Bài giảng môn Toán cao cấp

Cho tập hợp các số thực và D  . Hàm số xác định trên D là một quy luật f đặt tương ứng mỗi điểm xD với một giá trị duy nhất ( ) . y f x Nếu f là hàm số xác định trên D thì ta kí hiệu : ( ) f D x y f x   hoặc y  f (x), x  D. Tập hợp D được gọi là tập xác định của hàm số f. Ví dụ 1. Cho hàm số 2 y  x  x  1, x 0 , 4). Khi đó tập xác định của hàm số là 0, 4).

BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP (UEF)

CHƯƠNG I GIỚI HẠN và LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN

I.1 HÀM SỐ

1 KHÁI NIỆM

Cho tập hợp các số thực và D  Hàm số xác định trên D là một quy luật f đặt

tương ứng mỗi điểm xD với một giá trị duy nhất y  f x( ) 

Nếu f là hàm số xác định trên D thì ta kí hiệu

Lưu ý Khi cho hàm số, người ta phải cho trước tập xác định Trường hợp hàm số

đuợc cho bởi công thức mà không nói gì thêm thì ta quy ước tập xác định là tập hợp

tất cả các giá trị của biến số x để f x( ) 

Ví dụ 3 Cho hàm số y  ln(x 2) Khi đó tập xác định của hàm số là tập hợp các giá

trị x sao cho x  2 0 hay x > 2 Vậy D  (2,  ).

Hàm số f được gọi là hàm sơ cấp nếu nó được cho bởi một công thức, trong đó có

hữu hạn các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, lấy hàm hợp của các hàm sơ cấp cơ bản

Dưới đây ta kí hiệu D f là tập xác định của hàm số ( ).f x

Định nghĩa Ta nói số b là giới hạn của hàm số f x( ) khi x  a nếu với mọi dãy số  x n  D f \ a x, n a ta đều có f x( n) b Khi đó ta viết lim ( )

x a



Trong định nghĩa trên, a b, có thể là các số hữu hạn hoặc 

Ví dụ 1 Tìm giới hạn sau đây bằng định nghĩa







2 CÁC TÍNH CHẤT CỦA GIỚI HẠN HÀM SỐ

(1) Nếu hàm số f x ( )có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất

(2) Nếu ( ) ( ) ( ) µ lim ( ) lim ( )

3 MỘT VÀI GIỚI HẠN ĐẶC BIỆT

 

0

1 0

1lim 0 ( 0)sin

p x x

x x

x x x x

p x

x

p e

- Nhân, chia cho biểu thức liên hợp

- Chia tử, mẫu cho cùng một biểu thức khác không

- Biến đổi làm xuất hiện các giới hạn đặc biệt

- Áp dụng các tính chất của giới hạn của hàm số

- Sử dụng các vô cùng bé tương đương

5 lim

81 lim

2

x

x x

1

x

x x

5 GIỚI HẠN MỘT PHÍA

Trong định nghĩa giới hạn của hàm số f x ( ) khi x  a, nếu bổ sung thêm điều kiện

x  a, ta có giới hạn bên phải của f x ( ), kí hiệu là lim ( )

x x

(iii) Trên (x b0, ] tồn tại các đạo hàm hữu hạn f'( ), '( )x g x và g x'( )  0;

(iv) Tồn tại giới hạn

0

'( )lim

phải biến đổi, đưa về hai dạng này, sau đó mới áp dụng quy tắc

Ví dụ 6 Sử dụng quy tắc L’ Hospital để tìm giới hạn sau

a)

0

ln lim

ln sin

x

x x

c)

0

ln cos lim

ln cos3

x

x x

2 CÁC TÍNH CHẤT

(1) Nếu các hàm số f x g x( ), ( )liên tục tại x0thì các hàm số

0

( )( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( íi ( ) 0)

(3) Hàm sơ cấp liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định

(4) Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và nhận giá trị trái dấu tại hai đầu mút của đoạn thẳng đó (nghĩa là f(a).f(b) < 0) thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm x0  ( , )a b

