chuyên đề đạo hàm cực hay

Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp CHƯƠNG V... Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp BÀI TẬP Bài 1... Viết phương trình tiếp tuyến của parabol tại ñiểm có hoành ñộ x0 = 2 HD Bằng ñịnh n

Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp

CHƯƠNG V đẠO HÀM

ậ 1 đỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA đẠO HÀM KIẾN THỨC CẦN NẮM

Cho hàm số y= f x( )xác ựịnh trên khoảng (a; b), x0∈( ; ),a b x0+ ∆ ∈x ( ; )a b

Nếu tồn tại., giới hạn (hữu hạn) 0 0

∆ = − = + ∆ − gọi là số gia tương ứng của hàm số

2 Quy tắc tắnh ựạo hàm bằng ựịnh nghĩa

để tắnh ựạo hàm của hàm số y= f x( ) tại ựiểm x0 bằng ựịnh nghĩa, ta có qui tắc:

0

lim

x

x y

0

( ) ( )'( ) lim

( )

tục tại x0

đú ng

Sai

Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp

BÀI TẬP Bài 1

Bằng ñịnh nghĩa, hãy tính ñạo hàm của các hàm số sau:

a) f x( ) 1

x

= tại ñiểm x0 =2b) f x( )=x2 tại ñiểm x0 =2

HD

c) ( )f x = 2x−1 tại ñiểm x0 =5d) ( ) 1

Với x∆ là số gia của ñối số tại x0 =2 sao cho 2+ ∆ ∈x D, Thì

Với x∆ là số gia của ñối số tại x0 =0 sao cho 0+ ∆ ∈x D, thì

Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp

Khi ñó

2'(0) lim lim 2

1

y f

→ ≠ → nên hàm số y= f x( ) gián ñoạn tại x = 0 Từ ñó suy ra hàm số

ñó không có ñạo hàm tại x = 0

0

( ) ( )'( ) lim lim ( 2) 2

0

( ) ( )'( ) lim lim ( 2) 2

→ ≠ → nên hàm số y= f x( ) gián ñoạn tại x = 0

Do ñó hàm số này không có ñạo hàm tại ñiểm x = 0

Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp

→ ≠ → nên hàm số y= f x( ) gián ñoạn tại x = 0

Do ñó hàm số này không có ñạo hàm tại ñiểm x = 0

Bài 7

Cho parabol y= − +x2 3x−2

Viết phương trình tiếp tuyến của parabol tại ñiểm có hoành ñộ x0 = 2

HD

Bằng ñịnh nghĩa, ta tính ñược y’(2) = -1 Do ñó hệ số góc của tiếp tuyến là – 1

Ngoài ra, ta có y(2) = 0

Vậy phương trình tiếp tuyến của parabol tại ñiểm M0(2; 0) là:

y – 0 = (-1)(x – 2) hay y = - x + 2

Bài 8

Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số y = x3

a) Tại ñiểm (- 1; -1)

c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3

a) Tại tiếp ñiểm x0 = -1, f '( 1)− =3

Vậy tiếp tuyến cần tìm: y – (- 1) = 3[x – (-1)] hay y = 3x + 2

b) Tại ñiểm x0 = 2, ta có f '(2)=12 và 3

(2) 2 8

f = =Vậy pttt cần tìm: y – 8 = 12 ( x – 2) hay y = 12x – 16

c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1

Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp

 ℝ

Với x0∈ℝtùy ý, ta có một số gia x∆

Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp

§ 2 CÁC QUY TẮC TÍNH ðẠO HÀM KIẾN THỨC CẦN NẮM

(c)’ = 0 (c là hằng số) (x)’ = 1

( ) 1

x =nx − n∈ℕ n≥'

Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp

x

=

3 51

x y

a x

=

− (a là hằng số) d)

11

x y

x

=

5 31

x y

x x

−

=+ +e)

2

2 21

x x y

Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp

2 2

2

2'

x x

2

2 2 ( 2)'

y

x x

=

− +c) y=x2+x x+1 d) ( ) (2 )3

y= +x x+ x+e)

21

x y

'

12

y

x x

−

=+c)

2

3 52

x x y

Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp

x x y

22

Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp

§ 3 ðẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC KIẾN THỨC CẦN NẮM

Bảng ñạo hàm

(sinx)’ = cosx (cosx)’ = - sinx

2

1(tan ) '

cos

x

x

=2

1(cot ) '

2

'(tan ) '

cos

u u

u

=2

'(cot ) '

sin

u u

u

= −

BÀI TẬP Bài 1

Tìm ñạo hàm của các hàm số sau

12

Tìm ñạo hàm của các hàm số sau

a) y=5sinx−3cosx b) y=xcotx

Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp

2sin

1 tan 2

x y

x

x x

Bài 5

Tìm ñạo hàm của mỗi hàm số sau

a) sin 3 cos tan

Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp

cos sin (cos sin )

a) Hàm số y = tanx thỏa mãn hệ thức y’ – y2 – 1 = 0

+ 2 = 0 HD

a) y' 1 tan= + 2x Do ñó y’ – y2 – 1 = (1 + tan2x) – tan2x – 1 = 0

b) y’ = - 2(1 + cot22x) Do ñó y’ + 2y2 + 2 = - 2(1 + cot22x) + 2cot2x + 2 = 0

Bài 7

Giải phương trình '( )f x =0 biết rằng:

a) ( )f x =3cosx+4 sinx+5x b) ( ) 1 sin( ) 2 cos 2

π

π π

2

22

6sin

26

Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp

-

§ 4 VI PHÂN KIẾN THỨC CẦN NẮM

Cho hàm số y= f x( )xác ñịnh trên khoảng (a; b) và có ñạo hàm tại x∈( ; )a b Giả sử x∆ là số gia của x

Ta gọi tích f x'( )∆x là vi phân của hàm số y= f x( ) tại x ứng với số gia x∆ , kí hiệu là df x( )hoặc dy ,

tức là dy=df x( )= f x'( )∆x hay dy= y dx'

BÀI TẬP Bài 1

Tìm vi phân của các hàm số sau

b) y = sin3x, y’ = 3sin2xcosx

dy = d(sin3x) = y’dx = (3sin2xcosx)dx

c) y = sinx – xcosx, y’ = xsinx

dy = d(sinx – xcosx) = y’dx = (xsinx)dx d) y 13

+

=

−c) y = sin2x d) y tan x

Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp

1 ðịnh nghĩa

Giả sử hàm số ( )f x có ñạo hàm f x Nếu '( ) f x cũng có ñạo hàm thì ta gọi ñạo hàm của nó là ñạo '( )

hàm cấp hai của ( )f x và kí hiệu f ''( )x :

f − x = f x n∈ℕ

( )( )

n

f x là ñạo hàm cấp n của hàm số ( ) f x

2 Ý nghĩa cơ học của ñạo hàm cấp hai

Xét một chất ñiểm chuyển ñộng có phương trình s= f t( )

Vận tốc tại thời ñiểm t0 của chất ñiểm ñó là v t( )0 = f t'( )0

Gia tốc tức thời tại ñiểm t0 của một chất ñiểm chuyển ñộng với phương trình s= f t( ) là:

( )t v t'( ) f ''( )t

BÀI TẬP Bài 1

Tính ñạo hàm cấp hai của các hàm số sau

y

x

=

−e) y = cos2x f) y = sin5xcos2x

2 2

(1 2 )

4 1

(3 2 )1

−

++

Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp

x

=

2(1 ) cos

Xét chuyển ñộng của một chất ñiểm có phương trình ( )s t =Asin(ω ϕt+ ) ( , ,Aω ϕ là nhữnng

hằng số) Tìm gia tốc tức thời tại thời ñiểm t của chuyển ñộng

2( )t v t'( ) s t''( ) A sin( t )

Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp

Bài 5

Cho chuyển ñộng thẳng xác ñịnh bởi phương trình S t( )= −t3 3t2−9t, trong ñó t tính bằng giây

và S tính bằng mét

c) Tính gia tốc tại thời ñiểm vận tốc triệt tiêu

d) Tính vận tốc tại thời ñiểm gia tốc triệt tiêu

HD

Gọi v(t) là vận tốc tức thời của chuyển ñộng tại thời ñiểm t

2( ) '( ) 3 6 9

a) Tính gia tốc tại thời ñiểm t = 4s

3

13

11

Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp

2

1 sin 1 cos 1cos 1

'

x y

a) Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị (C) tại ñiểm có hoành ñộ x0 = - 1

b) Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị (C) tại ñiểm có tung ñộ y0 = 3

HD

a) f x( )=x2−2x+3, f x'( )=3x2 −2 nên ( 1)f − =4 và '( 1) 1f − =

phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y− = + ⇔ = +4 x 1 y x 5

b) Ta có y0 = 3, nên giải phương trình 02 0 02 0 0

Với x0 = 2, phương trình tiếp tuyến là: y=4x+ −3 4 2

Với x0 = − 2, phương trình tiếp tuyến là: y=4x+ +3 4 2

2

0 0

0

1( 1) 4

a) Hoành ñộ tiếp ñiểm x0 = 0

b) Tiếp tuyến ñi qua ñiểm A(0; 2)

2

x y x

−

=+ thì ta phải tìm k sao cho:

Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp

(2)( 2)

x kx

f x g x x

f x g x

k x

Thay k từ (2) vào (1), suy ra ñược x = - 1 và k = 5

Vậy phương trình tiếp tuyến phải tìm là: y = 5x + 2

Bài 5

Cho hàm số 3 2

5

y=mx + + −x x Tìm m ñể:

a) y’ bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất

b) y’ = 0 có hai nghiệm trái dấu

c) y’ > 0 với mọi x

b) y’ = 0 có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi a c< ⇔0 3 1m < ⇔ <0 m 0

c) y’ > 0 với mọi x khi và chỉ khi 0 3 0 1

m m

''2

f g

π π

51''

2

f g

ππ

1( ) 2 sin 3sin 1 sin 1 1

a) f x'( )=g x( ) với f x( )=sin 23 xvà ( )g x =4 cos 2x−5sin 4x

b) f x'( )=0 với ( )f x =20 cos 3x+12 cos 5x−15 cos 4x

HD

Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp

a) f x( )=sin 23 x⇒ f x'( )=6 sin 2 cos 22 x x

3sin 2 2 ( )

k x x

x x y

x

− −

=+ biết rằng các tiếp tuyến này song song với ñường thẳng y = 2 – 3x

Theo giả thiết, các tiếp tuyến này song song với ñường thẳng y = 2 – 3x, nên k = f x'( 0)= −3

Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp

TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

Câu 1 Với

2

2 5( )

x y x

A 12 12cos 2x−sin 2x B 22 22

1 cos 3

f x

x

=+ Khi ñó f x bằng: '( )

+

Câu 9 Cho hàm số f x( )=cos2 x−tan 32 x Khi ñó f x bằng: '( )

A 2cosx – 2tan3x B sin 2 2 tan 32

cos 3

x x

x

cos

x x

x

Câu 10 Cho hàm số

3 2( )

3 2

x x

f x = + +x Tập nghiệm của bất phương trình f x'( )≤0 là:

A O B (0;+∞) C [ 2; 2]− D (−∞ +∞; )Câu 11 Cho hàm số ( )f x =2 sinx−sin 2x Phương trình f x'( )=0 có nghiệm là:

Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp

=

− tại ñiểm có hoành ñộ x = – 1 có phương trình là:

A y = – x – 3 B y = – x + 2 C y = x – 3 D y = – x + 3 Câu 17 Tiếp tuyến của ñồ thị hàm số 1

2

y x

3

f x

x x x

f x

x x

=

3'( )

32

f x

x x

=

−Câu 22 Vi phân của hàm số y= cos 2x là:

Trường THPT Tuy Phong Gv: Lư Sĩ Pháp

Câu 24 Vi phân của hàm số y=sin 3x là:

=+ là:

A

( )

2

2 2

11

x

=+

C

2

2

11

A dy=( cosx x−sin )x dx B dy=xcosxdx

C dy=(cosx−sin )x dx D dy=xsinxdx

Câu 27 Cho f x( )=5(x+1)3+4(x+1) Tập nghiệm của phương trình f ''( )x =0 là:

A [ 1; 2]− B (−∞; 0] C { }−1 D O

Câu 28 ðạo hàm cấp 2010 của hàm số y=cosx là:

A sinx B – sinx C cosx D – cosx

Câu 29 Nếu f x( )=sin3x+x2 thì ''

A x= −3 B x=3;x=2 C x=4 D x=5;x=6Câu 31 Cho hàm số f x( )=sin 22 x+x2 Giá trị lớn nhất của f ''( )x là: