Bài giảng môn toán cao cấp 1

Do đó, tất cả các giảngviên trong Khoa và sinh viên đều mong muốn có bộ bài giảng dùngchung, bài tập dùng chung cho từng môn học và được sử dụng trongtoàn Trường để tạo sự thống nhất và

Lời nói đầu 1

Chương 1: Tập hợp, ánh xạ và số phức 4 1.1 Tập hợp 4

1.1.1 Khái niệm về tập hợp 4

1.1.2 Các phép toán về tập hợp 7

1.1.3 Tích Đề các 10

1.2 Ánh xạ 11

1.2.1 Định nghĩa ánh xạ 11

1.2.2 Đơn ánh 13

1.2.3 Toàn ánh 14

1.2.4 Song ánh 16

1.2.5 Ánh xạ ngược của một song ánh 16

1.2.6 Tích của hai ánh xạ 17

1.3 Số phức 18

1.3.1 Định nghĩa 18

1.3.2 Dạng chính tắc của số phức 19

1.3.3 Dạng lượng giác của số phức 22

1.3.4 Các phép tính của các số phức biểu diễn ở dạng lượng giác 24

tính 33

2.1 Ma trận 33

2.1.1 Khái niệm ma trận, các dạng ma trận 34

2.1.2 Các phép toán trên ma trận 38

2.1.3 Ma trận chuyển vị 43

2.2 Định thức 44

2.2.1 Định thức của ma trận vuông 45

2.2.2 Các tính chất của định thức 47

2.2.3 Cách tính định thức bằng biến đổi sơ cấp 55

2.3 Ma trận nghịch đảo 58

2.3.1 Ma trận nghịch đảo và sự tồn tại ma trận nghịch đảo 58

2.3.2 Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo 59

2.3.3 Hạng của ma trận 67

2.3.4 Phương pháp tính hạng của ma trận 68

2.4 Hệ phương trình tuyến tính 72

2.4.1 Dạng tổng quát của một hệ phương trình tuyến tính 73

2.4.2 Điều kiện để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm 75 2.4.3 Các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 76 Chương 3: Không gian vectơ 99 3.1 Không gian vectơ 99

3.1.1 Khái niệm 99

3.1.2 Các ví dụ 100

3.1.3 Các tính chất của không gian vectơ 106

3.2 Không gian con 108

3.3 Cơ sở và số chiều của không gian vectơ 111

3.3.1 Tổ hợp tuyến tính của họ vectơ 111

3.3.2 Hệ sinh của không gian vectơ 112

3.3.3 Họ vectơ độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính 115

3.3.4 Cơ sở của không gian vectơ 118

3.3.5 Số chiều của không gian vectơ 119

3.3.6 Tính chất về cơ sở và số chiều 121

3.3.7 Tọa độ của vectơ 124

3.4 Không gian con sinh bởi một họ vectơ 125

3.5 Bài toán đổi cơ sở 129

3.5.1 Đặt bài toán 129

3.5.2 Ma trận chuyển cơ sở 130

Chương 4: Ánh xạ tuyến tính 135 4.1 Khái niệm ánh xạ tuyến tính 135

4.1.1 Định nghĩa và ví dụ 135

4.1.2 Các phép toán về ánh xạ tuyến tính 139

4.1.3 Các tính chất đầu tiên của ánh xạ tuyến tính 140 4.2 Hạt nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính 141

4.2.1 Khái niệm 141

4.2.2 Tính chất 144

4.2.3 Hạng của ánh xạ tuyến tính Định lý về số chiều 145 4.3 Ma trận của ánh xạ tuyến tính 148

4.3.1 Khái niệm ma trận của ánh xạ tuyến tính 148

4.3.2 Các ví dụ 150

Tài liệu tham khảo 154

Lời nói đầu

Để nâng cao chất lượng đào tạo cần phải đổi mới phương phápgiảng dạy, thiết kế bài giảng theo định hướng ứng dụng nghề nghiệp.Trong thời gian qua các giảng viên trong Khoa Khoa học cơ bản đều