Ví dụ 1 Xét sự liên tục của hàm số sau tại x = 0

Ví dụ 4 Chứng minh rằng phương trình x = mcosx có nghiệm với mọi m

CHƯƠNG II ĐẠO HÀM CỦA HÀM MỘT BIẾN

0

( ) '( ) lim

0 0

0

( ) ( ) '( ) lim

x

a

ln

1log '   

u    ' ' '

v u v

u c u

c   

v u v u

' '

'

v

v u v u v

5 BẢNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP

u u

u      ' '

lna u a

u e

eu  u 

a u

u u

a

lnlog

'

u

u u

' '

ln  sinu' u' cosu

cosu'  u'sinu  

u

u u

' '

cos

u

u u

tg

' '

dy hay dx

y

b) Vi phân cấp hai Vi phân của vi phân cấp một được gọi là vi phân cấp hai, kí hiệu và

được tính bởi công thức 2 2

Ví dụ 2 Cho hàm số y = y(x) xác định bởi phương trình: y3  y   1 x2 Hãy tính y'(1)

Ví dụ 3 Cho hàm số y = y(x) xác định bởi phương trình: x y2  1 Hãy tính y’(x)

Ví dụ 4 Cho hàm số y = y(x) xác định bởi phương trình: x  y  25 Hãy tính y’(x)

II.3 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT HÀM SỐ

1 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN

Định lý 1

Nếu f '( )x  0 với mọi x  ( , )a b thì hàm số f tăng trên khoảng (a, b)

Nếu f '( )x  0 với mọi x  ( , )a b thì hàm số f giảm trên khoảng (a, b)

Nếu f '( )x  0 với mọi x  ( , )a b thì hàm số f là hàm hằng trên khoảng (a, b)

Ví dụ 1 Tìm khoảng tăng, giảm của hàm số 



2

2 ( )

1

x

f x

x

2 VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN

Cho đồ thị hàm số y = y(x) là đường cong (c) Phương trình tiếp tuyến với (c) tại điểm (x0,y0)là: y y0  f x'( 0)(x x0), trong đó f x'( 0)là hệ số góc của tiếp tuyến

Định lý 3

Nếu f '( )x  0 tại x0 và f ''(x0)  0 thì x0 là điểm cực đại địa phương

Nếu f '( )x  0 tại x0 và f ''(x0)  0 thì x0 là điểm cực tiểu địa phương

b) Cực trị toàn cục

Định lý 4 Nếu hàm số f x( ) liên tục trên đoạn [a, b] và có đạo hàm trong khoảng (a, b) thì nó có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên [a, b]

Lưu ý

 Để tìm GTLN, GTNN của hàm số f x( ) trên đoạn [a, b], ta tìm đạo hàm f '( )x và giải phương trình f '( )x  0 để tìm tất cả các điểm dừng Sau đó tính giá trị của hàm số f x( ) tại các điểm dừng rồi so sánh với f(a), f(b) để suy ra GTLN, GTNN

 Để tìm GTLN, GTNN của hàm số f x( ) trên khoảng mở (hữu hạn hoặc vô hạn) thì cần lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng đó

Ví dụ 3 Tìm cực trị địa phương của hàm số 



2

2 ( )

Nếu f ''( )x  0 với mọi x  ( , )a b thì hàm số f lồi ngặt trên khoảng (a, b)

Nếu f ''( )x  0 với mọi x  ( , )a b thì hàm số f lõm ngặt trên khoảng (a, b)

Nếu f ''( )x  0 tại x0 và f ''( )x đổi dấu khi đi qua x0thì x0là điểm uốn của hàm số ( )

b) Xét tính lồi lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số đó

Ví dụ 9 Một công ty sản xuất thấy rằng khi x (đơn vị tính: ngàn sản phẩm) được bán

ra thì giá của một sản phẩm trên thị trường sẽ là





2

1200 ( )

CHƯƠNG III HÀM NHIỀU BIẾN

III.1 KHÁI NIỆM

được gọi là hàm hai biến xác định trên tập hợp D

Như vậy, mỗi cặp số thực ( , )x y D sẽ tương ứng với một số thực z  f x y( , )

Ta gọi các biến số x y , là các biến số độc lập, còn biến số z là biến số phụ thuộc vào x y , ;

Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, người ta chỉ cho ánh xạ f mà không cho tập xác định Khi

đó, ta quy ước tập xác định D của hàm số là tập hợp các cặp số ( , )x y  R2 sao cho giá trị của biểu thức f x y( , ) là số thực

