Bài tập giải tích

Tìm các cô-sin và góc chỉ hướng của các vectơ sau các góc được làm trònđến 1 đơn vị độ 5.. Tính góc giữa đường chéo khối lập phương với một trong các cạnh của nó.. Tính góc giữa một đườn

BÀI TẬP GIẢI TÍCH B2

KHOA TOÁN TIN HỌC, ĐH KHTN TPHCM

1 ĐƯỜNG VÀ MẶT TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ 5

A Ôn tập và mở rộng kiến thức hình học tọa độ 5

B Mặt trụ và mặt bậc hai 8

C Hàm vectơ một biến và đường cong 10

2 ĐẠO HÀM RIÊNG & SỰ KHẢ VI CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN 17 A Hàm số nhiều biến 17

B Giới hạn và sự liên tục của hàm số nhiều biến 24

C Đạo hàm riêng 25

D Sự khả vi 33

E Quy tắc mắt xích hay đạo hàm của hàm hợp 37

F Đạo hàm theo hướng và vectơ gradient 43

G Cực trị không điều kiện của hàm số nhiều biến 50

H Nhân tử Lagrange: cực trị có điều kiện 55

3 TÍCH PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 59 A Tích phân kép trên một hình chữ nhật 59

B Tích phân lặp 60

C Tích phân kép trên một miền tổng quát 62

D Tích phân kép trong tọa độ cực 65

4 LÀM QUEN VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 69 A Phương trình vi phân cấp 1 69

B Phương trình vi phân cấp 2 72

KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ

A Ôn tập và mở rộng kiến thức hình học tọa độ

I Bài tập về tích vô hướng

1. Vào một ngày, một người bán dạo bán được a bánh hamburgers, b hot dogs

và c ly nước ngọt Anh ta tính $2 cho mỗi hamburger, $1; 5 cho mỗi cái hotdog và $1 cho mỗi ly nước Nếu viết !u D ha; b; ci và !v D h2; 1:5; 1i thì ýnghĩa của !u
!v là gì?

2. Tìm một vectơ đơn vị vuông góc với cả hai vectơ!

i C!j và!

j C!k

3. Tìm hai vectơ đơn vị hợp với !v D h3; 4i một góc 600

4. Tìm các cô-sin và góc chỉ hướng của các vectơ sau (các góc được làm trònđến 1 đơn vị độ)

5. Tính góc giữa đường chéo khối lập phương với một trong các cạnh của nó

6. Tính góc giữa một đường chéo khối lập phương với đường chéo của mộttrong các mặt của khối lập phương

7. Nếu một vectơ có hai góc chỉ hướng˛ D =4, ˇ D =3 Tìm góc chỉ phươngthứ ba

8. Tìm vectơ hình chiếu của!

b lên ! a

10. Cho !a D h1; 2i và!b D h 4; 1i Tìm orth!a !

b và vẽ minh họa các vectơ

15. Một chiếc thuyền giương buồm đi về hướng Nam với sức gió 400lb Hướnggió lệch từ Nam đến Đông là 360 Tính công của sức gió khi thuyền dịchchuyển được 120f t

II Bài tập về tích hữu hướng

16. Tính tích !a !b và kiểm tra nó vuông góc với ! a và!

b

a) !a D h6; 0; 2i,!b D h0; 8; 0i

b) !a D h1; 1; 1i,!b D h2; 4; 6i

17. Cho !a D!i 2!

k và!

b D!j C!k Tính ! a !b và vẽ các vectơ ! a ,!

b ,

!a !b có chung điểm đầu tại gốc tọa độ.

