Tính độ dài các cạnh AB và AC... Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, D là điểm trên cung BC không chứa A.. Dựng hình bình hành ADCE.. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các
Trang 1SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 CẤP THCS
NĂM HỌC 2016 – 2017 Môn thi: TOÁN - BẢNG A
Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Hướng dẫn chấm thi gồm 04 trang.
Câu 1(4 điểm).
a Tìm các hệ số b, c của đa thức P x ( ) = x2 + bx c + biếtP x ( ) có giá trị nhỏ nhất bằng −1 khi x 2 =
b Giải hệ phương trình
2
x xy xy y 0
2 x 1 3 x y 1 y 0.
1
(4,0)
a
2,0
Ta có P(x) =
+ + − ≥ −
Suy ra
2
b
4
c 3.
b 2 2
− = −
− =
1,0
b
2,0
( )
2
x xy xy y 0 1
2 x 1 3 x y 1 y 0 2
2
x y 0
x y x y 0
x y 0
− =
⇔ − + = ⇔ + =
0,5
TH1: x y + 2 = 0, suy ra x y 0 = = không thỏa mãn hệ. 0,25
TH2: x - y = 0 hay y = x thế vào (2) ta được :
2 x + − 1 3 x x 1 + − = x 0 ⇔ 2x2 − 3x x x 3 x 2 0 − − + = 0,5 ( x 2 2 x 1 x )( )( x 1 ) 0
x 4
x 2
1
x
4 2
=
=
0,5
Vậy hệ phương trình có nghiệm : ( x; y ) ( ) = 4;4 và ( x; y ) 1 1 ;
4 4
= ÷ 0,25
Câu 2(4 điểm)
a Giải phương trình x 2 3 1 x + = − 2 + 1 x +
b Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab bc ca 1 + + = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Đề chính thức
Trang 22 2 2
P
1 a 1 b 1 c
2
(4,0)
a
2,0
ĐK: − ≤ ≤ 1 x 1
Ta có 2a2 + b2 − = 1 3ab a + ⇔ 2a2− ( 3b 1 a b + ) + 2 − = 1 0 0,5
a b 1
b 1
2
= +
=
0,25
Với a = b +1 ta có 1 x + = 1 x 1 − + ⇔ 2x 1 2 1 x − = −
x 2
4x 4x 1 4 4x x
2
⇔ − + = − ⇔ = (thỏa mãn) 0,5 Với b 1
a 2
−
2
− −
⇔ 4 1 x + = − − 5x 4 (ĐK 4
x 5
≤ − )
25x 24x 0 x
25
⇔ + = ⇔ = − (thỏa mãn)
x 2
= và 24
x 25
= − là nghiệm của phương trình
0,5
b
2,0
P
a b a c b c b a c b c a
a b a c 4 b c b a 4 c b c a
a b a c 4 b c b a 4 c b c a 4
Vậy GTLN của P bằng 9
4 khi
a 15
7 15
Câu 3(3 điểm) Cho tam giác ABC có BAC 135 , · = 0 BC = 5cm và đường cao AH = 1cm Tính độ dài các cạnh AB và AC
3
(3,0)
Kẻ
CK ⊥ AB K AB ( ∈ )
ta có CAK 45 · = 0
suy ra tam giác
B
A
K
C H
Trang 3Đặt AB = x, AK = y (x, y > 0) tao có: BK2 + KC2 = BC2
x 2xy 2y 25
Ta có hai tam giác BHA và BKC đồng dạng với nhau
AH AB 1 x
xy 5
CK CB y 5
Từ (1), (2) ta tìm được ( x; y ) = ( 5; 5 ) hoặc ( x; y ) 10; 10
2
Vậy AB = 5cm, AC = 10cm hoặc AB = 10cm, AC = 5cm 0,5
Câu 4(5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, D là điểm trên cung BC
không chứa A Dựng hình bình hành ADCE Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC, ACE ; P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của K trên các đường thẳng BC, AB và I
là giao điểm của EK với AC
a Chứng minh ba điểm P, I và Q thẳng hàng
b Chứng minh đường thẳng PQ đi qua trung điểm của đoạn HK
4
(5,0)
a
3,
0
Ta có ADC AEC · = ·
K là trực tâm tam
giác ACE nên
AKC AEC 180 + =
1,0
Suy ra AKC ADK 180 · + · = 0 do đó tứ giác ADCK nội tiếp Vậy
Các tứ giác KIPC, KIAQ nội tiếp suy ra CIP CKP · = · và
Từ các tứ giác nội tiếp ABCK, BPKQ ta có AKC 180 · = 0 − ABC QKP · = ·
Từ (1) và (2) ta có CIP AIQ · = · ⇒ P,I,Q thẳng hàng 0,5
b Gọi M là giao điểm của AH với (O) (M không trùng với A) và N là giao
điểm của AH và PQ
0,5
.
