bài tập giải tích khối kinh tế
Trang 1Bài tập môn Giải tích - Khoa VT-KT
Nguyễn Văn Kiên
1 Chương 1: Phép tính vi phân hàm một biến
1.1 Tính các giới hạn sau
1 lim
x→0
3
r
1 +x
3 −
4
r
1 −x 4
1 −
r
1 −x 2
2 lim
x→π
sin mx
sin nx
3 lim
x→π
ln cos x
x sin 2x
4 lim
x→0
x2
5
√
1 + 5x − x − 1
5 lim
x→0
√
1 + tg x −√1 + sin x
x2
6 lim
x→0
m√
1 + ax − √n
1 + bx x
7 lim
x→0
sin(πxα)
sin(πxβ)
8 lim
x→0
1 − cos x cos 2x cos 3x
x2
9 lim
x→0
√
1 − cos x2
1 − cos x
10 lim
x→0
ex2 − cos x
x2
11 lim
x→0
ex−√1 + 2x
x2
12 lim
x→0
3
√
8 + 3x − 2
4
√
16 + 5x − 2
13 lim
x→0
5
p(1 + x)3− 1 (1 + x)p(1 + x)3 2− 1
14 lim
x→0
tg πx 2 ln(1 − x)
15 lim
x→0
ln(1 + 3x sin x)
tg x2
16 lim
x→0
8x− 7x
6x− 5x
17 lim
x→0
3
√
1 − x2− 1 xarctg5x
18 lim
x→0
5
p(1 + x)3− 1 x
19 lim
x→0
ln tg (π/4 + 3x) sin 2x
20 lim
x→+∞
ln(4 + e3x) ln(3 + e2x)
21 lim
x→7
√
x + 2 −√3
x + 20
4
√
x + 9 − 2
22 lim
x→1(x − 1) tg πx
2
1.2 Xét tính liên tục của các hàm số
1 f (x) =
(
ax + 2 x < 0
a cos x + sin x x ≥ 0
2 f (x) =
(
5.2x x < 0 2a − x x ≥ 0
3 f (x) =
x√2+ b x ≤ 0
1 + x −√3
1 + x
x x > 0
Trang 24 f (x) =
(
2.ex x ≤ 0
a + 2x x > 0
5 f (x) =
x sin1
x x 6= 0
a x = 0
6 f (x) =
(
x ln x2 x 6= 0
0 x = 0
7 f (x) =
ln(1 + 4x) 3x x > 0
x2+ a x ≤ 0
8 f (x) =
(
3x + 2a x ≥ 1
ax2+ x + 1 x < 1
9 f (x) =
1 − cos√x
x x > 0
10 f (x) =
1
1 + e1/(x−1) x 6= 1
11 f (x) =
ln(1 + x) − x 2x2 x > 0
12 f (x) =
(
x ln x x > 0
a x ≤ 0
13 f (x) =
xarctg1
x x 6= 0
a x = 0
2 Chương 2: Tích phân hàm một biến
2.1 Tích phân bất định
1
Z x + x3
1 + x2− x4dx
2
Z
x6
x2+ x − 2dx
3
Z x2+ 1
(x + 1)2(x − 1)dx
4
Z x11
x8+ 3x4+ 2.dx
5
Z x3+ 1
x3− 5x2+ 6x.dx
6
Z 2x
x4+ 3x2+ 2dx
7
Z x
x8− 1dx
8
Z
x
x3− 1.dx
9
Z x.dx
x3− 3x + 2
10
Z
x4
x4+ 5x2+ 4.dx
11
Z
(x + 1)dx
√
x2+ x + 1
12
Z (2x − 1)dx
√
x2+ 3x + 3
13
Z
xdx
√
x2+ 2x − 5
14
Z x.arctgx
√
1 + x2 dx
15
Z
x ln(1 +√1 + x2)
√
1 + x2 dx
16
Z dx
x√1 − x3
17
Z r
x 2a − xdx; (0 ≤ x < 2a) 18
Z dx
e2x+ ex− 2
19
Z arctgex
ex dx
20
Z dx (1 + ex)2
21
Z xearctgx (1 + x2)3/2dx
22
Z sin4x cos5xdx
23
Z
sin x cos x p
a2sin2x + b2cos2xdx
Trang 324 sin
4x
cos6xdx
25
Z
sin2x cos4xdx
26
Z sin x
sin3x + cos3xdx
27
5 − 4 sin x + 3 cos x
28
Z sin x cos x
sin4x + cos4xdx
29
Z
sin x − sin3x
cos 2x dx
(sin2x + 2 cos2x)2
31
Z sin2x − cos2x sin4x + cos4xdx
32
Z sin2x
1 + sin2xdx
33
Z
dx sin4x + cos4x
34
Z dx sin2x cos x
35
Z
dx sin x cos3x
2.2 Tích phân xác định
1
Z ln 2
0
1
√
1 + exdx
2
Z 1
0
p
(1 − x2)3dx
3
Z a
0
dx
x +√a2− x2
4
Z 1