đã có tập bài giảng phục vụ công tác giảng dạy Tuy nhiên, nhữngbài giảng này mang tính cá nhân và hầu như được biên soạn theo lốihàn lâm, ít có tính ứng dụng nghề nghiệp Do đó, tất cả các giảngviên trong Khoa và sinh viên đều mong muốn có bộ bài giảng dùngchung, bài tập dùng chung cho từng môn học và được sử dụng trongtoàn Trường để tạo sự thống nhất và thuận lợi cho việc giảng dạy củagiảng viên cũng như là việc học tập của sinh viên

Mặc dù nhóm tác giả đều là các giảng viên trẻ, còn nhiều bận rộntrong công việc, trong cuộc sống nhưng chúng tôi đã cố gắng ngồi lạicùng nhau để viết một bộ bài giảng toán cao cấp 1 với mong muốngóp phần nhỏ bé của mình, giúp các em có thêm động lực trong việchọc toán Mục tiêu xây dựng bộ bài giảng dùng chung, bài tập dùngchung là trình bày lý thuyết đơn giản, trọng tâm, cô đọng, đi sâu vàobài tập áp dụng theo từng chuyên ngành của sinh viên, để làm cơ sởkhoa học giúp sinh viên có thể học tốt được các môn chuyên ngànhtại trường ĐHSPKT Hưng Yên Ngoài ra, còn làm tăng tính sáng tạo,tạo động lực, tạo hứng thú cho sinh viên học các môn Toán, Vật lý.Toán cao cấp 1 được giảng dạy trong năm học đầu của khoá họccùng với các môn khoa học cơ bản khác Bộ bài giảng toán cao cấp 1được soạn thảo dựa trên những tài liệu về bài giảng của một số cácgiảng viên trong bộ môn đã trực tiếp giảng dạy môn Toán cao cấp

thông cũng như các lớp vừa làm vừa học qua nhiều năm.

Bài giảng này được chia thành bốn chương:

Chương I gồm các kiến thức: Định nghĩa về ánh xạ, đơn ánh, toànánh, định nghĩa số số phức, các dạng biểu diễn của số phức và cácphép toán của nó Phần này được biên soạn bởi nhóm tác giả TrịnhXuân Yến, Nguyễn Thị Thu Hằng

Chương II gồm các kiến thức: Định nghĩa về ma trận, định thức,

hệ phương trình đại số tuyến tính và các phương pháp giải hệ phươngtrình đại số tuyến tính Đây là chương quan trọng, cung cấp các công

cụ cần thiết để nghiên cứu chương III và chương IV trong bài giảngnày Được biên soạn bởi nhóm tác giả Trần Ngọc Tuấn, Phạm TuấnAnh, Đặng Thị Hồi

Chương III là sự mở rộng lên từ tập hợp, bằng cách chúng ta trang

bị cho tập hợp hai phép toán, từ đó mà tập hợp có nhiều các tính chấthơn Chương này đề cập tới các khái niệm, định nghĩa về không gianvectơ, họ vectơ độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính, cơ sở và

số chiều của không gian vectơ, tọa độ của một vectơ đối với một cơ

sở, không gian con sinh bởi một họ vectơ, bài toán đổi cơ sở Đặc biệttrong khuôn khổ của bài giảng này, chúng tôi chỉ xét tới các khônggian vectơ hữu hạn chiều trên trường R, để thuận tiện sau này ta gọi

là không gian vectơ trên R Chương III được biên soạn bởi nhóm tácgiả Trần Hồng Thái, Trần Thị Hải Lý, Nguyễn Thị Mơ

Nếu như trong chương I độc giả xét khái niệm về ánh xạ, chươngIII xét sự mở rộng một tập hợp thành một không gian vectơ, thì trongchương IV độc giả sẽ xét sự mở rộng của ánh xạ khi tập đích và tậpnguồn là các không gian vectơ trên R Ở chương này bài giảng đềcập tới khái niệm về ánh xạ tuyến tính, ảnh của ánh xạ tuyến tính,hạt nhân của ánh xạ tuyến tính và ma trận của ánh xạ tuyến tính,

Chương IV được biên soạn bởi nhóm tác giả Nguyễn Thị Loan, NguyễnQuang Chung, Nguyễn Anh Đài.