18. Tính mà không dùng định thức, thay vào đó dùng tính chất của tích hữuhướng

22. Một bu-loong được xiết chặt bằng cách áp một lực

40N vào khóa vặn dài 0; 25m như hình bên Tính

độ lớn mô-men xoắn quanh tâm của bu-loong và

mô tả vectơ mô-men xoắn này

23. Bàn chân đẩy bàn đạp xe đạp một lực 60lb như

hình vẽ Tay đòn quay có bán kính 18cm Tìm độ

lớn của vectơ mô-men quay quanh điểm P

24. Tính độ lớn của vectơ mô-men quay quanh P khi

12. Phác họa miền bị bao quanh bởi các paraboloids z D x2 C y2 và z D

2 x2 y2

13. Tìm phương trình mặt tạo bởi đường parabol yD x2quay quanh trục-Oy

14. Tìm phương trình mặt tạo bởi đường thẳng xD 3y quay quanh trục-Ox

15. Tìm phương trình mặt bao gồm các điểm cách đều điểm 1; 0; 0/ và mặtphẳng xD 1 Phác họa mặt này

16. Tìm phương trình mặt bao gồm các điểm P sao cho khoảng cách từ P đếntrục-Ox bằng hai lần khoảng cách từ P đến mặt-yz Phác họa mặt này

17. Tháp làm nguội của lò phản ứng hạt nhân có hình

dạng hyperboloid một mảnh (hình bên) Nếu đường

kính đáy của tháp là 280m và đường kính chỗ eo thắt

của tháp là 200m, ở độ cao cách đáy 500m, thì phương

trình của mặt hyperboloid là gì?

C Hàm vectơ một biến và đường cong

I Bài tập về phương trình, hình vẽ đường cong

1-8 Vẽ đường cong có phương trình vectơ cho trước Dùng mũi tên chỉ rõ hướng

của đường cong khi t tăng

15. Chứng minh đường cong với phương trình tham số x D t cos t, y D t sin t,

z D t nằm trên mặt nón z2 D x2 C y2 Dựa vào đó hãy phác họa đườngcong

16. Chứng minh đường cong với phương trình tham số x D sin t, y D cos t,

z D sin2t là đường cong giao tuyến của hai mặt z D x2và mặt x2Cy2D 1.Dựa vào đó hãy phác họa đường cong

17. Đường cong !r.t/ D t!i C 2t t2/!k cắt mặt paraboloid zD x2C y2tạinhững điểm nào?

18. Lò xo !r.t/ D hsin t; cos t; ti cắt mặt cầu x2

C y2C z2D 5 tại những điểmnào?

19. Tìm phương trình vectơ biểu diễn đường cong giao tuyến của hai mặt

1.t/ D ht2; 7t 12; t2

i !r2.t/ D h4t 3; t2; 5t 6iCác vật thể này có va chạm nhau không?

21. Hai vật bay theo quỹ đạo không gian cho bởi

!r

1.t/ D ht; t2; t3

i !r2.t/ D h1 C 2t; 1 C 6t; 1 C 14tiHai vật đó có va chạm nhau không? Hai quỹ đạo có cắt nhau không?

II Bài tập về tiếp tuyến đường cong, độ dài đường cong

22. Hình vẽ dưới trình bày đường cong C cho bởi hàm vectơ !r.t/

a) Xác định các vectơ !r.4; 5/ !r.4/ và !r.4; 2/ !r.4/ Sau đó vẽ cácvectơ

24-29 a) Phác họa đường cong phẳng với phương trình vectơ cho trước.

29. !r.t/ D h1 C cos t; 2 C sin ti, t D =6

30-37 Tìm đạo hàm của các hàm vectơ

30. !r.t/ D ht sin t; t2; t cos 2ti

38-41 Tìm vectơ tiếp tuyến đơn vị!

T.t/ tại giá trị của tham số t cho trước

38. !r.t/ D hte t; 2 arctan t; 2eti, t D 0

39. !r.t/ D 4pt!

i C t2!j C t!k , t D 1

40. !r.t/ D cos t!i C 3t!j C 2 sin 2t!k , t D 0

41. !r.t/ D 2 sin t!i C 2 cos t!j C tan t!k , t D =4

42. Nếu !r.t/ D ht; t2; t3

i, tìm !r0.t/,!T.1/, !r00.t/ và !r0.t/  !r00.t/

43. Nếu !r.t/ D he2t; e 2t; te2ti, tìm!T.0/, !r00.0/ và !r0.t/
!r00.t/

44-47 Viết phương trình tham số của tiếp tuyến của đường cong với phương trình

tham số cho trước tại một điểm được chỉ rõ

48. Tìm giao điểm của hai đường tiếp tuyến với đường cong

!r.t/ D hsin t; 2 sin t; cos ti tại các điểm t D 0 và t D 1

58-63 Tính độ dài đường cong.

58. !r.t/ D h2 sin t; 5t; 2 cos ti, 10  t  10

67. Hãy tham số hóa lại đường cong

68. Tìm các vectơ tiếp tuyến đơn vị và pháp tuyến đơn vị!

d) !r.t/ D ht;1

2t2; t2i

VI CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN

27. Dựa vào contour map của một hàm số dưới đây, hãy ước đoán giá trị của

f 3; 3/ và f 3; 2/ Ta có thể nói gì về đồ thị của hàm số này?

28. Đồ thị của hàm sốf là hình nón, của hàm số g là hình paraboloid Trong haicontour map dưới đây, cái nào củaf và của g, hãy giải thích

29. Hãy phác họa sơ contour map của một hàm số có đồ thị như dưới đây

30-33 Cho trước contour map, dựa vào đó hãy phác họa sơ đồ thị củaf

30.

31.

độ Hãy phác họa vài đường đẳng nhiệt với hàm nhiệt độ cho bởi

T.x; y/ D 100=.1 C x2

C 2y2/

43. Nếu V.x; y/ là điện thế tại điểm x; y/ trong mặt-phẳng-xy, thì các đườngđồng mức của V được gọi là các đường thẳng thế (equipotential curves) Hãyphác họa vài đường đẳng thế của hàm điện thế V.x; y/ D c=p

r2 x2 y2,trong đó c là hằng số dương

44-49 Hãy chọn hàm số, có giải thích, khớp với:

a) đồ thị của nó trong nhóm được đánh số từ A-F

b) contour map trong nhóm được đánh số từ I-VI

50-53 Mô tả các mặt đồng mức của các hàm số sau

B Giới hạn và sự liên tục của hàm số nhiều biến

1. Giả sử lim.x;y/!.3;1/f x; y/ D 6 Ta có thể nói gì về giá trị của f 3; 1/không? Nếuf liên tục thì sao?

2. Giải thích vì sao mỗi hàm số sau đây là liên tục hay là không liên tục

a) Nhiệt độ ngoài môi trường tự nhiên (không có biến cố bất thường xảyra) như là hàm số theo kinh độ, vĩ độ và thời gian

b) Độ cao so với mực nước biển như là hàm số theo kinh độ, vĩ độ và thờigian

c) Tiền trả của một khách hàng cho tài xế taxi như là hàm số theo quãngđường đi được và theo thời gian

3-20 Tìm giới hạn, nếu tồn tại, hoặc chứng minh giới hạn không tồn tại.

9. lim

.x;y/!.0;0/

xy cos y3x2C y2

10. lim

.x;y/!.0;0/

6x3y2x4C y4

11. lim

.x;y/!.0;0/

xyp

x2C y2

12. lim.x;y/!.0;0/

x4 y4

x2C y2

13. lim.x;y/!.0;0/

x2yey

x4C 4y2

14. lim.x;y/!.0;0/

x2sin2y

x2C 2y2

15. lim.x;y/!.0;0/

x2C y2p

x2C y2 1 1

16. lim.x;y/!.0;0/

23-27 Xác định tập hợp các điểm mà tại đóf liên tục

ˆ

x2y32x2C y2 nếu.x; y/ ¤ 0; 0/

Sử dụng tọa độ cực, hãy tìm các giới hạn

e x2 y2 1

x2C y2

C Đạo hàm riêng

1. Nhiệt độ T tại Bắc Bán Cầu phụ thuộc theo kinh độ x, vĩ độ y và thời gian

t , vì vậy ta viết T D f x; y; t/ Ta tính thời gian theo giờ, bắt đầu từ thángGiêng

a) Cho biết ý nghĩa của các đạo hàm riêng@T =@x, @T =@y và @T =@t?

b) Honolulu nằm ở 158ıkinh Tây, 21ıvĩ Bắc Giả sử lúc 9:00 AM, ngày

1 tháng Giêng, gió thổi khí nóng lên phía Đông Bắc, vì vậy không khí

ở phía Tây và Nam ấm, còn ở phía Đông và Bắc lạnh hơn Hãy chobiếtfx.158; 21; 9/, fy.158; 21; 9/ và ft.158; 21; 9/ là âm hay dương,

vì sao?

2. Chỉ số lạnh cảm tính W là nhiệt độ do cảm giác đem lại, phụ thuộc vào nhiệt

độ thực T và vận tốcv của gió Vì vậy ta viết W D f T; v/ Sau đây là bảnggiá trị củaf

a) Hãy ước tính giá trị củafT 15; 30/, fv 15; 30/ và cho biết ý nghĩathực tiễn của chúng

b) Nói chung, ta có thể nói gì về dấu của@W =@T và @W =@v?

c) Dường như giá trị của giới hạn sau là bao nhiêu, theo trực quan,

limv!1

@W

@v

3. Chiều cao h của sóng biển phụ thuộc vào vận tốcv của gió và thời gian t màgió duy trì vận tốc đó Giá trị của hD f v; t/ được cho trong bảng sau

c) Có vẻ như giới sau là bao nhiêu

9. Nếuf x; y/ D 16 4x2 y2, tìmfx.1; 2/ và fy.1; 2/ và giải thích ý nghĩahình học của các số này Minh họa với đồ thị phác họa bằng tay.

10. Nếu f x; y/ D p

4 x2 4y2, tìm fx.1; 0/ và fy.1; 0/ và giải thích ýnghĩa hình học của chúng Minh họa bằng đồ thị được phác họa bằng tay

11-34 Tìm các đạo hàm riêng bậc nhất của hàm số.

37. f x; y; z/ D y

x C y C zI fy.2; 1; 1/

38. f x; y; z/ Dqsin2x C sin2y C sin2zI fz.0; 0; =4/

39-44 Sử dụng định nghĩa đạo hàm riêng như là giới hạn để tínhfxvàfytại.x; y/nói chung; hoặc tại điểm được chỉ rõ

64-71 Tìm các đạo hàm riêng được chỉ rõ.

64. f x; y/ D 3xy4C x3y2I fxxy; fyyy

73. Dưới đây là các đường đồng mức của hàm sốf Hãy xác định các đạo hàmriêng là dương hay âm tại điểm P.

75. Hàm số nào sau đây là nghiệm của phương trình Laplace (phương trình nhiệt

là nghiệm của phương trình truyền sóng trong bài tập 77.

79. Nếu u D ea1 x 1 Ca 2 x 2 C


Ca n x n, trong đó a21C a22 C


C a2n D 1, chứngminh rằng

@2u

@x2 1

C@2u

@x2 2

81. Nhiệt độ tại điểm.x; y/ trên một tấm kim loại phẳng được cho bởi T x; y/ D

60=.1 C x2C y2/, trong đó T là nhiệt đo theo0C và x, y theo mét Tìm tốc

độ biến thiên nhiệt độ theo khoảng cách tại điểm.2; 1/ theo hướng-x và theohướng-y

82. Tại nhiệt độ tuyệt đối T , áp suất P và thể tích V , định luật chất khí đối vớimột khối lượng m cố định của khí lý tưởng là P V D mRT , trong đó R hằng

số phụ thuộc chất khí (the gas constant) Chứng minh rằng

83. Chỉ số lạnh cảm tính W (the wind-chill index) của gió phụ thuộc vào nhiệt

độ T (0C) và vận tốc gióv (km/h) W được lập mô hình bởi hàm số

W D 13; 12 C 0; 6215T 11; 37v0 ;16C 0; 3965T v0;16Theo mô hình trên, ta hiểu rằng nhiệt độ càng hạ hoặc vận tốc gió càng lớnthì W càng hạ thấp, làm cho ta cảm thấy càng ớn lạnh

Tại T D 150C vàv D 30 km/h, chỉ số lạnh W xuống khoảng bao nhiêunếu giảm nhiệt 10C? Nếu tăng tốc độ gió lên 1 km/h thì sao?

84. Nếu được bảo rằng có một hàm số f mà các đạo hàm riêng của nó là

fx.x; y/ D x C 4y và fy.x; y/ D 3x y, ta có tin không?

0 nếu.x; y/ D 0; 0/

a) Tìmfx.x; y/ và fy.x; y/ khi x; y/ ¤ 0; 0/

b) Tìmfx.0; 0/ và fy.0; 0/

c) Chứng minhfxy.0; 0/ D 1 và fyx.0; 0/ D 1

d) Kết quả trong phần c) có mâu thuẫn với định lý Clairaut không? Vì sao?

86. Hỏi tương tự bài tập 85 với hàm sốf cho bởi

f x; y/ D

8ˆ

ˆ

x2y xy2p

7-12 Giải thích vì sao các hàm dưới đây khả vi tại điểm cho trước Sau đó tìm

tuyến tính hóa L.x; y/ của hàm đó tại điểm đã cho

13-14 Kiểm tra dưới đây có đúng là phép xấp xỉ tuyến tính tại.0; 0/?

13. 2x C 3

4y C 1  3 C 2x 12

14. py C cos2x  1 C 1

2y

15. Tìm phép xấp xỉ tuyến tính cho hàm số f x; y/ D p

20 x2 7y2 tại.2; 1/ và dùng nó để tính xấp xỉ f 1:95; 1:08/

16. Tìm phép xấp xỉ tuyến tính cho hàm sốf x; y/ D ln.x 3y/ tại 7; 2/ vàdùng nó để tính xấp xỉf 6:9; 2:06/

17. Tìm phép xấp xỉ tuyến tính cho hàm sốf x; y; z/ D p

x2C y2C z2 tại.3; 2; 6/ Dựa vào đó tính xấp xỉ giá trị củap.3:02/2C 1:97/2C 5:99/2

18. Chiều cao h của sóng trên mặt biển phụ thuộc vận tốcv của gió và thời gian

t mà gió duy trì vận tốc đó Giá trị của hàm số h D f v; t/ theo đơn vị feetđược cho trong bảng sau

Dựa vào bảng trên, tìm xấp xỉ tuyến tính cho giá trị h tại.v; t/ gần 40; 20/.Tính xấp xỉ chiều cao sóng khi vận tốc gió là 43 knots được duy trì trong suốt

24 h

19. Chỉ số oi bức (the heat index, the perceived temperature) I được xem như làhàm số phụ thuộc vào nhiệt độ T (ıF) và độ ẩm tương đối H (%) Bảng giátrị sau được cung cấp bởi Dịch Vụ Thời Tiết Quốc Gia (Mỹ)

Dựa vào bảng trên, tìm xấp xỉ tuyến tính cho hàm chỉ số I khi nhiệt độ gần

94ıF và độ ẩm tương đối gần 80 % Ước tính chỉ số oi bức khi nhiệt độ là

95ıF và độ ẩm tương đối là 78 %

20. Chỉ số lạnh cảm tính W (the wind-chill index) chỉ là độ lạnh qua cảm nhận,khi nhiệt độ thực tế là T và vận tốc gió là v, vì thế ta có thể viết W D

f T; v/ Sau đây là bảng giá trị của W

Dựa vào bảng trên, tìm xấp xỉ tuyến tính cho W khi T gần 15ıC vàv gần

50 km/h Sau đó ước tính giá trị của W khi nhiệt độ 17ıC và vận tốc gió

27. Nếu zD 5x2C y2và.x; y/ biến thiên từ 1; 2/ đến 1:05; 2:1/, hãy so sánhgiá trị củaz và dz.

28. Nếu zD x2 xy C 3y2và.x; y/ biến thiên từ 3; 1/ đến 2:96; 0:95/,hãy so sánh giá trị củaz và dz

29. Chiều dài và rộng của một hình chữ nhật lần lượt là 30 cm và 24 cm, với sai

số phép đo không quá 0.1 cm cho mỗi cạnh Sử dụng vi phân, hãy ước tínhsai số tối đa khi tính diện tích hình chữ nhật

30. Kích thước của khối hộp chữ nhật là 80 cm, 60 cm, và 50 cm, với sai số cóthể là 0.2 cm cho mỗi chiều kích thước Dùng vi phân, hãy ước tính sai số tối

33. Áp suất, thể tích và nhiệt độ của một mol khí lý tưởng có quan hệ P V D

8:31T , trong đó P đo theo đơn vị kilopascals, V đo theo đơn vị lít, và Ttheo đơn vị kelvins Dùng vi phân, hãy tính xấp xỉ độ biến thiên áp suất nếuthể tích tăng từ 12 L lên 12.3 L và nhiệt độ giảm từ 310 K xuống 305 K

34. Ba điện trở với trở kháng là R1, R2, R3được mắc song song thì trở khángtoàn phần là R thỏa

35. Bốn số dương, mỗi số bé hơn 50, được làm tròn đến chữ số thập phân đầutiên, sau đó nhân với nhau Dùng vi phân, hãy ước tính sai số lớn nhất có thểkhi tính tích bốn số từ việc làm tròn từng số nói trên

36. Diện tích ngoài da toàn bộ cơ thể người được lập công thức mô hình là

S D 0:109w0:425h0:725, trong đów là trọng lượng (tính theo pounds), h làchiều cao (tính theo inches), và S được đo theo feet vuông Nếu sai số củawkhi cân và của h khi đo không quá 2 %, dùng vi phân, hãy tính sai số phầntrăm lớn nhất có thể khi tính S

37. Sử dụng định nghĩa của sự khả vi, hãy chứng các hàm số sau khả vi bằngcách chỉ rõ"1và"2

c) Khảo sát sự liên tục tại.0; 0/ của f , D1f và D2f

d) Khảo sát sự khả vi củaf tại 0; 0/

39. Hỏi như Bài tập 38 với hàm sốf định bởi

x2C y2 nếu.x; y/ ¤ 0; 0/

0 nếu.x; y/ D 0; 0/

40. Hỏi như Bài tập 38 vớif x; y/ D p3 xy.

E Quy tắc mắt xích hay đạo hàm của hàm hợp

1-6 Dùng quy tắc mắt xích (đạo hàm hàm hợp) để tìm dz=dt hoặc dw=dt

17-20 Giả sử các hàm số đều khả vi, dùng quy tắc mắt xích, hãy tính các đạo hàm

riêng cho tất cả trường hợp

17. u D f x; y/; trong đó x D x.r; s; t/, y D y.r; s; t/

18. R D f x; y; z; t/; trong đó x D x.u; v; w/, y D y.u; v; w/, z D z.u; v; w/,

t D t.u; v; w/

19. w D f r; s; t/; trong đó r D r.x; y/, s D s.x; y/, t D t.x; y/

20. t D f u; v; w/; trong đó u D u.p; q; r; s/, v D v.p; q; r; s/, w D w.p; q; r; s/

21-26 Dùng quy tắc mắt xích, hãy tính các đạo hàm riêng được chỉ rõ