BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2006
Môn: TOÁN, khối A
(Đáp án - Thang điểm gồm 05 trang)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1,00 điểm)
y = 2x3−9x2+12x 4.−
• TXĐ: \
• Sự biến thiên: y ' 6 x= ( 2−3x 2+ , y' 0) = ⇔ =x 1, x 2.= 0,25 Bảng biến thiên:
+ _
+
+ ∞
- ∞
0 1
0
0
2
- ∞
y
y' x
• Đồ thị:
O
−4
1
1
y
0,25
2 Tìm m để phương trình có 6 nghiệm phân biệt (1,00 điểm)
Phương trình đã cho tương đương với: 2 x3−9 x2+12 x 4 m 4− = −
Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số
y 2 x= −9 x +12 x 4− với đường thẳng y m 4.= − 0,25 Hàm số y 2 x= 3−9 x2+12 x 4− là hàm chẵn, nên đồ thị nhận Oy làm trục
Trang 2Từ đồ thị của hàm số đã cho suy ra đồ thị hàm số:
y 2 x= −9x +12 x 4−
0,25
Từ đồ thị suy ra phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
1 Giải phương trình lượng giác (1,00 điểm)
Điều kiện: sin x 2 ( )1
2
Phương trình đã cho tương đương với:
2 sin x cos x sin x cos x 0 2 1 sin 2x sin 2x 0
⇔sin 2x 1=
x k (k )
4
π
Do điều kiện (1) nên: x 5 2m (m )
4
π
2 Giải hệ phương trình (1,00 điểm)
Điều kiện: x≥ −1, y≥ −1, xy 0.≥ Đặt t= xy t 0 ( ≥ ) Từ phương trình thứ
Bình phương hai vế của phương trình thứ hai ta được:
( )
x y 2 2 xy x y 1 16+ + + + + + = 2 Thay xy t , x y 3 t= 2 + = + vào (2) ta được:
3 t 2 2 t+ + + + + + =3 t 1 16 ⇔ 2 t + + = − t 4 11 t
0,25
t 3
≤ ≤
⎪
= + = = Suy ra, nghiệm của hệ là (x; y) (3;3).= 0,25
O
−4
1
1
−1
−2
y = m − 4
y
Trang 3III 2,00
1 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A 'C và MN (1,00 điểm)
Gọi ( )P là mặt phẳng chứa A 'C và song song với MN Khi đó:
Ta có: C 1;1;0 , M( ) 1;0;0 , N 1;1;0
A 'CJJJJG=(1;1; 1 , MN− ) JJJJG=(0; 1; 0)
A 'C, MN 1 1; 1 1 1 1; (1;0;1 )
JJJJG JJJJG
0,25 Mặt phẳng ( )P đi qua điểm A ' 0;0;1 ,( ) có vectơ pháp tuyến nG=(1;0;1 ,) có
phương trình là: 1 x 0( − +) (0 y 0− +) (1 z 1− = ⇔ + − =) 0 x z 1 0 0,25
1
0 1
1 2
2 2
+ −
2 Viết phương trình mặt phẳng (1,00 điểm)
Gọi mặt phẳng cần tìm là ( )Q : ax by cz d 0 a+ + + = ( 2+ + >b2 c2 0 )
Vì ( )Q đi qua A ' 0;0;1( ) và C 1;1;0( ) nên: c d 0 c d a b
a b d 0
+ =
⎧
⇔ = − = +
⎨ + + =
⎩
Do đó, phương trình của ( )Q có dạng: ax by+ + +(a b z) (− +a b)=0 0,25 Mặt phẳng ( )Q có vectơ pháp tuyến nG =(a; b;a b+ ), mặt phẳng Oxy có
vectơ pháp tuyến kG =(0;0;1)
Vì góc giữa ( )Q và Oxy là α mà cos 1
6
cos n, k
6
=
G G
0,25
2 2
6
+
Với a= −2b, chọn b= − được mặt phẳng 1, ( )Q : 2x y z 1 0.1 − + − =
Với b= −2a, chọn a = được mặt phẳng 1, ( )Q : x 2y z 1 0.2 − − + = 0,25
1 Tính tích phân (1,00 điểm)
cos x 4sin x 1 3sin x
Với x 0= thì t 1= , với x
2
π
Suy ra:
4
1
1 dt I
4
1
Trang 42 Tìm giá trị lớn nhất của A (1,00 điểm)
Từ giả thiết suy ra: 1 1 12 12 1
x+ =y x +y −xy Đặt 1 a, 1 b
x = y = ta có: a b a+ = 2+b2−ab ( )1
Từ (1) suy ra: ( )2
a b+ = +a b −3ab
Vì
2
a b ab
2
+
4
Suy ra: ( )2
0,50
Với x y 1
2
= = thì A 16.= Vậy giá trị lớn nhất của A là 16 0,25
1 Tìm điểm M d∈ sao cho 3 d M,d( 1)=2d M, d( 2) (1,00 điểm)
Ta có:
( )
2
Với y= − được điểm 11 M1(−22; 11 − )
2 Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức Niutơn (1,00 điểm) 26
2n 1 2n 1 2n 1
Vì Ck2n 1+ =C2n 1 k2n 1+ −+ , k,0 k 2n 1∀ ≤ ≤ + nên:
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
1
2
+
Từ khai triển nhị thức Niutơn của ( )2n 1
1 1+ + suy ra:
2n 1 2n 1 2n 1
Từ (1), (2) và (3) suy ra: 22n =220 hay n 10.= 0,25
• Ta có: 10 10 ( ) ( )10 k k 10
4
1
x
−
Hệ số của x là 26 k
10
C với k thỏa mãn: 11k 40 26− = ⇔ =k 6
Vậy hệ số của x là: 26 6
10
Trang 5V.b 2,00
1 Giải phương trỡnh mũ (1,00 điểm)
Phương trỡnh đó cho tương đương với: 3 2 3x 4 2 2x 2 x 2 0 ( )1
⎛ ⎞ + ⎛ ⎞ −⎛ ⎞ − =
Đặt t 2 x (t 0)
3
⎛ ⎞
=⎜ ⎟ >
⎝ ⎠ , phương trỡnh (1) trở thành:
3 2
3
Với t 2
3
= thỡ
x
⎛ ⎞ =
⎜ ⎟
Kẻ đường sinh AA ' Gọi D là điểm đối xứng với A ' qua O ' và H là hỡnh chiếu của B trờn đường thẳng A 'D
A
A'
O
B
Do BH⊥A 'D và BH⊥AA ' nờn BH ⊥(AOO 'A ' ) 0,25 Suy ra: VOO 'AB 1.BH.SAOO '
3
Ta cú: A 'B= AB2−A 'A2 = 3a ⇒BD= A 'D2−A 'B2 = a
BO 'D
2
Vỡ AOO ' là tam giỏc vuụng cõn cạnh bờn bằng a nờn: SAOO ' 1a 2
2
= Vậy thể tớch khối tứ diện OO 'AB là:
Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì đ−ợc đủ điểm từng
phần nh− đáp án quy định
-Hết -