
1 2 ( ) ( '
x x
x x
x x f
− + +
− + +
−
2
f x = ⇔ =x 0,5 ⇒ Bảng biến thiên :
x -1 ½ 2 f’(x) + 0 -
f(x)
2 − 3 2 − 3
6 4
1 −
−
0,5
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình (1) có đúng 2 nghiệm 0,25
Dể nhận thấy x=0; x=1 là 2 nghiệm của phương trình (1) 0,5 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S ={ }0;1 0,25
b,
(3,0đ)
b) Bất phương trình đã cho tương đương với
1 2 )
2 (m+ x−m≥ x2+ x+ ⇔m(x− 1 ) ≥ x2+ 1 (*) 0,25 Nhận thấy x= 1 không nghiệm đúng bất phương trình (*) 0,25 Với x∈[−2;1) Ta có bpt (*)
1
1
2
−
+
≤
⇔
x
x
Với x∈(1;2] Ta có bpt (*)
1
1
2
−
+
≥
⇔
x
x
Xét hàm số ( )
1
1
2
−
+
=
x
x x
f , với x∈[− 2 ; 1) (∪ 1 ; 2] 0,25
Có '( ) 2 2
) 1 (
1 2
−
−
−
=
x
x x x
+
=
−
=
⇔
=
) ( 2 1
2 1 0
) (
'
loai x
x x
Bảng biến thiên:
x -2 1 − 2 1 2 f’(x) + 0 - -
f(x)
2 −2 2 + ∞
3
5
− − ∞ 5
0,5
Trang 2Bpt(*) có nghiệm thuộc đoạn [− 2 : 2]⇔hoặc bpt (1) có nghiệm
thuộc[−2;1) hoặc bpt (2) có nghiệm thuộc (1;2] 0,25
≥
−
≤
⇔
5
2 2 2
m m
Vậy m ∈ −∞( ; 2 2 2]− ∪[5;+∞ là tất cả các giá trị cần tìm )
0,5
Câu 2
(2,0đ) Điều kiện xác định của hệ phương trình là
≤
≤
≤
≤
−
2 0
1 1
y
x
Hệ phương trình đã cho tương đương với:
− +
= +
−
+ + +
= +
) 2 ( 2
1 1
) 1 ( ) 1 ( ) 1 (
2
3 3
y y
x
x x
y
Từ(*) ta có [ ]
[ ]
1 0; 2 0; 2
x y
+ ∈
∈
Xét: f t =t +t
3
) ( f' (t) = 3t2 + 1 > 0 ∀t 0,5 Hàm số f(t) =t3 +t đồng biến trên đoạn [ ]0 ; 2 nên pt(1)⇔ y= x+ 1,
thế vào pt(2) ta được: 1 −x2 + 1 = 1 +x+ 1 −x 0,5 ⇔ x= 0⇒ y= 1 (thỏa mãn (*))
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ( )x; y là ( )0;1 0,5
Câu 3
a,
(2,5đ)
a)Điều kiện :
>
−
>
y x
y x
2
2 Suy ra x> 2y ⇒ x > 0 0,25
Ta có : log4(x+2y)+log4(x-2y)=1 ⇔log4(x2
-4y2
⇔x2-4y2=4 ⇔x= 4y2 + 4 (do x > 0) 0,25 Suy ra: 2x− y = 2 4y2 + 4 − y , đặt : t= y , t≥ 0 0,25
Xét: f(t) = 2 4t2 + 4 −t , vớit≥ 0
4 4
4 4 8 1 4 4
8 ) (
2 2 2
'
+
+
−
=
− +
=
t
t t t
t t
15
1 0
)
(
Bảng biến thiên:
t
0
15
1 +∞ f’(t) - 0 +
f(t)
4 +∞
15
0,5
Từ bảng biến thiên suy ra f(t) ≥ 15 ⇒ 2x − y ≥ 15 (đpcm)
Dấu đẳng thức xảy ra
15
1 ,
15
8
±
=
=
b,
c b a c b a ca bc
) (
4
1
c b a ca bc
Trang 3
+ + +
+ + +
+ +
= +
+
+ +
=
3 3
3 3
3 3
16
1 )
(
) (
4
c b a
c c
b a
b c
b a
a c
b a
c b a
Đặt :
c b a
a x
+ +
= 4 ,
c b a
b y
+ +
= 4 ,
c b a
c z
