Đạo hàm rất hay

Đạo hàm rất hayĐạo hàm rất hayĐạo hàm rất hayĐạo hàm rất hayĐạo hàm rất hayĐạo hàm rất hayĐạo hàm rất hayĐạo hàm rất hayĐạo hàm rất hayĐạo hàm rất hayĐạo hàm rất hayĐạo hàm rất hayĐạo hàm rất hayĐạo hàm rất hayĐạo hàm rất hayĐạo hàm rất hayĐạo hàm rất hayĐạo hàm rất hayĐạo hàm rất hayĐạo hàm rất hayĐạo hàm rất hayĐạo hàm rất hayĐạo hàm rất hayĐạo hàm rất hayĐạo hàm rất hayĐạo hàm rất hayĐạo hàm rất hay

Hiện tại trên mạng đang rao bán lại tài liệu của Tôi với giá

600k khá cao, họ mua lại của Tôi và bán lại giá cao quá, đây là

tài liệu của Tôi, bạn nhầm lẫn mua lại tài liệu giá cao thì thiệt

thòi cho bạn, Tôi chia sẻ giá rẻ bèo chủ yếu góp vui thôi

Tôi làm tài liệu này gồm các chuyên đề toán 11 có giải chi tiết,

cụ thể, bạn chỉ lấy và dạy, tài liệu gồm rất nhiều chuyên đề

toán 11, lượng file lên đến gần 3000 trang ( gồm đại số và hình

học ) bạn nào muốn tài liệu của Tôi thì nạp thẻ cào Vietnam

Mobile giá 100 ngàn, rồi gửi mã thẻ cào + Mail, gửi qua số điện

thoại 01697637278 rồi tôi gửi tài liệu cho bạn, chủ yếu góp

vui thôi…

Tiến sĩ Hà Văn Tiến

Xin giới thiệu chuyên đề

ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT

1 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

 Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x 0 (a; b):

0

0 0

0

( ) ( )'( ) lim

 



 (x = x – x0, y = f(x0 + x) – f(x0))

 Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x 0 thì nó liên tục tại điểm đó

2 Đạo hàm bên trái, bên phải

0

0 0

0

( ) ( )'( ) lim

0

( ) ( )'( ) lim

Hệ quả : Hàm f x( )có đạo hàm tại x0   (f x0) và f '(x0) đồng thời f x'( 0) f x'( 0)

3 Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn

 Hàm số f x( ) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên ( ; )a b nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc ( ; )a b

 Hàm số f x( ) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên [ ; ]a b nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc ( ; )a b

đồng thời tồn tại đạo hàm trái f b'( ) và đạo hàm phải f a'( )

4 Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục

 Nếu hàm số f x( ) có đạo hàm tại x thì 0 f x( ) liên tục tại x 0

Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần, tức là một hàm có thể liên tục tại điểm x0 nhưng hàm đó không

có đạo hàm tại x 0

B – BÀI TẬP

Câu 1 Giới hạn (nếu tồn tại) nào sau đây dùng để định nghĩa đạo hàm của hàm số y f x( ) tạix0 1?

( ) ( )lim

  (nếu tồn tại giới hạn)

Câu 3 Cho hàm số y f x( )có đạo hàm tại x là 0 f x Khẳng định nào sau đây sai? '( )0

A

0

0 0

( ) ( )( ) lim

( ) ( )( ) lim

Câu 4 Số gia của hàm số   3

f x x ứng với x0 2 và  x 1 bằng bao nhiêu?

( )1 khi 04

1

 



 không tồn tại

Câu 13 Cho hàm số

2 2

khi 2( )

6 khi 22

(1) Nếu hàm số f x có đạo hàm tại điểm   xx0thì f x liên tục tại điểm đó  

(2) Nếu hàm số f x liên tục tại điểm   xx0 thì f x có đạo hàm tại điểm đó  

(3) Nếu f x gián đoạn tại   xx0 thì chắc chắn f x không có đạo hàm tại điểm đó  

Trong ba câu trên:

A Có hai câu đúng và một câu sai B Có một câu đúng và hai câu sai

C Cả ba đều đúng D Cả ba đều sai

Hướng dẫn giải:

Chọn A

(1) Nếu hàm số f x có đạo hàm tại điểm   xx0thì f x liên tục tại điểm đó Đây là mệnh đề đúng  