Ví dụ 2 Cho hàm số bởi biểu thức f x y( , )  yx2

III.2 ĐẠO HÀM RIÊNG và VI PHÂN

1 ĐẠO HÀM RIÊNG

Cho hàm hai biến z  f x y ( , ) xác định trên tập hợp D

Nếu xem biến số y như hằng số, ta có hàm một biến theo x Lấy đạo hàm của hàm số thu được theo x, ta gọi đó là đạo hàm riêng theo x của hàm hai biến đã cho, kí hiệu là z hoặc 'x z

Thay c  y, ta có đạo hàm riêng theo x của hàm số đã cho là z'x  3x2  y.

Tương tự, nếu xem x là hằng số, ta có hàm một biến theo y và ta cũng tính được đạo hàm riêng theo y của hàm hai biến, kí hiệu là z hoặc 'y z

Ở ví dụ 1, ta tính tiếp đạo hàm riêng theo y và được z'y  2y x

Vậy, thực chất đạo hàm riêng theo từng biến số là đạo hàm của hàm một biến khi xem biến số còn lại như hằng số

Ví dụ 2 Tính đạo hàm riêng của hàm 2 biến: z  e x y  xy

Ví dụ 3 Cho hàm hai biến z  e2x  y lny Tính z'x(1;1) , z'y(1;1)

Ví dụ 4 Tính đạo hàm riêng của hàm 3 biến: u  e xyz  xy  yz zx

2 VI PHÂN

Cho hàm hai biến z  f x y( , ) xác định trên tập hợp D và có các đạo hàm riêng z z'x, 'y

Khi đó, biểu thứcdz  z dx'x  z dy'y được gọi là vi phân (toàn phần) của hàm hai biến đã cho

Ví dụ 5 Tính đạo hàm riêng và vi phân của hàm số z  x3  y3

3 ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP HAI

Cho hàm hai biến z  f x y( , ) có các đạo hàm riêng z z'x, 'y Ta gọi đây là các đạo hàm riêng cấp một Rõ ràng chúng đều là hàm hai biến nên lại có đạo hàm riêng của mình

Đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp một được gọi là đạo hàm riêng cấp hai của hàm số ban đầu

Ta có 4 đạo hàm riêng cấp hai sau đây:

Ví dụ 9 Tính đạo hàm riêng và vi phân cấp hai của hàm số z  x e 2 2 ytại điểm (1;0)

Ví dụ 10 Tính đạo hàm riêng và vi phân cấp hai của hàm số  x  y

CHƯƠNG IV CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

IV CỰC TRỊ ĐỊA PHƯƠNG CỦA HÀM HAI BIẾN

Nhận xét: Điều ngược lại không đúng, nghĩa là nếu hàm hai biến có các đạo hàm riêng bằng

0 tại điểm M0 thì chưa chắc điểm này đã là điểm cực trị của hàm số Ta đưa ra tên gọi sau:

Điểm mà tại đó các đạo hàm riêng bằng 0 được gọi là điểm dừng

b) Điều kiện đủ Giả sử M x y0( 0, 0) D là điểm dừng của hàm số f x y( , ) và tại M0 hàm số

có các đạo hàm riêng cấp hai

Ví dụ 3 Tìm cực trị địa phương của hàm số z  x3  y3  3xy

Giải Ta có tập xác định của hàm số đã cho là D  R2.

- Ta tính các đạo hàm riêng cấp 1 để tìm điểm dừng

Do đó ta thu được hai điểm dừng là M1(0,0), M2(1,1) D.

- Ta tính các đạo hàm riêng cấp hai tại từng điểm dừng và xét xem chúng có thoả mãn điều kiện đủ hay không

3 CÁC BƯỚC TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN

1 Tìm tập xác định

2 Tính các đạo hàm riêng cấp 1, cấp 2 của hàm số đã cho

3 Giải hệ phương trình

' '

0 0

x y

z z

5 Kết luận về cực trị của hàm số đã cho và tính cực trị đó (nếu có)

Ví dụ 4 Tìm cực trị địa phương của hàm số z 3x x3  2y y3

Ví dụ 5 Tìm cực trị địa phương của hàm số

a)  4  4  

z x y xy b) z  x lnx y2 IV.2 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN CỦA HÀM HAI BIẾN

1 KHÁI NIỆM

Trong mục IV.1 ta đã xét bài toán tìm cực trị địa phương của hàm hai biến z = z(x,y), trong

đó các biến số x, y không có điều kiện ràng buộc Ta gọi đó là cực trị tự do hay cực trị không điều kiện

Ở mục này ta xét bài toán tìm cực trị của hàm hai biến z khi x, y bị ràng buộc với nhau với một điều kiện nào đó

Ta nói hàm số z  f x y( , ) đạt cực đại tại điểm M x y0( 0, 0) với điều kiện  ( , )x y  0 nếu tồn tại một lân cận D của điểm M0 sao cho f M( )  f M( 0) với mọi điểm

  , trong đó f x y( , ) , ( , )  x y là các hàm số có đạo hàm riêng liên tục

Khi đó tồn tại số  sao cho

b) Điều kiện đủ: Giả sử điểm M x y0( 0, 0) thoả mãn (1) Ta gọi M0là điểm dừng của bài toán cực trị có điều kiện Ta chuyển bài toán tìm cực trị của hàm số z  f x y( , ) với điều kiện

( , )x y 0

  thành bài toán tìm cực trị không điều kiện của hàm số Lagange

Xét vi phân cấp hai của hàm số L(x,y) tại điểm M0:

0 ( ) 0

d L M  thì M0 là điểm cực tiểu có điều kiện của hàm số đã cho

- Nếu d L M2 ( 0)  0 thì M0 là điểm cực đại có điều kiện của hàm số đã cho

Ví dụ 1 Tìm cực trị của hàm số z = 6 – 4x – 3y với điều kiện x2  y2  1

Ví dụ 2 Tìm cực trị của hàm số f x y( , )  x2  y2 với điều kiện xy  1

Ví dụ 3 Tìm cực trị của hàm số f x y( , )  x  y với điều kiện x2  y2  32

Người ta thường viết tắt ma trận ở dạng A   a ij m n 

b) Ma trận vuông: là ma trận có số dòng m bằng số cột n, khi đó thay vì nói ma trận cấp n n  ta chỉ nói đó là ma trận vuông cấp n

Trong ma trận vuông cấp n, người ta gọi các phần tử a11,a22, ,a nn là các phần

tử thuộc đường chéo chính của ma trận

c) Ma trận đơn vị: là ma trận vuông có tất cả các phần tử thuộc đường chéo chính

đều bằng 1, các phần tử còn lại đều bằng 0,kí hiệu là I n

d) Ma trận tam giác: là ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm phía dưới, hoặc phía

trên đường chéo chính đều bằng 0

i) Ma trận bậc thang: là ma trận thoả mãn hai điều kiện sau đây

- dòng có tất cả các phần tử bằng 0 (nếu có) nằm phía dưới dòng có phần tử khác 0;

- phần tử khác 0 đầu tiên (tính từ trái sang phải) của mỗi dòng dưới nằm bên phải so với

phần tử khác 0 đầu tiên của dòng trên

Cho số  và ma trận A   a ij m n  Tích của  với ma trận A là một ma trận

Bcùng cấp với Asao cho B    b ij ,b ij  a ij

Khi đó ta kí hiệu B A

- Muốn tìm phần tử ở dòng i, cột j của ma trận tích C  AB, ta nhân các phần tử

ở dòng icủa ma trận Alần lượt với các phần tử ở cột j của ma trận Brồi cộng

e) Luỹ thừa một ma trận vuông

KhiA là một ma trận vuông, ta có thêm phép toán luỹ thừa:

Luỹ thừa bậc n của ma trận A là tích của n ma trậnA, nghĩa là

Chú ý: Thứ tự thực hiện các phép toán trên ma trận tương tự như đối với các số: nhân

trước, cộng sau Phép trừ A B được xem là hệ quả của phép cộng và phép nhân với một số: A B  A   ( 1)B

Ví dụ 14 Hãy thực hiện các phép toán sau đây

d) Định thức con bù - phần bù đại số

Cho A   a ij n n  là ma trận vuông cấp nbất kì Khi đó, định thức thu được từ

Abằng cách xoá đi dòng ivà cột jđược gọi là định thức con bù của phần tử aij,

kí hiệu là D ij Số A ij  ( 1)i j D ij được gọi là phần bù đại số của phần tử a ij

3 Định thức có hai dòng giống nhau hoặc tỉ lệ với nhau thì bằng 0

4 Nhân tử chung của một dòng có thể đem ra ngoài định thức

5 Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử thuộc đường chéo chính

6 Nếu đổi chỗ hai dòng bất kì thì định thức đổi dấu

7 Định thức không hay đổi, nếu cộng vào một dòng các phần tử tương ứng của dòng khác đã được nhân với cùng một số

8 Các tính chất trên vẫn đúng khi thay chữ “dòng” bởi chữ “cột”

9 Công thức định nghĩa định thức cấp n vẫn đúng khi thay dòng 1 bởi dòng bất kì khác, nghĩa là

Định nghĩa: Cho A   a ij n n  là ma trận vuông cấp n Ma trậnB thỏa mãn điều

kiện AB  BA  I n được gọi là ma trận nghịch đảo của A và kí hiệu là B  A1

  khả nghịch (theo ví dụ 1) và ta thấy det A  1 0

Ví dụ 3 Các ma trận sau đây có khả nghịch không?

1 Tính det A .

- Nếu det A  0thì kết luận ma trận A không có ma trận nghịch đảo

- Nếu det A  0thì A có ma trận nghịch đảo A1

b) Các phép biến đổi sơ cấp đối với ma trận bất kì:

Ta gọi các phép biến đổi sau đây là phép biến đổi sơ cấp dòng đối với một ma trận bất kì:

1 Đổi chỗ hai dòng tuỳ ý của ma trận

2 Nhân tất cả các phần tử của một dòng với một số khác 0

3 Cộng vào một dòng các phần tử tương ứng của dòng khác đã được nhân với cùng một số

Tương tự ta có các phép biến đổi sơ cấp cột đối với một ma trận bất kì

c)Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp biến đổi sơ cấp:

Để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận vuông A a ij n n

Ta xét vài định thức con củaA

- Định thức con cấp một: 7  7 (giao của dòng 2 với cột 3);

 (giao của cả ba dòng với các cột 1, 2, 3)

Ngoài ra ma trậnA còn có 3 định thức con cấp ba khác, tất cả các định thức con cấp

ba củaA đều bằng 0 Các định thức con cấp cao hơn không tồn tại

b) Hạng của ma trận: Ta nói hạng của ma trận A là p nếu trongA có ít nhất một định thức con cấp p khác 0, các định thức con cấp cao hơn đều bằng 0 hoặc không tồn tại

Khi đó ta viết rank A( )  p hoặc r A( )  p

Để ý rằngA cũng có định thức con cấp một khác 0, tuy nhiên hạng của nó là 2

Như vậy, hạng của ma trận là cấp cao nhất của định thức con khác 0 của nó

khác 0, mọi định thức con cấp bốn đều bằng 0 vì chứa một dòng bằng 0

Vậy hạng củaB là 3, đúng bằng số dòng có phần tử khác không của nó

Ta có các tính chất sau đây đối với hạng của ma trận

2 TÍNH CHẤT

1 Hạng của ma trận bậc thang bằng số dòng có phần tử khác 0 của nó

2 Mọi phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận

Từ hai tính chất trên, ta có phương pháp tìm hạng của ma trận:

Để tìm hạng của một ma trận, ta biến đổi nó thành ma trận bậc thang và áp dụng các tính chất để kết luận

Theo tính chất 2, ta có rank A( )  rank A( ');

Theo tính chất 1 ta lại có rank A( ')  2

Ta biến đổiC thành ma trận bậc thang:

CHƯƠNG VII HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

VII.1 KHÁI NIỆM

trong đó a ij, b i là các số cho trước, x j là các ẩn số (i 1,2, ,m j; 1,2, , )n

Trong (1) ta thấy có m phương trình và n ẩn số

Khi đó hệ phương trình (1) được viết ở dạng ma trận AX  B (2)

2 NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính là một bộ gồmn số được sắp thứ tự

1 2

(   , , , n) sao cho khi thay x j  j (j  1, 2, , )n vào tất cả các phương trình trong

hệ, ta được các đẳng thức đúng