+ +
0,5 Thì
+
−
=
−
= +
⇔
= + +
= + +
4 4
4 4
4
x yz
x z
y zx
yz xy
z y x
.Vì (y+z)2 ≥ 4yz nên
3
8
0≤ x≤
Ta có 1 ( 3 3 3) 1 3 3
P= x +y +z = x + y+z − yz y+z ⇒ (3 12 12 16)
16
+ +
−
P
0,25
Xét: f(x) = 3x3− 12x2+ 12x+ 16 , với: ]
3
8
; 0 [
∈
x
=
=
⇔
=
⇒ +
−
=
⇒
3 2
2 0
) ( ' 12 24 9
) (
x
x x
f x
x x
3
8
; 0 [
∈
x
0,5
Có:
9
176 ) 3
8 ( , 9
176 ) 3
2 ( , 16 ) 2 ( , 16 ) 0
⇒ Trên ]
3
8
; 0 [ : min f(x)=16 , Max f(x)=
9 176
⇒ min P = 1 , chẳng hạn khi: a= 0 ,b=c≠ 0
Max P =
9
11 , chẳng hạn khi: a=b ,c= 4a, a≠ 0
0,25
Câu 4
(2,0đ)
Gọi trung điểm của HA,HB,HC,BC,CA,AB lần lượt là:
I,E,F,M,N,P
0,25
Ta có: EH ⊥ AC ⇒ EH ⊥ IF
Mà MF//EH ⇒ MF ⊥ IF ⇒ I FM 1v = 0,25 Tương tự ⇒ IEM = 1v nên M thuộc
đường tròn ngoại tiếp tam giác IEF 0,25 Tương tự ta có N,P cũng thuộc đường
tròn ngoại tiếp tam giác IEF 0,25 + Dễ thấy: ∆ABClà ảnh của ∆MNPqua phép vị tự tâm G tỷ số k =-2 0,25
⇒đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là ảnh của đường tròn ngoại tiếp ∆MNP
Ta có đường tròn ngoại tiếp ∆MNP có phương trình:
0 4 4 2
2
Có tâm K(1;-2) , R =1 Gọi K1,R1 là tâm và bán kính đường tròn ngoại
tiếp ∆ABC thì: GKuuuur1= − 2GKuuur , R1= 2R ⇒K1(1;10) , R1=2 0,25
⇒ Phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là:
(x− 1 )2+ (y− 10 )2 = 4
0,25
H A
C M
I
Trang 4Câu 5
a,
(2,0đ)
D
A
B C
H K
Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên mp(ABD) Kẻ CK ⊥AB tại K ⇒HK ⊥ AB
⇒ góc giữa (ABC) và (ABD) là CKH = α
0,5
3
1
3
1
CK S S
CH
Mà: S C CK.AB
2
1
3
1
AB
S S
⇒
AB
S S
3
sin
G A
B
C S
S'
B'
Gọi S’ là trọng tâm tam giác ABC
⇒ SG đi qua S’ và:
4
3 ' =
SS
Gọi V,V’ lần lượt là thể tích các khối tứ diện SABC, SA’B’C’
Ta có: dt(∆S AB' )=dt(∆S BC' )=dt(∆S CA' ) 0,25
3
mà:
SB SA SS
SB SA SG V
V
AB SS
B SGA
'.
' '.
.
'
4 SA SB
Tương tự:⇒ ' ' 1 '. '.
4
SGB C
SB SC
SB SC
4
SGA C
SA SC
SA SC
4
⇒ '. '. ' 1 '. ' '. ' '. '
SA SB SC SA SB SB SC SA SC
SC
SC SB
SB SA
a SC SB SA
4 '
1 '
1 '
1
= + +
⇒ ( do SA = SB = SC = a )
0,25
Q
SA SB SB SC SC SA
2 2
3 SA ' SB' SC ' 3a
≤ + + =
⇒ minQ = 2
3
16
a khi SA’ = SB’ = SC’ =
4
3a
⇔(P) qua G và song song với mp (ABC)
0,25
- - - Hết - - - Ghi chú: - Học sinh giải cách khác đúng cho điêm phần tương ứng
- Khi chấm Giám khảo không làm tròn điểm