(2) Nếu hàm số f x liên tục tại điểm   xx0 thì f x có đạo hàm tại điểm đó  

(3) Nếu f x gián đoạn tại   xx0 thì chắc chắn f x không có đạo hàm tại điểm đó  

Vì (1) là mệnh đề đúng nên ta có f x không liên tục tại   xx0 thì f x có đạo hàm tại điểm đó  

x



 liên tục tại x0(2) Hàm số

1

x y

x



 có đạo hàm tại x0Trong hai câu trên:

A Chỉ có (2) đúng B Chỉ có (1) đúng C Cả hai đều đúng D Cả hai đều sai

x f



 khi x0 Vậy hàm số

1

x y

x



 không có đạo hàm tại x0

Câu 17 Cho hàm số   2

f x x  x Xét hai câu sau:

(1) Hàm số trên có đạo hàm tại nguyenthuongnd86@gmail com 

(2) Hàm số trên liên tục tại x0

Trong hai câu trên:

A Chỉ có (1) đúng B Chỉ có (2) đúng C Cả hai đều đúng D Cả hai đều sai

a b

a b

a b

sin khi 0( )

Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm x0  1

Nhận xét: Hàm số y f x( ) có đạo hàm tại xx0 thì phải liên tục tại điểm đó

Câu 23 Tìm a,b để hàm số

2 2

Cho hàm số y f u x( ( )) f u( ) vớiuu x( ) Khi đóy'x  y' 'u u x

4 Bảng công thức đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản

( ) 'c 0( ) ' 1x 

1

(x) 'x

'2

u u

x x

x y

x

x y

16

Câu 8 Cho hàm số f x xác định trên   \ 1 bởi     2

2 2

4

44

x x

x x

2

x x

  

6' 1

1.

x x

f x

x x

  tại điểm x0 là kết quả nào sau đây?

x  D không tồn tại đạo hàm tại x0

Câu 26 Cho hàm số f x( )2x31 Giá trị f ( 1)bằng:

1.2

Câu 15 Đạo hàm của  3 22

13(2x 1)



13(2x1)

y x



23.(x 5)



17.(x5)

y x

 

7

y x



 

5

y x

11

11

Chọn D

Ta có:

' 2

3 (2 5) 12(2 5) 12'

y x

21

21

'

( ' ')

ax b a x b a ax bx c y

2 21

x x y

32 8 5

.(4 5)

32 80 5

.(4 5)

x x

y x



 có y bằng

A

2

4 3

.2

4 3.( 2)

4 9.( 2)

x y

1

2x x

21

x x y

21

x x y

21

x x



31(x 2)

 

31(x 2)

y x

6 7( 2)

4 5( 2)

8 1( 2)

 



Hướng dẫn giải:

Đáp án B

2 1

11

2( ) : ( ) ,

2( 1)

.( 1)

1 6

.( 1)

x x





Hướng dẫn giải:

Chọn B

y x

.( 1)

x x

54

1 2

x x

2

1 2

x x

2

12

Áp dụng công thức   '

2

u u

11

x x



2 2

1

x x



2 2

1

x x

x y

.2

.2

.2

a y

x y

x y

x x

x y

x x

y x

( 1)1

x x x

A Chỉ (II) B Chỉ (I) C Cả hai đều sai D Cả hai đều đúng

x x

x x

x x

Câu 89 Đạo hàm của hàm số

1 2

x y

x x

y

x x

y

x x

y

x x

.25

y

x x

y

x x

x x

x y x

x

 



/ 2

   

/ /

x y

x x

12

1

y

x x x

12

1

y

x x x

11

y

x x x

12

1

y

x x x

/ 3 3

1

12

1

x y

x x

12

1

y

x x

x x

x x

x x

2

1'

x

x y

Câu 107 Cho hàm số

2

khi 1( )

Vậy hàm số có đạo hàm tại x0 1 và   y 2sin 2xy 4cos 2xy 0  4

Câu 108 Tính đạo hàm của hàm số

a b

a b

a b

Với x1 thì hàm số luôn có đạo hàm

Do đó hàm số có đạo hàm trên  hàm số có đạo hàm tại x1

DẠNG 3: ĐẠO HÀM VÀ CÁC BÀI TOÁN GIẢI PT, BPT

3 2

123

k

x x

  Vậy để   3

12

1( )

x x

Câu 26 Tìm m để các hàm số

3 2

(3 1) 13

y     

1'