Chúng ta đều biết rằng Toán học được xây dựng vô cùng chặt chẽ,lôgic, Bài giảng toán cao cấp 1 này là một minh chứng cho nhữngđiều đó Song, để thuận tiện cho các bạn sinh viên của trường, nhữngđộc giả chỉ dùng toán như là một công cụ để nghiên cứu lĩnh chuyênmôn của các bạn, chúng tôi đã chấp nhận bỏ đi một số những chứngminh, lập luận, "đẹp" của toán học

Nhóm tác giả chân thành cảm ơn PGS.TS Trần Trung - Hiệutrưởng, ban giám hiệu, các phòng ban chức năng, Ban chấp hànhcông đoàn trường Trường ĐHSPKT Hưng Yên đã có những đóng gópquí báu về nội dung và cấu trúc của bộ bài giảng dùng chung Cảm

ơn PGS Nguyễn Đức Đạt, Ths Nguyễn Văn Tứ, đặc biệt cảm ơn TS.Nguyễn Hữu Tiến đã đóng góp, trao đổi những ý kiến về chuyên môn

để bộ bài giảng được hoàn thiện

Hy vọng bộ bài giảng này sẽ giúp sinh viên tiếp cận học phần Toáncao cấp 1 dễ dàng hơn, góp phần nâng cao chất lượng đào tạo, thúcđẩy quá trình xây dựng trường ĐHSPKTHY trở thành trường Trọngđiểm của khu vực Đồng bằng Sông Hồng về đào tạo và nghiên cứuchất lượng cao

Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong quá trình biên soạn song cũngcòn những khiếm khuyết không sao tránh khỏi cần được chỉnh sửa,hoàn chỉnh và bổ sung Nhóm tác giả mong nhận được những ý kiếnđóng góp của các giảng viên và các em sinh viên để bộ bài giảng ngàycàng chất lượng hơn Mọi ý kiến xin gửi về địa chỉ: Bộ môn Toán -Khoa Khoa học Cơ bản - Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật HưngYên Xin trân trọng cảm ơn!

Tập hợp, ánh xạ và số

phức

Trong chương này chúng ta tìm hiểu những vấn đề cơ bản ban đầu củađại số như tập hợp, ánh xạ và số phức Ánh xạ hay số phức được ứngdụng rất nhiều trong thực tiễn, trong các lĩnh vực công nghệ thôngtin hay kinh tế , kỹ thuật điện vv Ví dụ như ánh xạ bản đồ GPSvào bản đồ số, ánh xạ wifi hay ánh xạ cho quá trình trích xuất chuyểnđổi và tải dữ liệu trong dự án kho dữ liệu

Trọng tâm kiến thức trong chương 1 xoay quanh việc xét tính đơn ánh,toàn ánh hay song ánh của một ánh xạ, các phép biến đổi số phứcdạng đại số và dạng lượng giác, ứng dụng trong khai triển Moivre

1.1 Tập hợp.

1.1.1 Khái niệm về tập hợp.

Trong bài giảng này khái niệm tập hợp (hay tập) không thể định nghĩabằng những khái niệm đã biết Ta coi tập hợp là khái niệm nguyên

thủy, không định nghĩa, được hiểu một cách trực giác Ta hình dungmột tập hợp bao gồm một số các cá thể hay đối tượng có một số tínhchất chung nào đó Các đối tượng đó gọi là các phần tử của tập hợpđang xét Để ký hiệu tập hợp ta thường dùng các chữ cái in hoa: A,

B, C,

Ví dụ 1.1 Tập A = các sinh viên trường ĐHSPKT Hưng Yên

• Khái niệm thuộc và kí hiệu ∈

Nếu a là phần tử của tập hợp E ta nói a thuộc E và viết a ∈ E.Nếu a không là phần tử của tập hợp E ta nói a không thuộc E

và viết a 6∈ E

• Cách mô tả tập hợp

1 Phương pháp liệt kê: Một tập hợp có thể xác định bằng cáchliệt kê tất cả các phần tử của nó, hay liệt kê một số phần tửđại diện đủ để có khả năng nhận biết một đối tượng nào đó

có thuộc tập hợp hay không

Ví dụ 1.2 Tập các số tự nhiên chẵn A = {2, 4, 6, 8, , 2n, }

2 Phương pháp chỉ rõ dấu hiệu đặc trưng để phân biệt các phần

tử của tập hợp với các đối tượng không phải là phần tử củanó

Tập số thực R.