0
arcsin√x
px(1 − x)dx
5
Z 3
0
dx
(3 + x2)52
6
Z 3
0
x
√
1 + x +√5x + 1 dx
7
Z 2
√
2
dx
x5√
x2− 1
8
Z 1 0
√
ex
√
ex+ e−xdx
9
Z π 2
0
sin x cos x
a2cos2x + b2sin2xdx
10
Z 16 1
arctg
q√
x − 1dx
11
Z 3 0
arcsin
r x
1 + x dx 12
Z 5π/4 π
sin 2x sin4x + cos4x dx
13
Z π/2 0
sin x sin 2x sin 3x dx
14
Z π/2 0
cos xdx
2 + cos x
3 Chương 3: Hàm nhiều biến
3.1 Tìm vi phân cấp 1, 2
1 z = arctgy
x
2 z = arctgx − y
x + y
3 z =px2+ y2
4 z = arcsinp x
x2+ y2
5 z = x sin xy + y cos xy
6 z = arctg x + y
1 − xy
7 z =p2x − y
x2+ y2
8 z = (1 + xy)y
9 z = lnp 1
x2+ y2
10 z = ln tg y
x
Trang 43.2 Đạo hàm riêng cấp 1, cấp 2
1 u = xyz
2 u = ln 1
x2+ y2+ z2
3 u = x
y
z
4 u = p 1
x2+ y2+ z2
3.3 Tính y0(x), y00(x) của hàm ẩn
1 lnpx2+ y2 = arctgx
y
2 xy = yx
3 x2+ y2= 1
4 exy = x2+ y2
5 1 + xy = ln(exy+ e−xy)
3.4 Tính dz, d2z của hàm ẩn
1 x
2
a2 +y
2
b2 +z
2
c2 = 1
2 cos2x + cos2y + cos2z = 1
3 x + y + z = ez
4 x2+ y2+ z2 = e(x+y+z)
5 x2+ y2+ z2 = 4xyz
của hàm hợp
1 z = ϕ(x2+ y2)
2 z = y
2
3x+ ϕ(xy)
3 z = yϕ(x2− y2)
4 z = xϕ(x + y) + yψ(x + y)
5 z = ϕ(x − at) + ψ(x + at)
ϕ, ψ là hàm khả vi đến cấp 2
3.6 Tính dz của hàm cho dưới dạng
1 Φ(x, x + y, x + y + z) = 0
2 Φ(x − y, y − z, z − x) = 0
3 Φ(xyz, x + y + z, x2+ y2+ z2) = 0
4 Φx
z,
y z
= 0
3.7 Một số bài toán khác
1 Cho z = arctgx
y, x = u sin v, y = u cos v. Tính zu0, z0v
2 Cho z = (1 + xy)y, x = u + v, y = u2− v2 Tính zu0, z0v
3 Cho z = ex2+y2, x = u + v, y = uv Tính
zu0, z0v
4 Cho y = y(x), z = z(x) (
x + y + z = 0
x2+ y2+ z2 = 1 Tính y
0(x), z0(x)
1 A = ln(0.993+ 0.093)
2 B =√5e0.02+ 2.032
3 C =p(1, 02)3+ (1, 97)3
4 D = (1, 03)
2
3
q
0, 98p(1, 05)4 3
5 E = p 1
3, 022+ 3, 982
3.9 Tìm cực trị của hàm số
1 z = 4x − x3− xy2
2 z = x2+ y2− 6x + 8y
3 z = x4− 4x2− 4y2+ y4+ 8xy
4 z = x3+ y3− 3xy
5 z = 2x4+ y4− 4x2− 4y
6 z = xy +50
x +
20
y , (x > 0, y > 0)
7 z = x2+ xy + y2− 4 ln x − 10 ln y
Trang 58 z = x + y − xey
9 z = e2x(x + y2+ 2y)
10 z = xy −1
3(x
3+ y3)
3.10 Tìm cực trị có điều kiện
1 z = x2+ 12xy + 2y2 nếu 4x2+ y2 = 25
2 z = x
a+
y
b nếu x
2+ y2 = 1
3 z = x2+ y2 nếu x
a +
y
b = 1
4 z = xy nếu x
2
8 +
y2
2 = 1
3.11 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
1 z = x2−xy+y2trên miền D = {|x|+|y| ≤ 1}
2 z = 2(x2+ y2) + (x − 1)2+ (y − 1)2trên miền OAB, O(0; 0), A(1; 0), B(0; 1)
3 z = x2 + y2 − 6x + 8y trên miền D = {x2+ y2≤ 1}
4 z = x2− y2 trên miền D = {x2+ y2 ≤ 2}
5 z = x2+ y2− 2x − y trên miền D = {x ≥
0, y ≥ 0, x + y ≤ 2}
4 Chương 4: Phương trình vi phân
4.1 Phương trình vi phân cấp 1
4.1.1 Phương trình tách biến và đưa về
tách biến
1 y0 = (4x + y − 3)2
2 y0 =√3
2x − y + 2
3 xy0+ x cos y
x − y + x = 0
4 y0= x + y
x − y
4.1.2 Phương trình tuyến tính + Becnuli
1 3y2y0+ y3+ x = 0
2 xy0− 2x2√
y = 4y
3 y0 = y4cos x + y tg x
4 (x + 1)(y0+ y2) = −y
5 xy2y0 = x2+ y3
6 xy0− y2ln x + y = 0
7 y0+ x√3
y − 3y = 0
8 yy0+ xy2− 4x = 0
9 yy0+ y2cotg x = cos x
10 y0 = y4cos x + y tg x
4.1.3 Phương trình vi phân toàn phần
1 (1 − x2y)dx + x2(y − x)dy = 0
2 (x − y2)dx + 2xydy = 0
3 dx
y −
x
y2dy = 0
4 2xydx + (x2− y2)dy = 0
5 (2 − 9xy2)xdx + (4y2− 6x3)ydy = 0
6 e−ydx − (2y + xe−y)dy = 0
7 y
xdx + (y
3+ ln x)dy = 0
8 3x
2+ y2
y2 dx − 2x
3+ 5y
y3 dy = 0
9 2x(1 +px2− y)dx −px2− ydy = 0
10 (1 + y2sin 2x)dx − 2y cos2xdy = 0
4.1.4 Thừa số tích phân
1 (x2+ y)dx = xdy
2 (2xy2− y)dx + (y2+ x + y)dy = 0
3 (xy + 1)dx + (xy − 1)dy = 0
4 (xy2+ y)dx − xdy = 0
5 (x2+ y2+ x)dx + ydy = 0
6 (x cos y −y sin y)dy +(x sin y +y cos y)dx = 0
7 (y + x2)dy + (x − xy)dx = 0
8 xydx = (y2+ x2y + x2)dy
9 (x2− sin2y)dx + x sin 2ydy = 0
10 (x2− y)dx + x(y + 1)dy = 0
Trang 64.2 Phương trình vi phân cấp 2
1 y00− 5y = −5x2+ 2x
2 y00− 4y0+ 4y = 2e2x
3 y00− y = x2− x + 1
4 y00− 4y0= −12x2+ 6x − 4
5 y00+ y0 = 3
6 y00− 2y0+ y = 4ex
7 y00− y = 4ex
8 y00− 2y0− 3y = e4x
9 y00+ y = 4xex
10 y00+ y0− 2y = 3xex
11 y00− 3y0+ 2y = x cos x
12 y00+ y = x sin x
13 y00+ y = 2 sin x
14 y00− y = 2 sin x − 4 cos x
15 y00+ y = 6 sin 2x
16 y00+ y = 4ex, y(0) = 1, y0(0) = −3
17 y00− 2y0= 2ex, y(1) = −1, y0(1) = 0
18 y00+ 2y0+ 2y = xe−x, y(0) = y0(0) = 0
19 y00+ 4y = sin 2x, y(0) = y0(0) = 0
20 y00+ 4y0+ 4y = 3e−2x, y(2) = y0(2) = 0
5 Chương 5: Phương trình sai phân
5.1 Giải các phương trình sai phân sau
1 5yn+2+ 6yn+1− 11yn= 2n − 1
2 5yn+2− 6yn+1+ 5yn= 3n
3 5yn+2− 6yn+1+ 5yn= n2+ 1
4 yn+2+ yn= 2n
5 yn+2+ 5yn= 5n2− 2n − 1
6 yn+2− 3yn+1+ 2yn= 2−2n
7 yn+2− 3yn+1+ 2yn= n + 5
8 yn+2= 5yn+1− 6yn+ n2
9 yn+2= 4yn+1− 5yn+ 3n2
10 yn+2= 3yn+1− 4yn+ 3n2+ 2
11 yn+2+ yn= n + 1
12 yn+2+ yn= 3, y0 = 0, y1 = 1
13 yn+2− 4yn+1+ 4yn= 2n + 1, y0 = 0, y1 = 1
14 yn+2− yn= 0, y0 = 0, y1 = 1
15 yn+2+ yn= 2n, y0 = 0, y1= 1
5.2 Giải các phương trình sau
1
(
xn+1= 3xn+ yn
yn+1= 5xn− yn , x0 = 0, y0 = 6
2
(
xn+1= 2xn− 8yn
yn+1= 2xn− 6yn , x0 = −1, y0= 2
3
(
xn+1= xn− yn
yn+1= xn+ yn , x0 = 1, y0= 1 −
1
√ 2
4 xn+1= 1 − 4xn
1 − 6xn, x0 = 1
5 xn+1= 2xn− 3
3xn− 4, x0 = −1
6 xn+1= xn+ 1
−xn+ 4, x0= 0