8.9

cos( )

2 cos sin 1 sin 2 cos sin cos

43

'(1) 4'(0)

f

'(1) 4'(0) 8

f

  

Hướng dẫn giải:

Chọn D

DẠNG 2: TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG CÔNG THỨC

Câu 1 Hàm số ysinxcó đạo hàm là:

A y'cosx B y' cosx C y' sinx D ' 1

Theo công thức đạo hàm lượng giác sgk Đại số 11: sinx'cosx

Câu 2 Hàm số ycosx có đạo hàm là:

A y'sinx B y' sinx C y' cosx D ' 1

Theo công thức đạo hàm lượng giác sgk Đại số 11: cosx' sinx

Câu 3 Hàm số ytanxcó đạo hàm là:

Câu 5 Chọn mệnh đề ĐÚNG trong các mệnh đề sau?

A Hàm số ycosx có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó

B Hàm số ytanx có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó

C Hàm số ycotx có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó

Câu 7 Đạo hàm của hàm sốy3sin 2xcos3xlà:

A y 3cos 2xsin 3 x B y 3cos 2xsin 3 x

C y 6cos 2x3sin 3 x D y  6cos 2x3sin 3 x

Hướng dẫn giải:

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có: y 4sin cosx x2sin 2x 1 4sin 2x1

Câu 14 Hàm số yxtan 2x ó đạo hàm là:

A tan 2 22

cos

x x

x

cos 2

x x

x



Hướng dẫn giải:

Chọn C

sin

x x

cos 7

x

x

Câu 20 Đạo hàm của hàm số f x 2sin 2xcos 2x là

A 4cos 2x2sin 2x B 2cos 2x2sin 2x

C 4cos 2x2sin 2x D 4cos 2x2sin 2x

Câu 29 Hàm số yx2.cosx có đạo hàm là:

Câu 30 Hàm số y 1 sinx1 cos x có đạo hàm là:

Suy ra: y cosxsinxcos 2x

Câu 31 Cho hàm số 1 sin

1 cos

x y

A Cả hai đều sai B Chỉ (II) C Chỉ (I) D Cả hai đều đúng

2

x y

x

3

2 sin2'

cos2

x y

2 cos

2

x y

' sin 2 1 3sin 2 1 sin 2 1

Câu 43 Để tính đạo hàm của hàm số ysin cosx x, một học sinh tính theo hai cách sau:

Câu 44 Đạo hàm của y cosx là



2 2

3 sinx c osx cosxsinx

3 sinxcosx cosxsinx



1 cot 2'

cot 2

x y

x



1 tan 2'

cot 2

x y

2sin 2cos 2 cos 2 '3 y 2sin 2 '



sin

2 cot

x x

Ta có 2 tan 12 2 cot 12 2 tan2 2 cot2

x x

x x

x x

x x

Câu 61 Đạo hàm của hàm số 2 

cot cos sin

y x Xét hai kết quả sau:

1 cos2sin

x x



2 3

1 sin2sin

x x



2 3

1 cos2sin

x x

sin cos sin cos

A y' sin(2sin3x)sin2 xcosx B y' 6sin(2sin3x)sin2xcosx

C y' 7sin(2sin3x)sin2 xcosx D y' 3sin(2sin3x)sin2xcosx

Câu 70 Tính đạo hàm của hàm số sau:

3

sin

1 cos

x y

3sin

1 cos

x x

2 2

2sin

1 cos

x x

2 3

3sin

1 cos

x x

Câu 71 Tính đạo hàm của hàm số sau:  2 2 

x y

x y

x y

x y

x y

Câu 74 Tính đạo hàm của hàm số sau: 2 1 2 1

x

2 cos 2

.sin 2

x

2 sin 2

.cos 2

x x

Câu 75 Tính đạo hàm của hàm số sau: 2  4  

sin cos tan 3

Câu 77 Tính đạo hàm của hàm số sau 3 2

Câu 11 Cho hàm số 13

3

y x

1

x y

x



3dd

1

x y

1

x y

1

x y

y x

d1

x x



2 2

2 2d1

x x



Câu 14 Cho hàm số ysinx3cosx Vi phân của hàm số là:

A dy  cosx3sinxdx B. dy  cosx3sinxdx.

C. dycosx3sinxdx D. dy cosx3sinxdx

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Ta có dysinx3cosxdxcosx3sinxdx

Câu 15 Cho hàm số ysin2 x Vi phân của hàm số là:

A. dy– sin 2 dx x B. dysin 2 dx x C. dysin dx x D. dy2cos dx x

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có  2   2 

dyd sin x  sin x dxcos 2sin dx x xsin 2 dx x

Câu 16 Vi phân của hàm số y tan x

Câu 17 Hàm số yxsinxcosx có vi phân là:

A. dyxcos – sinx xdx B. dyxcosxdx

C. dycos – sinx xdx D. dyxsinxdx

A dycos(sin ).sin dx x x B dysin(cos )dx x

x







   và hàm số không có vi phân tại x 0

Câu 28 Cho hàm số ycos 22 x Vi phân của hàm số là:

x y

1

x y

ĐẠO HÀM CẤP CAO CỦA HÀM SỐ

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT

 Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số f có đạo hàm f Nếu ' f cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được '

gọi là đạo hàm cấp hai của f và được kí hiệu là: f '', tức là: f ''( ') 'f

 Đạo hàm cấp n: Cho hàm số f có đạo hàm cấp n1 (với n ,n2) là f(n1) Nếu f(n1) cũng có

đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f và được kí hiệu là f( )n , tức là:

 Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, , từ đó dự đoán công thức đạo hàm cấp n

 Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đúng

B – BÀI TẬP

Câu 1 Hàm số

2

x y x

y x

 

42

y x

y x

y x

y x

 

61

1

x y

1

x y

x

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Câu 12 Cho hàm số ysin2x Chọn khẳng định đúng

x

6:

x

   

x x

  

21

y x

18

14

y  

Hướng dẫn giải:

y x

 

63

Với 1 ' 2 sin(21 )

2

n  y  x

đúng Giả sử ( )

Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh

Câu 25 Tính đạo hàm cấp n của hàm số 2 1

2

x y x

1

(1) 3 !

( 2)

n n

n

n y

1

( 1) !( 2)

n n

n

n y

1

( 1) 3 !

( 2)

n n

n

n y

1

( 1) 3 !( 2)

n n

n

n y

1

( 1) 3 !( 2)

n n

n

n y

1

( 1) 3 !( 2)

k k

k

k y

Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh

Câu 26 Tính đạo hàm cấp n của hàm số y 1 ,a 0

n

a n y

n n n

n

a n y

n

n y

n

a n y

n

a n y

k

a k y

ax b 







Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh

Câu 27 Tính đạo hàm cấp n của hàm số 22 1

5 6

x y

2 1

( 1) 3.5 (3 1)

(2 1)

n n

n

n y

2 1

( 1) 3.5 (2 1)(2 1)

n n

n

n y

2 1

( 1) 3.5 (2 1)

(2 1)

n n

n

n y

2 1

( 1) 3.5 (2 1)(2 1)

n n

n

n y

2 1

( 1) 3.5 (2 1)(2 1)

n n

n

n y

Câu 30 Tính đạo hàm cấp n của hàm số 22 1

x y

Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM

Ý nghĩa vật lí :

 Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình : ss t  tại thời điểm t0 là

 0 ' 0

v t s t

 Cường độ tức thời của điện lượng QQ t tại thời điểm t0 là : I t 0 Q t' 0

Câu 1 Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s t3 3t2 5t 2, trong đó t tính bằng giây

và stính bằng mét Gia tốc của chuyển động khi t3 là:

A 24 /m s 2 B 17m s / 2 C 14m s / 2 D 12m s / 2

Hướng dẫn giải:

Đáp án D

Ta có gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t bằng đạo hàm cấp hai của phương trình chuyển

động tại thời điểm t

A Vận tốc của chuyển động bằng 0 khi t0 hoặc t 2

B Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t2 là v18m s/

C Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t3 là a12m s/ 2

D Gia tốc của chuyển động bằng 0 khi t0

Hướng dẫn giải:

Đáp án C

Ta có gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t bằng đạo hàm cấp hai của phương trình chuyển

động tại thời điểm t

Câu 3 Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s t3 3t2 (t tính bằng giây; stính bằng mét)

Khẳng định nào sau đây đúng?