Tập rỗng là tập hợp không có phần tử nào, ký hiệu Ø

Ví dụ 1.4 Tập nghiệm thực của phương trình x2+1 = 0 là S = ØĐịnh nghĩa 1.1 Ta nói tập A bằng tập B nếu A và B trùngnhau, nghĩa là mọi phần tử của tập A cũng là phần tử của tập B

và ngược lại mọi phần tử của B cũng là phần tử của A

A = Sinh viên lớp 114143 trường ĐHSPKT Hưng Yên

và tập B = Sinh viên trường ĐHSPKT Hưng Yên

Ta có A ⊂ B

1.1.2 Các phép toán về tập hợp.

a) Phép hợp: Cho hai tập A và B, hợp của hai tập A và B, ký hiệu

A ∪ B là tập gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B hay

A ∪ Ø = A

A ∪ A = Ab) Phép giao: Cho hai tập A và B, giao của hai tập A và B, ký hiệu

A ∩ B là tập gồm các phần tử thuộc A vừa thuộc B hay

A ∩ B = x|x ∈ A và x ∈ B

Ví dụ 1.8 Cho hai tập A = {−1, 2, 3} và B = {−1, 3, 7, 9} Khi đó A ∩ B = {−1, 3}

Hình 1.3:

Ví dụ 1.9 Gọi A là tập nghiệm của phương trình x2−3x+2 = 0

B là tập nghiệm của phương trình x2 − 4x + 3 = 0

Khi đó tập nghiệm của hệ phương trình

A ∩ Ø = Ø

A ∩ A = AKhi A ∩ B = Ø ta nói A và B rời nhau

Hình 1.4:

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

c) Phép hiệu: Cho hai tập A và B, hiệu của hai tập A và B, ký hiệu

A \ B là một tập gồm các phần tử thuộc A mà không thuộc Bhay

A \ B = x|x ∈ A mà x 6∈ B

Hình 1.5:

Ví dụ 1.10 Cho A = {−2, 6, 5} và B = {−3, 6}

thì A \ B = {−2, 5}

d) Tập bù(Tập bổ sung): Cho tập E , A ⊂ E Khi đó E \ A được gọi

là tập bù của A trong E và được ký hiệu A

A ∪ B = A ∩ B

A ∩ B = A ∪ B

Ví dụ 1.12 Cho hai tập hợp

A = {1, 5, 7, 9, −3, −7} và B = {−8, −7, 5, 98, 13}

(x, y) = (x0, y0) ↔ x = x0 và y = y0.

• Một cách tổng quát: Tích Đề các của các tập X1, X2, , Xn được

ký hiệu là

X1× X2 × Xn, là tập tất các bộ n phần tử có thứ tự (x1, , xn)trong đó xi ∈ Xi, với i = 1, , n Ta có

X1 × X2 × Xn = {(x1, , xn)|xi ∈ Xi, i = 1, , n}

Nếu X1 = X2 = = Xn = X thì ta viết X1 × X2 × Xn = Xn.Tập Xn gọi là lũy thừa Đề-các bậc n của tập X

Ví dụ 1.13 Tập R2 = R × R = {(x, y) |x ∈ R, y ∈ R}

Ví dụ 1.14 Cho X = {2, −1} và Y = {a, b}

thì X × Y = {(2, a); (−1, a); (2, b); (−1, b)}

1.2 Ánh xạ.

1.2.1 Định nghĩa ánh xạ.

Định nghĩa 1.3 Ánh xạ từ tập E tới tập F là một quy luật f liên

hệ giữa E và F sao cho khi nó tác động vào một phần tử x bất kỳ củatập E sẽ tạo ra chỉ một phần tử y của F

Ký hiệu ánh xạ f : E −→ F

x 7→ y = f (x)

E được gọi là tập nguồn , F được gọi là tập đích

Phần tử y ∈ F được tạo ra từ phần tử x ∈ E bởi ánh xạ f được gọi làảnh của phần tử x và x được gọi là tạo ảnh (hay nghịch ảnh) của y

Tập tạo bởi các ảnh của tất cả các phần tử x ∈ E gọi là tập ảnhcủa E (qua f ), viết là f (E)

f (E) = {y ∈ F |∃x ∈ E : y = f (x)}

Ta luôn có f (E) ⊂ F

Hình 1.8:

Nếu A là tập con của E, thì tập

f (A) = {y ∈ F |∃x ∈ A : y = f (x)}

gọi là tập ảnh của A (qua f )

Nếu B là tập con của F thì tập

Khi f là một toàn ánh ta cũng nói f là ánh xạ từ E lên F

Như vậy muốn chứng minh f là toàn ánh ta cần kiểm tra điều kiện

f (E) = F nghĩa là với mỗi y ∈ F đều là ảnh của ít nhất một x ∈ E.Hay nói cách khác "phương trình" y = f (x) có nghiệm với mọi y ∈ F Vậy, muốn chứng minh một ánh xạ f không là toàn ánh ta cần chỉ ratồn tại phần tử y ∈ F ,sao cho ứng với y này không tồn tại phần tử

có nghiệm x với mọi y ∈ R.

Ta cũng dễ dàng nhận thấy phương trình (∗)vô nghiệm trongtrường hợp y = 1

Hay nói cách khác ánh xạ f không là toàn ánh

1.2.4 Song ánh.

Định nghĩa 1.6 Ánh xạ f : E −→ F được gọi là một song ánh nếu

nó vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh (Hay f là một phép tương ứng 1-1giữa hai tập E và F )

1.2.5 Ánh xạ ngược của một song ánh.

Định nghĩa 1.7 Giả sử f : E −→ F là một song ánh Khi đó vớimỗi y ∈ F tồn tại duy nhất x ∈ E sao cho f (x) = y Vậy ta có ánh

xạ g : F −→ E xác định như sau: với mỗi y ∈ F đặt g(y) = x, trong

đó phần tử x ∈ E và f (x) = y Khi đó ánh xạ g gọi là ánh xạ ngượccủa ánh xạ f và kí hiệu là f−1:

f−1 : F −→ EChú ý 1.1 Nếu ánh xạ f : R −→ R, xác định bởi y = f (x) là mộtsong ánh thì ánh xạ ngược f−1 : R −→ R xác định bởi x = f−1(y)

cũng là một song ánh Để mô tả ánh xạ f và ánh xạ ngược f−1 (nếucó) của nó trong cùng một hệ quy chiếu ta quy ước đổi vai trò của haibiến x và y cho nhau trong quy tắc x = f−1(y) để có ánh xạ y = f (x)

và ánh xạ ngược của ánh xạ f là y = f−1(x)

Ví dụ 1.19

a) Song ánh f : R −→ R, xác định bởi y = f (x) = x3 có ánh xạngược f−1 : R −→ R, xác định bởi f−1(y) = √3

y = x

b) Hàm số y = sinx là một song ánh trên đoạn [−π2,π2] có hàm ngược

là x = f−1(y) = arcsiny và do đó theo quy ước trên ta có hàm số

y = sinx ∀x ∈ [−π2,π2] có hàm ngược là y = f−1(x) = arcsinxNhận xét 1.1 Ánh xạ ngược f−1 : F −→ E của ánh xạ f cũng làmột song ánh

1.2.6 Tích của hai ánh xạ.

Cho ba tập hợp E, F, G và hai ánh xạ

f : E −→ F

x 7→ y = f (x),và

g : F −→ G

y 7→ z = g(y)Khi đó mỗi x ∈ E tạo ra (qua trung gian y) một và chỉ một z ∈ Gxác định bởi g [f (x)] = z

Vậy phải có một ánh xạ từ E tới G xác định như sau:

Định nghĩa 1.8 Ánh xạ

g ◦ f : E −→ G

trong đó f : E −→ F là ánh xạ sao cho x 7→ y = f (x) và g : F −→ G

là ánh xạ sao cho y 7→ z = g(y) và được xác định bởi

• Phép cộng các số phức

(a, b) + (a0, b0) = (a + a0, b + b0)

• Phép nhân các số phức

(a, b).(a0, b0) = (aa0− bb0, ab0 + a0b)

• Về sự bằng nhau của hai số phức

∀(a, b) ∈ C, ∀(a0, b0) ∈ C ta có(a, b) = (a0, b0) khi và chỉ khi a = a0, b = b0

Để ký hiệu số phức ta dùng các chữ cái thường như z = (a, b).Trường hợp số phức z = (a, 0) thì ta quy ước viết là z = a nó là một

số thực, vậy chúng ta có thể hiểu rằng số thực là một trường hợp đặcbiệt của số phức