A
N Q
K
E
I
O
H
M B
D
Trang 42,0 suy ra MN // KP
Bốn điểm B, Q, K, P thuộc một đường tròn (vì KQB KPB 90 ) · = · = 0 và
A, B, M, K thuộc (O) ⇒ QBK AMK QPK · = · = · 0,5 Suy ra MNKP là tứ giác nội tiếp Do đó MNKP là hình thang cân suy ra
Mặt khác PH = PM suy ra PHM PMH KNM · = · = · ⇒ KN / /PH suy ra
HPKN là hình bình hành
Ghi chú: Nếu thí sinh vẽ hình trong trường hợp trực tâm K của tam giác
ACE nằm nằm ngoài tam giác ACE thì ở câu a vẫn chứng minh bốn điểm
A, D, C, K thuộc một đường tròn.
Câu 5(4 điểm)
a Tìm tất cả các số nguyên tố khác nhau m, n, p, q thỏa mãn
1 1 1 1 1
1.
m + + + + n p q mnpq =
b Trên một bảng có ghi hai số 1 và 5 Ta ghi các số tiếp theo lên bảng theo quy tắc: Nếu có hai số x,y phân biệt trên bảng thì ghi thêm số z x y xy = + + Chứng minh rằng các
số được viết trên bảng (trừ số 1) có dạng 3k + 2 (với k là số tự nhiên)
5
(4,0)
a
2,0 Không mất tính tổng quát giả sử m n p q < < <
Nếu m 3 ≥ thì
1.
m + + + + n p q mnpq ≤ + + + 3 5 7 11 3.5.7.11 + < 0,5 Vậy m 2 = và (1) trở thành 1 1 1 1 1
n + + + p q 2npq = 2 (2)
.
n + + + p q 2npq ≤ + + 5 7 11 2.5.7.11 2 + <
0,5
Vậy n 3 = và (2) trở thành 1 1 1 1 ( p 6 q 6 ) ( ) 37
p q 6pq + + = ⇔ 6 − − = 0,5
suy ra p 7 = và q 43 =
Vậy ( m;n;p;q ) là( 2;3;7;43 ) và các hoán vị của nó. 0,5
b
2,0 Các số được viết trên bảng là 1; 5; 11;…
các số đầu tiên của bảng có dạng 3m + 2 (trừ số 1) với m N ∈ 0,5 Nếu sử dụng số 1 để viết thì số mới có dạng
3m + 2 + 1 + (3m + 2).1 = 6m + 5 = 3k + 2 (k N ∈ ) 0, 5 Nếu không sử dụng số 1 để viết thì số mới có dạng
3m + 2 +3n + 2+(3m+2)(3n + 2) = 9mn +9m + 9n + 8 = 3k + 2
(k N ∈ ) Suy ra điều phải chứng minh
1,0
20.00
Lưu ý: Nếu học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa tương ứng cho câu đó.