Chứng minh đa giác nội tiếp

3 Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp Dấu hiệu 1: Dựa vào định nghĩa đờng tròn Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm cố định là tứ giác nội tiếp Tức là chứng minh tồn tại một điểm

C

A

B

D

C

Phơng pháp chứng minh:

một tứ giác nội tiếp đờng tròn - các điểm cùng thuộc một đờng

tròn

Chứng minh tứ giác nội tiếp

A Kiến thức cơ bản

1) Định nghĩa tứ giác nội tiếp: Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đờng tròn gọi là tứ giác

nội tiếp đờng tròn (Hay gọi tứ giác nội tiếp ) Và đờng tròn đó gọi là đờng tròn ngoại tiếp

của tứ giác

2) Tính chất:

+ Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800

+ Đảo lại: Nếu một tứ giác có có tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 thì tứ giác đó nội

tiếp đợc đờng tròn

3) Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

Dấu hiệu 1: (Dựa vào định nghĩa đờng tròn)

Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm cố định là tứ giác nội tiếp

Tức là chứng minh tồn tại một điểm O sao cho OA = OB = OC = OD

Dâu hiệu 2: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800 là tứ giác nội tiếp

Tứ giác ABCD có :

C

A ˆ  ˆ = 1800  tứ giác ABCD nội tiếp

Dấu hiệu 3: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện là tứ giác

nội tiếp

Dấu hiệu 4: ( Dựa vào cung chứa góc)

Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dới các góc bằng

nhau

Tứ giác ABCD có : ABD = ACD và B, C là hai đỉnh kề nhau  tứ giác ABCD nội tiếp

B Bài tập:

1 Củng cố khái niệm, tính chất , dấu hiệu nhận biết

Bài 1: Trong các tứ giác sau tứ giác nào là tứ giác nội tiếp ? Giải thích vì sao

Bài 2: Trong các

khẳng định sau khẳng định nào sai a) Hình thang cân là một tứ giác nội tiếp

b) Hình bình hành có bốn điểm

c) Các đỉnh của mọt tứ giác bất kỳ nằm trên các đờng tròn

d) Hình thang có một góc vuông là một tứ giác nội tiếp

1

A = 0 ; C = 1800 - 0 ACB = ADB

B

A

ABCD là hình thang cân

B

C

D

C A

B

C

B

A

C BAD = BCD

2 Vận dụng các dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác nội tiếp

Bài 2:

a) Cho tứ giác ABCD có hai cạnh đối AB và CD cắt nhau tại M Chứng minh rằng

tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi MA.MB = MC.MD

b) Tứ giác ABCD có hai đờng chéo cắt nhau tại M Chứng minh rằng : Tứ giác

ABCD nội tiếp khi và chỉ khi MA.MC = MB.MD

giác ABC có góc A nhọn và các đờng cao BE ,

CF cắt nhau tại H Gọi H’ là điểm dối xứng của H qua BC Tìm

các tứ giác nội tiếp có trong hình vẽ

Bài 4: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB Từ A kẻ hai đờng

thẳng cắt tiếp tuyến của đờng tròn tại A ở E và F và cắt đờng tròn tại C và D Chứng minh

tứ giác CDEF nội tiếp

Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) Các đờng cao

AD , BE , CF cắt nhau tại H

Vẽ đờng kính AA’ của đờng tròn (O) , các đờng thẳng AD , AA’

cắt EF lần lợt tại M , Q CA’ cắt AD tại R

a) Chứng minh các tứ giác BCEF và AFDC nội tiếp

b) Vẽ đờng kính AA’ của đờng tròn (O) cắt EF tại Q, cắt CF

tại N , BC tại P Chứng minh tứ giác CEQA’ nội tiếp

c) Gọi M là giao điểm của EF với AD Chứng minh các điểm

M , P , Q cùng thuộc một đờng tròn

d) Gọi R là giao điểm của A’C với AD Chứng minh tứ giác

HRA’N nội tiếp

Hớng dẫn

a) Chứng minh các tứ giác này có hai đỉnh kề nhau nhìn

cạnh nối hai đỉnh còn lại dới các góc bằng nhau

b) Chứng minh góc ngoài tại một đỉnh của tứ giác bằng

góc trong của đỉnh đối diện:

Góc QA’C= góc AEF (vì cùng bằng các góc AHF = ABC

2

M

O

A

B

M O

A

B

N P

Q M

A' D

F H

E O

A

H'

F

Ê

H

A

D

C

B O

A

E

F

c) Tứ giác CEQA’ nội tiếp mà góc ECA’ = 900 nên ta có góc PQM = 900 Từ đó ta có tổng hai góc PQM và góc PDM = 1800 nên tứ giác MQPD nội tiếp

d) Chứng minh góc ngoài của tứ giác bằng góc trong của đỉnh đối diện Góc NA’R = góc AHF

Bài 6: Từ điểm P ở ngoài đờng tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến PA và PB Qua điểm M thuộc

đoạn thẳng AB kẻ đờng thẳng vuông góc với OM cắt PA tại C và PB tại D Chứng minh rằng :

a) Các tứ giác OACM , OBDM nội tiếp

b) M là trung điểm của CD

c) Bốn điểm C , O , D , P có cùng thuộc một đờng tròn không ?

Hớng dẫn

a) + Chứng minh đỉnh A và M của tứ giác OCAM

cùng nhìn cạnh OC dới hai góc bằng nhau

+ Chứng minh tứ giác OBDM có tổng hai góc đối

OMD và OBD bằng 1800

b) Ta chúng minh tứ giác PAOP nội tiếp và chứng

minh hai đỉnh D và P của tứ giác CODP nhình

cạnh OC dới các góc bằng nhau

Nhận xét: Vậy ta có thể vận dụng dấu hiệu nhận biết

tứ giác nội tiếp để chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đờng tròn

Chứng minh các điểm cùng thuộc một đờng tròn

A Một số phơng pháp chứng minh các điểm cùng thuộc một đờng tròn

+ Dựa vào hai đờng tròn có ba điểm chung thì trùng nhau

Ví dụ : để chứng minh 5 điểm ABCDE cùng thuộc một đờng tròn ta chứng minh :

bốn điểm ABCD cùng thuộc một đờng tròn và bón điểm ABCE cùng thuộc một đờng tròn Vì hai đờng tròn này có ba điểm A , B , C chung nên 5 điểm trên cùng thuộc một đờng tròn + Chứng minh các điểm cách đều một điểm cố định

+ Chứng minh các điểm cùng nhìn đoạn thẳng nối hai điểm dới các góc bằng nhau

B Bài tập

Bài 1: Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai diểm A và B Một cát tuyến qua A

và vuông góc với AB cắt đờng tròn (O) và (O’) tại C và D Tia CB cắt đờng tròn (O) tại

M Tia DB cắt đờng tròn (O’) tại N Chứng minh 5 điểm M , N , A , O , O’ cùng thuộc một đờng tròn

Hớng dẫn

+ Ta chứng minh bốn điểm A, O, N, O’ cùng thuộc một

đ-ờng tròn và A, O , M , O’ cùng thuộc một đđ-ờng tròn

+ Mà hai đờng tròn này có ba điểm chung nên 5 điểm trên

cùng thuộc một đờng tròn

Bài 2: (Đờng tròn chín điểm hay đờng tròn ơ le)

3

D

C

O

B

A

M

M

D

B

Cho tam giác ABC Chứng minh rằng các trung điểm của ba cạnh , chân của ba đờng cao , các trung điểm của ba đoạn thẳng nối liền ba đỉnh với trực tâm của tam giác cùng nằm trên một đờng tròn

Hớng dẫn.

Gọi A’ B’ , C’ thứ tự là trung điểm của các cạnh BC ,

AC , AB

Gọi D , E , F thứ tự là các chân đờng cao hạ từ A , B , C

xuông cạnh đối diện

Gọi R , S , T thứ tự là trung điểm của AH , BH , CH

Ta chọn ba điểm A’ , B’ , C’ làm gốc sau đó chứng minh

các tứ giác sau nội tiếp

DC’B’A’ , EC’A’B’ FC’A’B’

RC’A’B’ , SA’B’C, TB’C’A’

Một số bài tập luyên tập Bài 1: Cho đờng tròn (O) và đờng thẳng xy ở ngoài đờng tròn Kẻ OA vuông góc với xy

Từ A kẻ cát tuyến ABC với (O) Tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt xy lần lợt tại D và E a) Chúng minh các tứ giác AOCE và ABOD

b) Ta giác ODE là tam giác gì? Vì sao?

Hớng dẫn:

a) Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800 và tứ giác có

hai đỉnh nhìn cạnh nối hai đỉnh còn lại dới các góc

bằng nhau

b) Tam giác có hai góc bằng nhau

Nhận xét: nếu ta chứng minh hai góc ADO = góc AEO một

cách trực tiếp thì có thể khó , nên ta đa các góc này về

trong đờng tròn để từ đó vận dụng quan hệ giữa các góc

của một đờng tròn để chứng minh chúng bằng nhau

Bài 2: Cho A ở ngoài đờng tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến

AB và AC Gọi I là giao điểm của AO với BC Vẽ dây MN

qua I ( MN < 2R) Chứng minh rằng

a) Tứ giác ABOC nội tiếp

b) Chứng minh IO.IA = IM.IN và tứ giác MONA nội tiếp

c) AO là tia phân giác của góc MAN

Hớng dẫn

a) Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800

b) + Tứ giác ABOC nội tiếp nên IB.IC = IO.IA

+ tứ giác MBCN nội tiếp nên IB.IB = IM.IN

Vậy IO.IA = IM.IN

Từ đó ta có tam giác OIM đồng dạng với tam giác

NIA nên góc MOA = góc MNA suy ra tứ giác

MONA nội tiếp

c) ta chứng minh OAN = góc OMN = góc ONM =

góc OAM

Nhận xét: Qua các bài tập trên giúp HS nhìn nhận

một bài táon với các yếu tố hình học đợc đa vào trong đờng tròn Nh vậy khả năng so sánh , chứng minh sẽ rễ ràng hơn

4

T S

R H

D

E F

A'

B' C'

A

E D

B A

O

C

M

I

C

-HÕt -5