Ví dụ 1.21

(2, 3) + (4, 5) = (6, 8)(2, 3).(4, 5) = (−7, 22)

1.3.2 Dạng chính tắc của số phức.

• Dạng chính tắc của số phức

Cho tập số thực R và một cặp 2 số thực (a, b) ∈ R2

Đặt i = (0, 1) , số phức i được gọi là đơn vị ảo Ta có

z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + b(0, 1) = a + bi

Như vậy số phức z = (a, b) được viết dưới dạng z = a + bi và đượcgọi là dạng chính tắc của số phức.

a gọi là phần thực, ta viết a = Re(z)

b gọi là phần ảo, ta viết b = Im(z)

• Hai số phức bằng nhau dưới dạng chính tắc

Hai số phức z1 = a + bi và z2 = c + di được gọi là bằng nhau khi

Phương trình đã cho tương đương với

1.3.3 Dạng lượng giác của số phức.

Trong mặt phẳng phức, số phức z = (a, b) = a + bi có ảnh là điểm

M (a, b) ∈ Oxy

Giả sử z 6= (0, 0) Khi đó điểm M khác gốc O Ta đặt

OM = r,và

Ox đến trùng với hướng của −−→

OM theo chiều ngược chiều kim đồng

hồ, trong trường hợp ngược lại thì ϕ lấy giá trị âm) gọi là argumentcủa z và ký hiệu là Arg(z) = ϕ + 2kπ

Nếu lấy −π ≤ ϕ ≤ π thì ta gọi ϕ là giá trị chính của Argz, ký hiệu là

Vậy ta có các công thức sau:

Argz = argz + 2kπ, k ∈ ZChiếu vuông góc vectơ −−→

OM lên hai trục Ox và Oy ta được

a2 + b2 =

√32

·

suy ra ϕ = π

3Vậy dạng lượng giác của số phức đã cho là

1.3.4 Các phép tính của các số phức biểu diễn ở

z1.z2 = r1r2

hcos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2)

i

Nhận xét 1.2 Tích của các số phức là một số phức có môđunbằng tích các môđun và argument bằng tổng các argument

3 Phép chia số phức dưới dạng lượng giác

Cho hai số phức

z1 = r1(cos ϕ1 + i sin ϕ1)

z2 = r2(cos ϕ2 + i sin ϕ2)

Nhận xét 1.3 Thương của hai số phức là một số phức có môđunbằng thương các môđun và argument bằng hiệu các argument

4 Lũy thừa của một số phức

Cho z = r(cos ϕ + i sin ϕ)

Áp dụng công thức nhân số phức dưới dạng lượng giác ta được:

z2 = r2(cos 2ϕ + i sin 2ϕ) Bằng cách quy nạp ta có

zn = rn(cos nϕ + i sin nϕ)

Ví dụ 1.26 Tìm dạng lượng giác của số phức

z = 1 + i

√3

√

3 + iSau đó tính z100

√3

5 Công thức Moivre

Xét số phức z = cos ϕ + i sin ϕ, tức là |z| = 1

Áp dụng công thức lũy thừa của một số phức ta được hệ thức sau:

(cos ϕ + i sin ϕ)n = cos nϕ + i sin nϕ, n ∈ N∗Công thức này gọi là công thức Moivre

Ví dụ 1.27 Biểu diễn cos 5x, sin 5x theo các lũy thừa của cos x,sin x

Lời giải

Ta có

cos 5x + i sin 5x = (cos x + i sin x)5

= cos5x + C15cos4x(i sin x) + C25cos3x(i sin x)2+ C35cos2x(i sin x)3 + C45cos x(i sin x)4 + (i sin x)5

= cos5x − 10 cos3x sin2x + 5 cos x sin4x+

i(5 cos4x sin x − 10 cos2x sin3x + sin5x)

Vậy

cos 5x = cos5x − 10 cos3x sin2x + 5 cos x sin4x

= cos5x − 10 cos3x(1 − cos2x) + 5 cos x(1 − cos2x)2

= 16 cos5x − 20 cos3x + 5 cos x

Tương tự

sin 5x = 5(1 − sin2x)2sin x − 10(1 − sin2x) sin3x + sin5x

= 5 sin x − 10 sin3x + 5 sin5x − 10 sin3x + 10 sin5x + sin5x

= 16 sin5x − 20 sin3x + 5 sin x

Vì vn = z nên ρn(cos nθ + i sin nθ) = r(cos ϕ + i sin ϕ)

Áp dụng công thức hai số phức bằng nhau ta được



k = 0, n − 1Định lý 1.1 Với n > 0, căn bậc n của số phức z 6= 0 có n giá trịkhác nhau Số phức z = r (cos ϕ + i sin ϕ) có các căn bậc n là

zk = p|z|n cosϕ + 2kπ

ϕ + 2kπn



; k = 0, n − 1

Ví dụ 1.28 Tìm căn bậc bốn của số phức z = 1 + i

Dạng lượng giác của số phức đã cho là



= √82

cos



; k = 0, 3Với k = 0 ta được z0 = √8

2cos π

16 + i sin

π16



Với k = 1 ta được z1 = √8

2

cos 9π

16 + i sin

9π16



Với k = 2 ta được z2 = √8

2

cos 17π

16 + i sin

17π16



Với k = 3 ta được z3 = √8

2

cos 25π

16 + i sin

25π16



BÀI TẬPBài tập 1 Cho hai tập E và F và một quy luật f liên hệ các phần

tử của E với một số phần tử của F Kiểm tra xem quy luật nào sauđây là ánh xạ?

b) Cho A = [0; 3] \ {1}, B = [2; 3] tìm f (A) và f−1(B).

x + 1

a) Kiểm tra tính đơn ánh, toàn ánh, song ánh của ánh xạ trên.

Bài tập 10 Tìm x, y thỏa mãn: (3 − i)x + (4 − 2i)y = 2 − i

Bài tập 11 Tìm các số thực x, y để hai số phức −3+ix2 và x2+y +4i

là liên hợp của nhau

Bài tập 12 Đổi các số phức sau sang dạng lượng giác

a) z2 + z = 0

 1 +

3i

Ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính

Trong chương này, chúng ta làm quen với một số khái niệm mớitrong đại số tuyến tính, đó là ma trận, định thức và những kiến thứcliên quan như: hạng ma trận, ma trận nghịch đảo Từ đó chúng tanghiên cứu thêm về giải hệ phương trình tuyến tính Đây là nội dung

cơ bản làm nền tảng để học tốt các chương sau như: không gian véc tơ,ánh xạ tuyến tính Lịch sử hiện đại của ma trận gắn liền với việc giải

hệ phương trình tuyến tính Gottfried Leibniz đã phát triển lý thuyết

về định thức từ năm 1693 Gabriel Cramer tiếp nối sự nghiệp, vớiQuy tắc Cramer năm 1750 Carl Friedrich Gauss và Wilhelm Jordan

đã phát triển phép khử Gauss vào những năm 1800

2.1 Ma trận

Mục này giới thiệu về ma trận, các dạng ma trận và các phép toántrên ma trận Trong đại số tuyến tính, ma trận dùng để lưu trữ các

lý thuyết đồ thị, ma trận thường dùng để biểu diễn đồ thị (ví dụ: matrận kề), lưu trữ trọng số cho đồ thị có trọng số Trong lập trình,

ma trận thường được lưu trữ bằng các mảng hai chiều Ma trận thôngdụng nhất là ma trận hai chiều Tổng quát hóa của khái niệm ma trậnhai chiều là ma trận khối Trong lập trình, ma trận khối được lưu trữbằng các mảng nhiều chiều

Trong phần này ta chỉ xét các ma trận của các số thực

2.1.1 Khái niệm ma trận, các dạng ma trận

Định nghĩa 2.1 Một bảng số hình chữ nhật gồm có m × n số thựcđược viết thành m hàng, n cột được gọi là ma trận cỡ m × n, kí hiệu

Hay viết gọn là A = [aij]m×n Trong đó :

- aij ∈ R được gọi là phần tử của ma trận A nằm ở giao của hàngthứ i và cột thứ j, và aij được gọi là số hạng tổng quát của matrận A

Tập hợp các ma trận vuông cấp n được kí hiệu là Mn.

Đường thằng đi qua các phần tử

a11, a22, a33, , anncủa ma trận vuông cấp n A được gọi là đường chéo chính của matrận A và mỗi phẩn tử aii được gọi là các phần tử chéo của matrận A