A Gia tốc của chuyển động khi t4s là a18m / s2

B Gia tốc của chuyển động khi t4s là a9m / s2

C Vận tốc của chuyển động khi t3s là v12m / s

D Vận tốc của chuyển động khi t3s là v24m / s

1 Tiếp tuyến tại điểm M x y 0; 0 thuộc đồ thị hàm số:

Cho hàm số  C :y f x và điểm   M x y 0; 0   C Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại M

- Tính đạo hàm f ' x Tìm hệ số góc của tiếp tuyến là f ' x0

- phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: y f ' x xx0y 0

2 Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước

- Gọi   là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k

- Giả sử M x y 0; 0 là tiếp điểm Khi đó x thỏa mãn: 0 f ' x0 k (*)

- Giải (*) tìm x Suy ra 0 y0  f x 0

- Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: yk x x0y 0

3 Tiếp tuyến đi qua điểm

Cho hàm số  C :y f x và điểm   A a b Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua  ;

A

- Gọi   là đường thẳng qua A và có hệ số góc k Khi đó   :yk x a   b (*)

- Để   là tiếp tuyến của (C)      

+) Khi a0: Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc nhỏ nhất

+) Khi a0: Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc lớn nhất

B – BÀI TẬP

DẠNG 1: TIẾP TUYẾN TẠI ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ HÀM SỐ:

Câu 1 Cho hàm số y f x( ), có đồ thị  C và điểm M0x0; ( )f x0 ( )C Phương trình tiếp tuyến của

Câu 3 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số  2

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y 3x 2 2   y 3x 8

Câu 4 Cho đường cong   2

x cắt trục tung tại điểm A Tiếp tuyến của  C tại điểm A có phương trình là:

x có đồ thị là (H) Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (H) với trục hoành là:

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y 2(x2) hay y  2x 4

Câu 10 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số   3 2

x Phương trình tiếp tuyến của đồ thị  H tại các giao điểm

của  H với hai trục toạ độ là:

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là d y:  x 1

Câu 12 Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ) : 1

Giao điểm của  P và trục tung là M 0;3

Đạo hàm: y 2x 1 hệ số góc của tiếp tuyến tại x0 là 1

Phương trình tiếp tuyến tại M 0;3 là y  x 3

Câu 14 Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4

Tiếp tuyến tại M 1; 2 có hệ số góc là k 1

Phương trình của tiếp tuyến là y  x 3

Câu 15 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4 2

Tại M 1; 2 Phương trình tiếp tuyến là y8x6

Tại N1; 2 Phương trình tiếp tuyến là y  8x 6

Phương trình tiếp tuyến là y  3x 10

Câu 17 Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Giao điểm M của đồ thị với trục tung : x0  0 y0  1

Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là : k y' 0 1

Phương trình tiếp tuyến tại điểm Mlà : yk x x0y0   y x 1

Câu 18 Cho đường cong

2

1( ) :

Phương trình tiếp tuyến tại điểm A là : yk x x0y0 2x2y3

Câu 20 Tiếp tuyến của đồ thị hàm số   3 2

Chọn B

Ta có:   2

' 3 4

f x x x Tại điểm Acó hoành độ x0   2 y0  f x 0  18

Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là : k f '  2 20

Phương trình tiếp tuyến tại điểm A là : yk x x0y0  y 20x22

Câu 21 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị 3

( ) :C y3x4x tại điểm có hoành độ x0 0 là:

A y3x B y0 C y3x2 D y 12x

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có: y' 3 12x2 Tại điểm A( )C có hoành độ: x0  0 y0 0

Hệ số góc của tiếp tuyến tại A là : k y' 0 3

Phương trình tiếp tuyến tại điểm Alà : yk x x0y0  y 3x

Theo giả thiết x là nghiệm của phương trình 0 y x( )0 0 2x  2 0 x0  1

Phương trình tiếp tuyến tại điểm 1; 4

x với trục tung Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số trên tại điểm M là:

y x x x có đồ thị  C Phương trình tiếp tuyến của  C tại giao điểm

của  C với trục tung là: