Bài giảng môn toán cao cấp 2

Tập số thực có rất nhiều tính chất quan trọng trong lý thuyết tậphơp, trong lý thuyết về hàm số một biến số thực.. Ngoài ra còn có nhiều tínhchất quan trọng khác, bạn đọc có thể tham khả

1 Lý thuyết giới hạn 1

1.1 Dãy số 1

1.1.1 Tập hợp 1

1.1.2 Tập hợp số thực 5

1.1.3 Dãy số thực 6

1.2 Hàm số một biến 15

1.2.1 Khái niệm hàm số một biến 15

1.2.2 Một số khái niệm liên quan đến hàm số một biến 18 1.3 Giới hạn của hàm số một biến 22

1.3.1 Các định nghĩa giới hạn 22

1.3.2 Một số tính chất của giới hạn hàm số 27

1.3.3 Các phép toán về giới hạn 27

1.3.4 Một số tiêu chuẩn hội tụ 28

1.3.5 Vô cùng bé, vô cùng lớn 30

1.4 Bài tập chương 1 34

2 Hàm số liên tục 37 2.1 Khái niệm về hàm số liên tục 37

2.2 Các phép toán về hàm số liên tục 39

2.3 Tính liên tục của hàm số trên 1 đoạn 40

2.4 Liên tục đều 44

2.7 Bài tập chương 2 48

3 Đạo hàm và vi phân hàm số một biến 50 3.1 Đạo hàm của hàm số một biến 50

3.1.1 Một số khái niệm về đạo hàm 53

3.1.2 Ý nghĩa hình của đạo hàm 57

3.1.3 Các quy tắc tính đạo hàm 58

3.1.4 Đạo hàm hàm hợp 60

3.1.5 Đạo hàm hàm ngược 61

3.1.6 Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp 62

3.1.7 Đạo hàm cấp cao của hàm số 63

3.2 Vi phân của hàm số một biến 64

3.2.1 Định nghĩa 64

3.2.2 Mối liên hệ giữa đạo hàm và vi phân 65

3.2.3 Ứng dụng của phép tính vi phân vào tính gần đúng 65

3.2.4 Vi phân cấp cao 66

3.3 Một số ứng dụng của đạo hàm 67

3.3.1 Một số định lý giá trị trung bình 67

3.3.2 Quy tắc De L’Hospital để tìm giới hạn của hàm số 71

3.3.3 Công thức khai triển Taylor 74

3.4 Bài tập chương 3 77

4 Nguyên hàm và tích phân bất định 80 4.1 Tích phân bất định 80

4.1.2 Bảng tích phân các hàm số thường gặp 82

4.1.3 Các tính chất cơ bản 82

4.2 Một số phương pháp tính tích phân bất định 84

4.2.1 Phương pháp đổi biến 84

4.2.2 Phương pháp tích phân từng phần 85

4.3 Một số dạng tích phân bất định 87

4.3.1 Tích phân các hàm phân thức hữu tỷ 87

4.3.2 Tích phân các hàm số lượng giác 89

4.3.3 Tích phân hàm số vô tỷ 91

4.4 Bài tập chương 4 92

5 Tích phân xác định của hàm một biến số 94 5.1 Tích phân xác định 94

5.1.1 Khái niệm 94

5.1.2 Tính chất của tích phân xác định 98

5.1.3 Công thức Newton-Leibnit 99

5.2 Một số phương pháp tính tích phân xác định 100

5.2.1 Phương pháp đổi biến 100

5.2.2 Phương pháp tích phân từng phần 102

5.3 Ứng dụng của tích phân xác định 104

5.3.1 Tính diện tích hình phẳng 104

5.3.2 Tính độ dài đường cong 106

5.3.3 Tính thể tích của vật thể 108

5.3.4 Tính diện tích diện tích xung quanh của vật thể tròn xoay 110

5.4 Tích phân suy rộng 110

5.4.1 Tích phân suy rộng với cận vô cùng 110

Tài liệu tham khảo 124

Tài liệu tham khảo 124

+ Phần tử a thuộc tập A, viết a ∈ A.

+ Phần tử b không thuộc tập A, viết b /∈ A.

b Các phương pháp mô tả tập hợp

i) Liệt kê ra các phần tử của tập hợp.

ii) Chỉ ra tính chất mà chỉ những phần tử thuộc tập mới có

c Tập rỗng: Tập rỗng là tập không có phần tử nào, kí hiệu ∅.

+ Hai tập A và B được gọi là bằng nhau nếu phần tử của tập A

cũng là phần tử của tập B và ngược lại, kí hiệu A = B Vậy

+ Giao của 2 tập A và B là tập hợp tất cả các phần tử vừa thuộc Avừa thuộc B, kí hiệu A ∩ B (hình 1.3) Vậy

1.1.2 Tập hợp số thực

a Số hữu tỷ

Ta đã biết tập các số tự nhiên

N = {0, 1, 2, , n, }.

Để mở rộng lớp nghiệm cho phương trình x + n = 0, n ∈ N ta đưa

thêm vào tập các số nguyên Z

Z = {0, ±1, ±2, }.

Để mở rộng lớp nghiệm cho phương trình mx + n = 0, m, n ∈ Z

ta đưa vào tập các số hữu tỷ Q

Ta thấy tập các số hữu tỷ còn quá hẹp, chẳng hạn ta xét nghiệm

dương của phương trình x2 − 3 = 0 Ta có x = √3 là một nghiệm và

3 Ta viết các

Chú ý 2 Ta có bao hàm thức

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

Tập số thực có rất nhiều tính chất quan trọng trong lý thuyết tậphơp, trong lý thuyết về hàm số một biến số thực Tuy nhiên ở đây tachỉ đưa ra một số tính chất cơ bản nhất Ngoài ra còn có nhiều tínhchất quan trọng khác, bạn đọc có thể tham khảo trong giáo trình.+ Tập R là tập được sắp thứ tự toàn phần

+ Tập R là tập có tính đầy

+ Tập R là tập có tính trù mật

1.1.3 Dãy số thực

i) Khái niệm

Cho ánh xạ f : N∗ −→ R xác định bởi u n = f (n) (n = 1, 2, ) Khi đó, các số u1, u2, , u n , được gọi là dãy số và kí hiệu {u n } Các

số u1, u2, , u n , gọi là các số hạng của dãy và u n = f (n) gọi là số

hạng tổng quát của dãy số.

+ Dãy số {u n } gọi là bị chặn nếu nó bừa bị chặn trên, vừa bị chặn

dưới, tức là tồn tại M > 0 sao cho

ii) Giới hạn của dãy số

Định nghĩa 1.1 Số thực a gọi là giới hạn của dãy số {u n } n khi

n → +∞ nếu với mọi ϵ > 0 tồn tại n0 = n0(ϵ) sao cho với n ≥ n0 ta có

|u n − a| < ϵ,

kí hiệu lim

n →∞ u n = a, hoặc u n → a khi n → +∞ Ta cũng nói rằng dãy

số hội tụ.

+ Một dãy số không hội tụ gọi là dãy số phân kỳ.

+ Theo định nghĩa trên số n0 phụ thuộc ϵ hay n0 = n0(ϵ) Ta cũng

thấy, sự hội tụ của dãy không phụ thuộc 1 số hữu hạn các số hạng

đầu của nó, vì khi đó ta chỉ cần chọn n0 lớn hơn chỉ số lớn nhất của

số hạng đó

Định nghĩa 1.2 Dãy {u n } được gọi là:

+ Dần đến vô cùng nếu với mọi M > 0 cho trước lớn tuỳ ý tồn tại

số n0 sao cho

|u n | > M, ∀n ≥ n0,

iii) Dãy con

Định nghĩa 1.3 Cho dãy số thực {u n } n và dãy các số nguyên {n k } k

sao ch n1 < n2 < < n k < Dãy số u n1, u n2, , u n k , được gọi là dãy con của dãy {u n } n

Định nghĩa 1.4 Cho dãy số thực {u n } n Số thực a gọi là giới hạn riêng của dãy số {u n }nếu có một dãy con {u n k } k của dãy {u n } n hội

tụ đến a, tức là lim

k →∞ u n k = a.

Định lý 1.1 Dãy số {u n } n có giới hạn a khi và chỉ khi mọi dãy con của nó giới hạn a.

iv) Một số tính chất của dãy hội tụ

Tính Chất 1 Nếu dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.

Hệ quả 1.2 Nếu lim

n →∞ u n = a thì lim n →∞ |u n | = |a|.

Tính Chất 2 Mọi dãy hội tụ đều là dãy bị chặn.

v) Một số phép toán về giới hạn của dãy số.

ii) được chứng minh hoàn toàn tương tự

iii) Để có thể sử dụng giả thiết hội tụ của {u n } , {v n } ta viết:

u n v n − ab = u n v n − u n b + u n b − ab = u n (v n − b) + (u n − a)b.

Do dãy{u n } hội tụ nên bị chặn, vì thế tốn tại M > 0 sao cho |u n | ≤ M

với mọi n Khi đó:

|u n b n − ab| ≤ |u n (v n − b)| + |(u n − a)b|

n →∞ u n v n = limn →∞ u n lim n →∞ v n = a.b (1.2)

iv) Trước hết ta chứng minh rằng

n →∞ v n

( nếu lim

n →∞ v n = b ̸= 0). (1.3)

Do lim

n →∞ v n = b ̸= 0 Lấy ϵ = |b|2 > 0, theo định nghĩa của giới hạn tồn

tại N sao cho |v n − b| < |b|2 với n > N Từ đó

vi) Các tiêu chuẩn hội tụ

Định nghĩa 1.5 Dãy số thực {u n } được gọi là dãy cơ bản hay dãy Cauchy nếu với mọi ϵ > 0 cho trước tồn tại N (phụ thuộc ϵ) sao cho với mọi n, m > N ta có |u n − u m | < ϵ.

Từ định nghĩa ta suy ra:

- Mọi dãy cơ bản là dãy bị chặn.

- Nếu dãy cơ bản {u n } có một dãy con {u n k } hội tụ đến giới hạn a thì chính dãy {u n } cũng hội tụ đến a.

Định lý 1.5 (Tiêu chuẩn Cauchy) Điều kiện cần và đủ để dãy số

{u n } có giới hạn hữu hạn là với mọi ϵ > 0 đủ bé tồn tại N sao cho nếu n, m > N thì |u n − u m | < ϵ.

Chứng minh Điều kiện cần Giả sử dãy u n hội tụ đến giới hạn a Khi

Điều kiện đủ Ngược lại giả thử {u n } là dãy cơ bản Khi đó theo trên {u n } là dãy bị chặn và do đó theo nguyên lý Bolzano- Weierstrass dãy {u n } có một dãy con hội tụ đến một giới hạn a nào đó Theo tính chất

của dãy cơ bản, chính dãy {u n } cũng hội tụ đến a.

Định lý 1.6 Cho 3 dãy số {x n }, {y n }, {z n } Nếu

vii) Tiêu chuẩn về giới hạn của dãy đơn điệu

Định lý 1.7 1) Nếu dãy {u n } là dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên thì nó hội tụ và lim

n →∞ u n = supn u n .

2) Nếu dãy {u n } là dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì nó hội

tụ và lim

n →∞ u n = infn u n

Chứng minh 1) Vì dãy {u n } bị chặn trên, nên nó có cận trên đúng.

Đặt a = sup

n

u n Ta có u n ≤ a, ∀n ∈ N ∗.

Cho trước ϵ > 0, vì a − ϵ < a, không là cận trên của {u n } vì thế

tồn tại n0 ∈ N ∗ sao cho a − ϵ < u n0 ≤ a.

Mặt khác vì {u n } là dãy tăng nên với mọi n > n0; u n0 ≤ u n, do đó

)+ 13!

(

1− 1n

) (

1− 2n

)+

+ 1n!

(

1− 1n

) (

1− 2n

Ta thấy ngay rằng các số hạng trong u n đều nhỏ hơn hoặc bằng các số

hạng tương ứng trong u n+1 ; ngoài ra trong u n không có số hạng cuối

Do đó u n+1 > u n, nghĩa là dãy {u n+1 } tăng.

b) Dãy u n bị chặn trên Theo (1.4) ta có

u n < 1 + 1 + 1

2! +

13! +· · · + 1

1.2.1 Khái niệm hàm số một biến

a Định nghĩa Một ánh xạ f : D ⊂ R −→ R được gọi là hàm số biến số thực, kí hiệu y = f (x) Tập D được gọi là miền xác định của

f, x ∈ D gọi là biến số độc lập và y ∈ R gọi là giá trị hàm số tại x.

+ Tập R(f ) = {y ∈ R y = f(x), x ∈ D} gọi là miền giá trị của f;

+ Tập G(f ) = {(x, f(x))|x ∈ D} gọi là đồ thị của f.

Chú ý 3 Hàm số không phụ thuộc kí hiệu của đối số mà chỉ phụ

thuộc quy luật f để xác định giá trị hàm số.

Ví dụ 9 Hàm số y = x3 + 3x2 − 1, x ∈ R.

Ví dụ 10 Hàm số cho dưới dạng nhiều biểu thức trong những khoảng

Chú ý 4 Có rất nhiều phương pháp cho hàm số: Phương pháp cho

dưới dạng bảng số, dưới dạng hàm số hiện, hàm ẩn, dạng tham số,

+ Hàm số f (x) gọi là đơn điệu không tăng trên (a, b) nếu với x1, x2 ∈

iii) Hàm số tuần hoàn

Nếu tồn tại số T ̸= 0 sao cho f(x + T ) = f(x), với mọi x ∈ D thì

f (x) gọi là hàm số tuần hoàn trên D Số T > 0 nhỏ nhất thoả mãn hệ thức trên gọi là chu kỳ của hàm số f (x).

Ví dụ 13 Hàm số y = cos2x + 2sin3x là hàm số tuần hoàn chu kỳ

T = 2π.

Cho X, Y, T ⊂ R Giả sử hàm số f : X −→ Y và g : Y −→ T Khi

đó, hàm số h : X −→ T xác định bởi h(x) = g(f(x)), x ∈ X được gọi

là hàm số hợp của g và f, kí hiệu h = (g ◦ f) Vậy

thì g(y) gọi là hàm số ngựơc của hàm số f (x), kí hiệu g(y) = f −1 (y),

y ∈ Y.

Nhận xét 3 Hàm số f : X −→ Y là có hàm số ngược khi và chỉ khi

f là một song ánh đi từ X vào Y

Ta thấy miền xác định của hàm số ngược là miền giá trị của hàm

số ban đầu và ngược lại Ta có

chúng có đồ thị đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất

c Một số hàm lượng giác ngược Trong phần này ta đưa ra một số

hàm số lượng giác ngược Các hàm số này được dùng phổ biến trong

số các hàm số ngược

Qui ước x là đối số, y là hàm số thì hàm ngược của y = sinx là hàm y = arcsinx Ta thấy

Hàm số y = cosx, x ∈ [0, π] là một song ánh từ tập [0, π] lên tập

[−1, 1] nên nó có hàm số ngược x = arccosy.

Qui ước x là đối số, y là hàm số thì hàm ngược của y = cosx là hàm y = arccosx Ta thấy

Qui ước x là đối số, y là hàm số thì hàm ngược của y = tanx là hàm y = arctanx Ta thấy

Hàm số y = cotx, x ∈ (0, π) là một song ánh từ tập (0, π) lên tập

(−∞, ∞) nên nó có hàm ngược x = arccoty.

Qui ước x là đối số, y là hàm số thì hàm ngược của y = cotx là hàm y = arccotx Ta thấy

2.

d Hàm số sơ cấp

+ Các hàm số sau được gọi là hàm số sơ cấp cơ bản: hàm số luỹ

thừa, hàm số mũ, hàm số logarit, các hàm số lượng giác và các hàm

số lượng giác ngựơc

+ Hàm số sơ cấp là các hàm số được lập từ các hàm sơ cấp cơ bảnbởi các phép toán tính tổng, hiệu, tích, thương và phép lấy hàm hợpcác hàm sơ cấp cơ bản và các hằng

+ Trong các hàm số sơ cấp, người ta đặc biệt chú ý đến 2 loại hàmsố: các đa thức, các hàm số hữu tỷ.

gọi là phân thức hữu tỷ.

1.3 Giới hạn của hàm số một biến.

1.3.1 Các định nghĩa giới hạn

a Giới hạn tại 1 điểm

Xét tập hợp X ⊂ R, x0 ∈ R (hữu hạn hoặc vô hạn) gọi là điểm giới

hạn của X nếu trong mọi lân cận của x0 đều tồn tại x ∈ X, x ̸= x0)

Theo định nghĩa thì x0 có thể thuộc X hoặc không

Rõ ràng nếu x0 ∈ R là điểm giới hạn của X thì ∃{x n } ∈ X sao cho

x n ̸= x0, x n → x0

Cho hàm số f , xác định trên tập số X ⊂ R, x0 là một điểm giớihạn của tập X

Định nghĩa 1.6 Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn l (hữu hạn) khi

x → x0 nếu với mọi ϵ > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈ X mà

0 < |x − x0| < δ thì

|f(x) − l| < ϵ,

kí hiệu

lim

x →x0

f (x) = l hay f (x) → l khi x → x0.

Chú ý 5 Tại điểm x0 hàm số có thể không xác định, ngay cả khi

hàm f (x) xác định tại x0 thì giá trị của f (x0) không đóng vai trò nàotrong định nghĩa này

Người ta chứng minh được định nghĩa sau tương đương với địnhnghĩa trên

Định nghĩa 1.7 Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn l khi x → x0

nếu mọi dãy {x n } n ⊂ X (x n ̸= x0) sao cho x n → x0 (n → ∞) thì

Vậy với mọi ϵ > 0 tồn tại δ = ϵ

7 sao cho với mọi x thoả mãn |x−1| < δ

b Giới hạn tại vô cực

+ Hàm số f (x) gọi là có giới hạn l khi x → +∞ nếu với mọi ϵ > 0

tồn tại N > 0 đủ lớn sao cho khi x > N thì

|f(x) − l| < ϵ,

kí hiệu lim

x →+∞ f (x) = l hay f (x) → l khi x → +∞.

+ Hàm số f (x) gọi là có giới hạn l khi x → −∞ nếu với mọi ϵ > 0

tồn tại N > 0 đủ lớn sao cho khi x < −N thì

c Giới hạn vô cực

Cho hàm số f (x) xác định trên X, x0 là điểm giới hạn của tập X

+ Ta nói f (x) có giới hạn ∞ khi x → x0 nếu với mọi M > 0 tồn tại δ > 0 và mọi x ∈ X thỏa mãn 0 < |x − x0| < δ ta có

Vậy với mọi M > 0 tồn tại δ = √1

M sao cho với moi x thoả mãn

f (x) với x > x0 thì giới hạn đó gọi là

giới hạn bên phải của hàm số f (x), kí hiệu f (x+0) Vậy

lim

x →x+ 0

f (x) = f (x+0 ).

+ Nếu tồn tại giới hạn lim

x →x0

f (x) với x < x0 thì giớ hạn đó gọi là

giới hạn bên trái của hàm số f (x), kí hiệu f (x −0) Vậy

lim

x →x −

0

f (x) = f (x −0 ).

Chú ý 6 Tại x0 hàm số có thể không xác định và nói chung f (x+0) ̸=

x không có giới hạn khi x → 0.

Ví dụ 23 Tìm giới hạn sau lim

Vậy giới hạn trên không tồn tại

Chú ý 7 Khi ta viết lim

x →x0

f (x) = L nếu không nói gì ta hiểu L là hữu

hạn còn x0 có thể là hữu hạn hoặc vô hạn

Chứng minh Định lý trên đây chỉ là một hệ quả của định lý tương

ứng đối với các dãy hội tụ

Chú ý 8 Định lý trên chưa cho ta khẳng định khi gặp các dạng vô

1.3.4 Một số tiêu chuẩn hội tụ

Định lý 1.11 (Tiêu chuẩn Cauchy)

Điều kiện cần và đủ để hàm số f (x) có giới hạn tại x0 là với mọi

ϵ > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x, x ′ thamn 0 < |x − x0| < δ và

1.3.5 Vô cùng bé, vô cùng lớn

a Vô cùng bé

Định nghĩa 1.8 Hàm số f (x) xác định trong khoảng (a, b), được gọi

là vô cùng bé (viết VCB) khi x → x0 (x0 ∈ [a, b]) nếu lim

Định nghĩa 1.9 Hàm số f (x) xác định trong khoảng (a, b), được gọi

là vô cùng bé (viết VCB) khi x → x0 (x0 ∈ [a, b]) nếu lim

Định nghĩa 1.10 Hàm số f (x) xác định trong khoảng (a, + ∞) hay

(−∞, a), được gọi là vô cùng bé (viết VCB) khi x → +∞ ( hay x →

−∞) nếu lim

x →+∞ f (x) = 0 ( hay nếu x →−∞lim f (x) = 0).

Ví dụ 28 1) y = sinx là một VCB khi x → 0 vì lim

không so sánh được khi x → x0.

Ví dụ 29 Khi x → 0, ta có sinx ∼ x; x ∼ tanx; sinx ∼ tanx; 1− cosx ∼ x2

1

2x

2x =

14

Định lý 1.14 (Ngắt bỏ VCB bậc cao) Nếu α(x) và β(x) là các VCB

khi x → x0, α(x) = o(β(x)) khi x → x0 thì

α(x) + β(x) ∼ β(x).

Chú ý 9 Nếu f ∼ f1, g ∼ g1 thì f g ∼ f1g1 nhưng chưa chắc f ± g ∼

Định nghĩa 1.12 Hàm số f(x), xác định trong khoảng (a, b), được

gọi là vô cùng lớn (viết tắt VCL) khi x → x0 x0 ∈ (a, b) nếu

lim

x →x0

|f(x)| = +∞.

Định nghĩa 1.13 Hàm số f(x), xác định trong khoảng (a, + ∞)

( hay ( −∞, a)), được gọi là vô cùng lớn (viết tắt VCL) khi x →

x → x0.

+ Nếu lim

x →x0

F (x) G(x) = c (c ̸= 0, ∞) ta nói F (x) và G(x) là 2 VCL cùng bậc khi x → x0.

+ Đặc biệt, nếu lim

x →x0

F (x) G(x) = 1 ta nói rằng F (x) và G(x) là 2 VCL tương đương khi x → x0, kí hiệu F (x) ∼ G(x).

Định lý 1.15 (Thay thế VCL tương đương) Nếu F(x) và G(x) là các

VCL khi x → x0; F (x) ∼ F1(x), G(x) ∼ G1(x) khi x → x0 thì

lim

x →x0

F (x) G(x) = limx →x0

5x34x3 = 5

4.

1.4 Bài tập chương 1

Bài 1 Trong những dãy dưới đây, dãy nào là dãy Cauchy

a) a n = tan 12 + tan 222 +· · · + tan n

Chứng minh rằng nếu dãy {S n } hội tụ thì dãy {lnB n } cũng hội tụ.

Bài 3 Chứng minh rằng nếu lim

Bài 6 Cho dãy{a n } thỏa mãn điều kiện |a n+1 − a n+2 | < λ |a n − a n+1 | ,

với λ ∈ (0; 1) Chứng minh rằng dãy {a n } hội tụ.

Bài 7 Tính các giới hạn sau đây

n →∞

7n9 + 2n6 − n + 4

3n8 + 18n4 + 11 d) lim n →∞

(6n3 + 11n)(5n6 − 2n4 + 4n + 3) (10n5 − n4 + n + 7)(9n4 + 2n2 − 5) e) lim

Bài 13 Cho hàm thực f Chứng minh rằng nếu f là hàm số tuần

hoàn chu kỳ T và f có giới hạn khi x → +∞ thì f là không đổi.

Từ đó suy ra rằng các hàm số y = sin x, y = cos x không có giới hạn hữu hạn khi x → +∞.

Bài 14 So sánh các vô cùng bé sau

a) α(x) = sin x, β(x) = x2 khi x → 0.

b) α(x) = 1 − cos(π

2 − x), β(x) = cot x khi x → π

2 c) α(x) = cos x − sin x, β(x) = cos 2x khi x → π

4.

Bài 15 Giả sử các hàm số f, g, h là ba hàm số xác định trên một

khoảng chứa x0 (có thể trừ điểm x0)

a Chứng minh rằng nếu f ∼ g hoặc g = o(f) và h = o(g) (x → x0)

thì h = o(f ) (x → x0)

b Chứng minh rằng nếu g = o(f ) và h = o(f ) (x → x0) thì h + g =

o(f ) (x → x0)

Bài 16 Giả sử f, g, h, α là những hàm số xác định trêm một khoảng

chứa x0 và α bị chặn trên khoảng đó Chứng minh rằng nếu g(x) =

f (x).α(x) và h = o(g) (x → x0) thì h = o(f ) (x → x0)

Bài 17 Đoạn thẳng OP nối liền tâm O với điểm P ngoài đường tròn.

Vẽ tiếp tuyến PT và từ T hạ đường vuông góc TN xuống OP Gọi A

là giao giữa OP với đường tròn Chứng minh AP và AN là hai vô cùng

bé tương đương khi P→ A.

Bài 18 Sử dụng ứng dụng của vô cùng bé tìm giới hạn các hàm số

T = 2? ?.

Cho X,... data-page="38">

1.4 Bài tập chương 1

Bài Trong dãy đây, dãy dãy Cauchy

a) a n = tan 12< /sub> + tan 2< /sup>2< /sub>2< /small>... x0.

Ví dụ 29 Khi x → 0, ta có sinx ∼ x; x ∼ tanx; sinx ∼ tanx; 1− cosx ∼ x2< /sup>

1

2< /small>x

2x =