ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN TOÁN CAO CẤP A2 I.. Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a.. Tìm đạo hàm cấp n của các hàm số bằng phương pháp qui nạp toán học a.. Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số a..
Trang 1ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN TOÁN CAO CẤP A2
I Giới hạn
a lim
x→0
1 + 3x
5
− 1 − 2x7
sin5x b limx→0
ln(cos3x)
e2x − 1 sinx
c lim
x→4
x − 2
x2 − 5x + 4 d limx→0
1 + sinx − cosx
1 + sin3x − cos3x
e lim
x→2
xx− 22
x − 2 f limx→π2 tanx 2x−π
g lim
x→0 cotx −1
x h limx→2 x2 − 4 tanπx
4
i lim
x→+∞x e−x k lim
x→0 cos xx
l lim
x→0 1 − sin2x cotx m lim
x→+∞
x2− 1
x2+ 1
x2+5
n lim
x→0
1 + tanx
1 + sinx
1 sin 3 x
o lim
x→0
sinx x
1
x2
II Đạo hàm – vi phân
1 Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a y = sin 2ln arctan x3 b y = x + x2 + 1
c y = ln 1 − sinx
1 + sinx d y = sinx tanx
e y = arccot 1 − x
1 + x
f y = cos2x cos3x + cosx3 sin1
x
2 Tìm đạo hàm cấp n của các hàm số bằng phương pháp qui nạp toán học
a y = 1
2x − 1 b y =
1
x2 − 1 c y =
x
x + 1
d y = ln 1 − x e y = ex ln x + 1 f y = x
x + 1 sinx
g y = sinx
1 − x h y = ex sin2x
3 Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số
a x = costy = sint b x = 2t − ty = 3t − t23
c y = x
1 + x2 d r = 2 + 2cosφ
III Tích phân
1 Tính các tích phân xác định sau:
a x − 1
x + 1
9
4
dx b dx
x + 9 − x
16
0
c dx
x 1 + lnx
e 3
1
Trang 2
d dx
1 + cosx
π
2
−π 2
e x
sin2xdx
π 3
π 4
f ln(1 + x)
e2−1
0
dx
g cosx − cos3xdx
π
2
−π 2
h 1 + x2
x2 dx
3
1
i 1 − e2x
−ln 2
0
dx
k dx
x3 + x
2
1
l x
3
x2 − 3x + 2dx
1 2
0
m e
x ex − 1
ex+ 3
ln 5
0
dx
n x + 2
2x2 + 3x − 2dx
3
2
o tan5xdx
π 4
0
p excosx
π 2
0
dx
2 Tính các tích phân suy rộng:
a dx
x x2 − 1
+∞
2
b dx
x x2 + 1
+∞
1
c e− x
+∞
0
dx
d arc𝑡𝑎𝑛𝑥
x2 +∞
3
dx e e−xsinx
+∞
0
dx f dx
xlnx
e
0
g dx
x3 − 1
2
1
h dx
x2 − 4x + 3
2
0
i dx
1 + cosx
π
0
k ln 1 + x2
x
+∞
1
dx l e−x
2
x2 +∞
1
dx m 1 + x2
x3 +∞
1
dx
n x e−x
+∞
0
dx o dx
xlnx
+∞
2
p sinx
x2
+∞
π 2
dx
3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) x – y – 1 = 0, y2 = 2x + 1
b) y = x22 , y =1+x12
c) y = lnx, y = ln2x
d) y = cosx, y = sinx; 0 ≤ x ≤ 2π
e) y = ex, trục Oy và tiếp tuyến của y = ex tại điểm có hoành độ x = 1
f) y = x3, y = 4x
g) x = 1 − sint
y = 1 + sint cost , trục Ox, 0 < 𝑡 ≤9𝜋
2
4 Tính độ dài các đường cong:
a) y = lnx với 1 ≤ x ≤ e
b) x = cos3t, y = sin3t , 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋
c) x = 2cost, y = sint, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋
Trang 35 Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay
quanh trục Ox
a) y = 4x − x2 và y = x
b) y = ex, x = 0, x = 1 và y = 0
c) y = x2, y = 8x
d) y =1+x1 2, y =x22
IV Chuỗi
1 Tìm tổng riêng và tổng của các chuỗi số:
𝑎 1
𝑛 𝑛 + 1
∞
𝑛=1
𝑏 1
𝑛 𝑛 + 2
∞
𝑛=1
𝑐 3𝑛 + 2𝑛
6𝑛
∞
𝑛=1
𝑑 2𝑛 + 1
𝑛2 𝑛 + 1 2
∞
𝑛=1
2 Xét sự hội tụ - phân kỳ của các chuỗi số:
a 1
n2 2
3
n
∞
n=1
b 1
ln n + 1
∞
n=1
c sin π
3n
∞
n=1
d n − n + 1
∞
n=1
e n2
4n
∞
n=1
f n!
4n
∞
n=1
g 1
n n3
− n
∞
n=2
h 73n
2n − 5 !
∞
n=3
i n! 2
2n !
∞
n=1
k 2
n n!
nn
∞
n=1
l n2sin π
2n
∞
n=1
m 1 − cosπ
n
∞
n=1
n n
3n − 1
2n−1
∞
n=1
o n − 1
n + 1
n n+1
∞
n=1
p 1
3n
n + 1 n
n2
∞
n=1
q 1
n lnn
∞
n=2
r 1
ln n!
∞
n=2
s 1
n + 1 ln2n
∞
n=2
t n tan π
2n+1
∞
n=1
u −1 n+12n2
n!
∞
n=1
v −1 n2n + 1
n2 + 1
∞
n=1
w −1 n
n lnn
∞
n=2
Trang 4
x −1 n 2n + 1
3n + 1
n
∞
n=1
3 Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm:
a 1
n 2n xn
∞
n=1
b n
n + 1
x 2
n
∞
n=1
c n! 2
2n !xn
∞
n=1
d 3
n
n2 x − 1 n
∞
n=1
e x + 2 n
n 3n
∞
n=1
f 1
n2 x + 1 n
∞
n=1
g x + 2 n
n n + 1
∞
n=1
h n
x + 1 n
∞
n=1
2n x − 2 n
∞
n=1
k n
x − 2 n
∞
n=1
l xnsin π
2n
∞
n=1
m 2nsin x
3n
∞
n=1
n sin nx
n2
∞
n=1
o 1
n! xn
∞
n=1
p 1
1 + xn
∞
n=1
4 Tìm tổng của các chuỗi hàm:
a x2n−1
2n − 1
∞
n=1
= x +x3
3 +
x5
5 + ⋯ +
x2n−1
2n − 1+ ⋯ với x < 1
b −1 n−1 x2n−1
2n − 1
∞
n=1
= x −x3
3 +
x5
5 − ⋯ + −1 n−1
x2n−1
2n − 1+ ⋯
với x < 1
c n n + 1 xn−1
∞
n=1
= 1.2 + 2.3x + 3.4x2 + ⋯ + n n + 1 xn−1+ ⋯
với x < 1